奥数：第10讲 数与形（讲义）-2025-2026学年六年级上册数学 人教版

【人教版】小学六年级上数学奥数：第10讲 数与形 一、专题核心 本讲以棋盘、方格、方阵为载体，重点考查：方阵计算、格点面积、奇偶性判断、图形分割、棋盘控制、逻辑排布六大奥数高频题型，围绕2×1 骨牌、L 型骨牌、田字格、方块拼图展开，是小升初与竞赛典型专题。 核心方法：黑白染色法、奇偶判断、格点计数、倍数验证、矛盾推理。 定理 1：m×n 棋盘能被 2×1 骨牌覆盖的充分且必要的条件是 m、n 中至少有一个是偶数。 定理2（正方形格点面积公式）： 公式 符号说明 · ：格点多边形的面积（单位为网格正方形面积） · ：多边形内部的格点总数 · ：多边形边界上的格点总数（包括所有顶点） 适用条件 · 多边形是简单多边形（无交叉、无重叠） · 所有顶点都在正方形格点上 · 网格为单位正方形（边长 = 1） 二、典型例题 例 1 象棋盘格点三角形最大面积 如图，中国象棋盘中，黑方 “象” 可在 1–7 号位置，红方两个 “相” 可在 8–14 号位置。求三个棋子位置如何选取，围成的三角形面积最大。 解： 设每个小方格边长为 1，面积为 1。 由于三角形面积 ≤ 外接长方形面积的一半。所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所在边的外接长方形面积的大小就可见端倪。 直观上看，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了。 比较得： 顶点为 (2，10，12)或(3，10，12)时面积最大。 最大面积： 答：黑象在 2 或 3 位，红相在 10、12 位时，三角形面积最大，如图。 例 2 围棋方阵棋子问题 如图，一堆棋子摆成实心方阵，余 12 枚；若每边加 1 枚重新摆方阵，则差 9 枚。求棋子总数。 解： 两次方阵相差：（枚） 相邻两边和为 21，原方阵每边：（枚），如图: 棋子总数：（枚） 答：共有棋子 112 枚。 例 3 国际象棋盘蚂蚁爬行问题 如图，国际象棋盘黑白相间，小蚂蚁只能黑格→白格→黑格交替走，不重复走格子。问能否从 A 出发，遍历所有格后回到 A？ 解： 能。 因为棋盘黑白格数量相等，且满足奇偶交替回路，可构造出闭合回路，如图。 答：可以实现，存在这样的爬行路线。 例 4 8×8 棋盘四等分 如图，将标有 1、2、3、4 的棋盘分成形状、大小完全相同的四块，每块恰好包含 1、2、3、4 各一个。 解： 总面积 64 格，每块 16 格。 以中心对称分割，先分开相邻的 “4”，再旋转 90°、180°、270° 画出分割线。 逐层分块，保证每块含 1、2、3、4。 （1）将两个并列在一起的 “4” 分开，先画出这段划分线，并将它分别绕中心旋转 90°，180° 和 270°，得到另外三段划分线，如下图所示。 （2）仿照上述方法，画出其他划分线，如图： （3）从里层划分，如图： （4）将图形旋转180°，完成划分，如图： 答：按中心对称四等分即可满足要求。 例 5 国际象棋五皇后控制棋盘 在 8×8 棋盘放 5 个皇后（皇后可吃横、竖、斜线，如图），使其控制所有格子。 解： 存在多种构造方案，按分散对角、互不干扰原则放置即可控制全棋盘，如图： 答：按标准五皇后布局放置即可。 例 6 半张象棋盘子力控制 用：两车、两马、两炮、一相、一兵，摆满半张棋盘，控制所有空位，符合象棋规则。 解： 按象棋走法合理排布，使车控直线、马控日、炮隔打、相走田、兵向前，即可全覆盖，如图： 答：按规范排布可实现全控制。 三、拓展例题 例 1 2×1 骨牌覆盖判断 用一黑一白两格组成的 2×1 骨牌，判断下图哪个棋盘不能用这种骨牌不重复完全覆盖。 