数学奥数：第12讲 棋盘对弈的数学问题（讲义）-2025-2026学年六年级上册数学 人教版

【人教版】小学六年级上册数学奥数：第12讲 棋盘对弈的数学问题 本讲主要讲解棋盘轮流对弈输赢类奥数问题，核心是借助棋盘分格配对、二进制数位奇偶规律，推导对局双方的必胜策略，把趣味棋盘游戏转化为严谨的数学逻辑推理题。 一、本讲核心方法 1. 格子配对法：把棋盘方格两两分组，采用 “跟随走法”，后手跟着先手走配对格，锁定胜局。 2. 二进制奇偶平衡法：把对弈步数转化为二进制，以各数位数字之和为偶数作为平衡态，先手或后手不断维持平衡，迫使对方率先无路可走，是棋盘博弈通用解题模型。 3. 皇后登山 （1）游戏规则 i. 在方形棋盘（8×8、18×18 围棋盘均可）放一枚皇后棋子。 ii. 走法：每次只能向上、向右、右上对角线三个方向走，可走任意多格，不能不走、不能后退。 iii. 两人轮流走棋，谁先把皇后走到棋盘右上角终点，谁获胜。 iv. 本质等价威佐夫博弈：和两堆取石子游戏规则完全同构。 （2）核心对应关系 把皇后当前位置记为坐标 (行差，列差)，代表离终点还差多少行、多少列： · 向右走 → 减少列差 · 向上走 → 减少行差 · 右上斜走 → 行差、列差同时减少相同格数 完全对应两堆石子： · 从一堆任意取若干 · 两堆同时取相同数量 谁取到最后一颗（走到终点）谁赢。 （3）胜负结论（通用规律） i. 先手必胜：只要初始位置不是必败点，先手一步走到必败点，之后无论后手怎么走，先手都能再走回必败点，稳赢。 ii. 必败点（冷点）：坐标差值满足固定黄金分割比例，后手只要被逼到这类位置，最优走法也必输。 iii. 棋盘越大（如 18×18 围棋盘），只是必败点变多，对称策略、二进制 / 配对策略依然通用。 （4）小学奥数简易必胜策略（不用公式） 皇后登山游戏的必胜策略是——若当前坐标不是奇异点（即不在必败点列表中），先手应一步走到某个奇异点；此后无论后手如何移动，先手总能再次将局面调整到另一个奇异点，最终获胜。奇异点由黄金分割比例确定。 二、典型例题解析 例 1 8×8 棋盘 “王” 子移动对弈 游戏规则：如图，两人轮流移动棋盘上的 “王” 子，每次只能横向或者竖向移动一格。走过的方格不可重复踏入，谁最先无法移动棋子，谁就落败。要求证明：先走者拥有必胜策略。 思路与证明： 将 8×8 棋盘总共 64 个方格，划分成 32 个两两相邻的 1×2 小长方形格子对。 “王” 子初始占据某一格，必然落在其中一个 1×2 格子对内。先走者第一步，直接将 “王” 子移到同组配对的另一格。 此后无论后走者把 “王” 子移入哪个新格子对的第一格，先走者都可以跟进走入同格子对的第二格。 由于规则禁止重复走已占方格，后走者永远只能先踏入新格子对的第一格，最终必定率先无路可走，先走者稳赢。 例 2 中国象棋残局策略对局 对局规则：如图，遵循正规中国象棋走子规则，被憋死或无棋可走即为落败，当前由乙方先行走棋，求乙方必胜走法。 局面分析： 对局中双方将、帅、仕均无法移动，底炮不宜横向走动，底线兵卒贸然将军会自陷败局。实际可走的只有三路纵线棋子：边卒可前进 1 步、中炮可前进 4 步、底炮可前进 8 步，三方可走总步数为 13 步，两人轮流走子。 必胜策略原理： 把每路可走步数换算成二进制：1、4、8 对应二进制 1、100、1000。 乙方先手走底炮进 3 步，调整剩余步数为 1、4、5（二进制 1、100、101），使二进制每一个数位上数字之和均为偶数，形成平衡状态。 后续无论甲方怎么走子，都会打破数位和为偶数的平衡；乙方每次都能观察失衡的最高数位，调整同一路棋子步数，重新恢复所有数位之和为偶数。 循环往复，步数逐步耗尽，甲方永远无法走最后一步，乙方必定取胜。 补充：若甲方退炮，乙方就在同一路进相同步数，保持两炮间距不变，始终掌握主动权。 例 3 8×8 国际象棋三枚棋子移至 A 点 游戏规则：如图，棋盘上有三枚棋子，两人轮流移动，每次可任选一枚沿指定方向走任意多格，棋子允许重叠；全部棋子抵达 A 点游戏结束，走最后一步的人获胜。 解题思路： 先算出三枚棋子到 A 点分别需要 59 步、50 步、30 步，将步数转为二进制： 59 = 50 = 30 = 排在一起： 111011 110010 011110 先手玩家只需将第一枚棋子调整步数，让三组二进制数字每一位相加都为偶数。之后后手任意走棋都会破坏平衡，先手始终可以修正恢复偶数数位和，复刻象棋残局的博弈逻辑。 具体操作：先手把最外侧棋子向前移动 15 步，即可锁定必胜局面。 三、基础习题 1. 现有 3×101 规格棋盘，甲乙轮流行棋，甲操控黑子、乙操控白子；棋子只能在本行按固定方向行走，步数不限，但不能越过对方棋子，无棋可走者输。甲先行，求甲的必胜走法。 2. 彩色激光棋盘有红、黄、蓝三种方格，按动任意一行或一列按钮，该行列所有方格会按红→黄→蓝→红循环变色。问能否在不超过 10 次按键操作内，把初始图 a 变换为目标图 b。 3. 在 8×8 棋盘皇后登山游戏中，皇后现在位置离终点还差 (3,5)，现在轮到你走，请问你是必胜还是必败？为什么？ 4. 皇后登山游戏，当前位置离终点为 (4,6)，轮到先手走，请写出先手最简单的一步必胜走法。 四、拓展练习 1. 在 2×19 棋盘上，由甲任意放置两枚皇后棋子 Q1、Q2，由乙率先走棋：可单独将一枚皇后向右走任意格，也可两枚皇后同时向右走相同格数；不可后退、必须行棋，让对方无棋可走即获胜。分析乙的必胜策略。 2. 研究 8×8 标准棋盘上的「皇后登山」博弈游戏，分析胜负策略。 3. 在 18×18 标准围棋盘上，拓展讨论「皇后登山」游戏的取胜规律。 五、基础练习答案 1. 现有 3×101 规格棋盘，甲乙轮流行棋，甲操控黑子、乙操控白子；棋子只能在本行按固定方向行走，步数不限，但不能越过对方棋子，无棋可走者输。甲先行，求甲的必胜走法。 解： 甲应选择任意一行，将黑子直接向右移动99格（到达白子相邻位置），使该行空格数为0，形成(0,99,99)局面。此后无论乙如何移动，甲均能恢复异或和为0的状态，最终甲获胜。 2. 彩色激光棋盘有红、黄、蓝三种方格，按动任意一行或一列按钮，该行列所有方格会按红→黄→蓝→红循环变色。问能否在不超过 10 次按键操作内，把初始图 a 变换为目标图 b。 分析：①符号约定与问题转化 我们先把颜色转化为数字，方便计算： 红（×）→ 0 黄（空白）→ 1 蓝（斜线）→ 2 按动一次行 / 列按钮，相当于该行 / 列所有格子的数字 +1（模 3 运算），因为颜色按 红→黄→蓝→红 循环，每操作一次数字加 1，满 3 则归零。 ②解题关键：行与列操作的独立性 设： 第 i 行按了 ri 次（i=1~7） 第 j 列按了 cj 次（j=1~7） 对任意格子 (i,j)，最终数字满足： 初始值：r i +c j ≡目标值(mod3) 移项得：r i +c j ≡目标值−初始值(mod3) 解：原因推导 ①操作次数的模 3 性质 每一行操作次数 ri 只能是 0,1,2（因为按 3 次和按 0 次效果相同），同理每一列 cj 也是 0,1,2。 ②列操作次数的唯一性 观察第一行的所有格子，它们的 r1 是固定的，因此： c j ≡(目标值(1,j)−初始值(1,j))−r 1 (mod3) 这说明所有列的操作次数 cj 由第一行的差值唯一确定。 ③行操作次数的唯一性 同理，由第一列的格子可得：r i ≡(目标值(i,1)−初始值(i,1))−c 1 (mod3) 这说明所有行的操作次数 r_i 由第一列的差值唯一确定。 ④计算总操作次数 计算出所有行和列的最小操作次数后，会发现： · 行操作总次数：r₁ + r₂ + ... + r₇ · 列操作总次数：c₁ + c₂ + ... + c₇ · 两者相加的最小总次数 > 10，因此无法在不超过 10 次操作内完成转换。 结论：无法在不超过 10 次操作内完成转换。 3. 在 8×8 棋盘皇后登山游戏中，皇后现在位置离终点还差 (3,5)，现在轮到你走，请问你是必胜还是必败？为什么？ 解：必败。 因为 (3,5) 是皇后登山必败奇异点，无论你向上走、向右走、还是斜着走，都会离开必败点，对手下一步都能重新抢到新的必败点，稳稳把你逼输。 4. 皇后登山游戏，当前位置离终点为 (4,6)，轮到先手走，请写出先手最简单的一步必胜走法。 解：先手可以斜走，把位置走到 (3,5)（必败点）。 