选项：(A) 3×4 (B) 3×5 (C) 4×4 (D) 4×5 (E) 6×3 解： 2×1 骨牌每次覆盖2 格，棋盘总格数必须为偶数。 3×5=15（奇数）→ 不能覆盖 其余均为偶数格 → 可以覆盖 答案：(B) 例 2 剪去两角的 8×8 棋盘覆盖 如图，8×8 棋盘剪去左上、右下两格，能否用 31 个 2×1 骨牌覆盖？ 解： 棋盘黑白相间染色，原黑格 32、白格 32。 剪去两角同色，剩余：黑 32、白 30（或相反）。 每个 2×1 骨牌必盖1 黑 1 白，31 个应盖 31 黑 31 白。 与实际格数矛盾 → 不能覆盖。 答案：不能 例 3 L型和—型骨牌（3 格）拼接判断 如图，用 L 型 和—型3 格骨牌拼下列图形，判断可拼成的图形。 解： 格数必须是 3 的倍数 → (1)(2) 共 11 格，排除。 (3) 结构无法拼接；(4) 可完美拼接，如图。 答案：(4) 例 4 2×n 棋盘被 L 型骨牌（3格）覆盖条件 2×n 棋盘能用 L 型（3 格）骨牌覆盖的充要条件：3 | n。 证明： 充分性证明：n=3k → 2×n=2×3k，可拆成 k 个 2×3，每个 2×3 可用 2 个 L 型覆盖。 必要性证明：2n=3x → 3|2n，(2,3)=1 → 3|n。 例 5 7 种四格方块拼 7×4 长方形 如图，七种四格方块各用 1 次，能否拼成 7×4 长方形？最多能用几种？ 解： 总格子：4×7=28，黑白各 14。 七种方块里1 种占 3 黑 1 白或 3 白 1 黑（奇数），其余 6 种各占 2 黑 2 白（偶数）。 7 种各用 1 次 → 黑白格总数必为奇数，与 14 偶矛盾。 最多可用6 种。 答案：最多 用上6 种。 例 6 8×8 棋盘用 15 个L型骨牌（3格）+ 1个田字格覆盖 能否覆盖？ 解： 棋盘共 32 黑 32 白。 田字格盖 2 黑 2 白。 每个 L 型盖奇数个白格（1 或 3），15 个 L 型盖奇数个白格。 总数：奇数 + 2 = 奇数 ≠ 32（偶数）→ 矛盾。 答案：不能 四、基础练习题 1. 在 4×4 棋盘填 A、B、C、D，使每行、每列、两斜线都各含一个字母。 2. 4×4 棋盘放 A、B、C、D，每行每列各一个，求总放法数。 3. 16×16 方格中，求 “小狗” 图形(如下图)的面积。 4. 3×3 棋盘定义 “马步距离”，比较 |AB|m、|AC|m、|AD|m、|AE|m 的最大与最小值。 5. 6×6 棋盘至少放几枚棋子，保证任意划掉 3 行 3 列后仍剩至少 1 枚棋子。 五、拓展练习题 1. 4×4 正方形中至少放几个 L 型3格骨牌，不重叠的情况下，使无法再放入另一个 L 型？ 2. 3 个 T型4格骨牌和+ 1 个田字格骨牌能否覆盖 4×4 棋盘？ 3. 证明 5×9 棋盘可被 L 型3格骨牌覆盖。 4. 证明 4×4 的围棋棋盘，剪去对角两格后，不能用 7 个 1×2 骨牌覆盖。 5. 如图，将 6×6 含 A、B、C、D、E 的棋盘分成形状大小相同的两块，每块含 A、B、C、D、E 各一个。 六、基础练习题解答 1. 填法示例（不唯一） A B C D B C D A C D A B D A B C 2. 放法总数 （种） 3. 用格点面积公式计算即可，面积是71.5 4. 马步距离 最大值：|AE|m=4 最小值：|AC|m=2 5. 至少放 10 枚,如图： 若放 9 枚，可被 3 行 3 列全部划掉；放 10 枚则必剩余。 七、拓展练习题答案 1. 至少放 2 个 2. 不能 3. 5×9=45 格，是 3 的倍数，可分块覆盖，能。 4. 黑白格数不等，不能。 5. 沿中心对称线分割即可满足要求。 学科网（北京）股份有限公司 $