解释： (4,6) 不是必败点，先手同时减少行差、列差各 1 格，走到经典必败点 (3,5)； 之后不管后手怎么走，先手都能模仿调整，始终守住必败点，最后率先到达终点获胜。 六、拓展练习答案 1. 在 2×19 棋盘上，由甲任意放置两枚皇后棋子 Q1、Q2，由乙率先走棋：可单独将一枚皇后向右走任意格，也可两枚皇后同时向右走相同格数；不可后退、必须行棋，让对方无棋可走即获胜。分析乙的必胜策略。 分析： 问题转化：威佐夫博弈模型 这个问题可以直接转化为经典的威佐夫博弈（两堆取石子游戏）： 设 Q1 到终点 E 的距离为 a，Q2 到终点 E 的距离为 b（即两堆石子的数量） 规则对应： ①单独移动一枚皇后向右走任意格 → 从一堆石子中取任意数量石子 ②同时移动两枚皇后向右走相同格数 → 从两堆石子中取相同数量石子 目标：取走最后一颗石子（让对方无棋可走）获胜 解：威佐夫博弈的核心是奇异局势（必败点），当两堆石子的数量满足特定黄金分割比例时，轮到的一方必败。 乙的必胜操作步骤 第一步：计算初始距离，制造奇异局势 甲任意放置两枚皇后后，乙先计算 Q1、Q2 到终点 E 的距离 (a,b)。 若 (a=b)：乙直接同时移动两枚皇后到终点，一步获胜。 若 (a≠b)：设 (a < b)，令 (k = b - a)，找到对应的奇异局势 ((ak, bk))，通过以下方式调整： 若 (a > ak)：乙从距离较大的皇后（b）单独向右移动，将 b 调整为 (bk)，使局面变为 ((ak, bk))。 若 (a < ak)：乙同时移动两枚皇后，使 (a,b) 同时减少相同格数，最终形成 ((ak, bk))。 后续：维持奇异局势，模仿跟随 甲每次走棋都会打破奇异局势，乙只需根据甲的走法，调整其中一枚或两枚皇后的位置，重新回到新的奇异局势： 若甲移动一枚皇后：乙在另一枚皇后上做对称操作，恢复局势平衡。 若甲同时移动两枚皇后：乙调整其中一枚，重新回到奇异局势。 结论： 乙永远存在必胜策略： 甲的任意初始放置，都无法直接形成奇异局势（除非巧合）。 乙作为先手，总能通过第一步调整，将局面带入奇异局势。 后续乙只需始终维持奇异局势，就能让甲永远处于被动，最终率先无棋可走。 2. 研究 8×8 标准棋盘上的「皇后登山」博弈游戏，分析胜负策略。 分析：（1）游戏规则 1. 棋盘：8 行 8 列国际象棋棋盘，终点固定在右上角。 2. 皇后走法：每步只能向上、向右、右上斜走三个方向，可走任意多格，不许后退、不许不走。 3. 两人轮流走棋，谁最先走到右上角终点谁获胜。 4. 数学本质：完全等价威佐夫博弈（两堆取石子）。 （2）坐标设定 设皇后离终点还差： · 向上还差 格 · 向右还差 格 位置记作 ，范围： 走到 即为获胜。 走法对应： · 向上走：只减小 · 向右走：只减小 · 斜着走： 同时减少相同格数 解：（1）8×8 棋盘内 必败点（奇异局势） 站在这些位置轮到谁走谁必输： 特点：两数比值接近 0.618 黄金分割。 8×8 棋盘最大坐标是 7，上面就是全部必败点，没有其他。 （2）通用必胜策略（三步走） 第一步：判断当前位置 看 是否在必败点表里： · 在：只能被动走，等对手失误 · 不在：先手必胜，主动一步跳进必败点 第二步：先手第一步强行跳进必败点 举例： · 起点 ：斜走 2 格，走到 必败点 · 起点 ：向右走 1 格，走到 必败点 第三步：后手怎么走，先手就怎么 “拉回必败点” · 后手向上改 → 先手向右调 ，重回必败点 · 后手向右改 → 先手向上调 ，重回必败点 · 后手斜走同减 → 先手也斜走，维持黄金比例 一直把对手锁在必败态，最后先手率先到达终点。 结论 1) 开局不在必败点 → 先手必胜 2) 开局刚好在以上 7 个必败点之一 → 先手必败 3) 8×8 棋盘里绝大多数初始位置都是先手必胜。 说明：8×8 棋盘特殊规律总结 1) 必败点只有 7 个，其余全是先手赢。 2) 不用复杂计算，背住 7 个必败点就能做题。 3) 策略核心：抢占必败点、永远维持黄金比例。 4) 棋盘扩大（如 18×18）只是必败点变多，策略完全不变。 3. 在 18×18 标准围棋盘上，拓展讨论「皇后登山」游戏的取胜规律。 解：（略） 学科网（北京）股份有限公司 $