奥数：第11讲 数与代数（讲义）-2025-2026学年六年级上册数学 人教版

【人教版】小学六年级上数学奥数：第11讲 数与代数拓展 一、核心知识 本讲围绕同余性质、整除特征、抽屉原理、质数与余数、中国剩余定理等核心知识，讲解如何用 “同余思想” 快速解决大数计算、整除判断、余数规律、存在性证明等奥数典型题。 同余的两个核心性质： · 若 ，则 （乘法性质） · 若 ，，则 （减法性质） 复合除数万能模板（背会直接用） 1. 拆：把除数拆成两个互质数相乘 2. 判：分别用整除特征列条件 3. 求：先定限制强的数字（末位、11 的差） 4. 验：数字必须是0~9 5. 写：列出全部答案 二、典型例题 例 1 同余模运算 已知： 除以 5 余 1， 除以 5 余 4，且满足 。 求： 除以 5 的余数是多少？ 解：用同余式表示条件 根据题意，我们可以写出： 计算 的余数： 对 的同余式两边同时乘以 3： 计算 的余数 利用同余的减法性质： 验证（举例） 我们可以取一组满足条件的数来验证，比如： 令 （）， 令 （）， 则 ， ，余数为 4，和我们的计算结果一致。 答案： 除以 5 的余数是 。 例 2 个位数字周期规律 若 为自然数，证明： 证明： 根据个位数字周期规律，一个数的高次幂模 10 的余数具有周期性。 因此： 即 。 重要知识点：对于任何自然数a，a5与a的个位数字相同。 例 3 整除特征 录入员每分钟输入72 个汉字，一篇文章有五位数 个汉字，输入用时为整数分钟。求这个五位数。 解： ，又 ，故这个五位数能同时被 8 和 9 整除。 被 8 整除：末三位 能被 8 整除，得 。 被 9 整除：各位和 能被 9 整除，得 。 答案：36792 例 4 所得商的个位数字是几 已知 ，求 所得商的个位数字。 解： 一个整数模 9 的余数等于它各位数字之和模 9。 所以 是 9 的倍数， 设其中k为整数，即 n 的末位由最后一个 “2025” 的末位决定，即 5。 所以 又因为所以 所以k 的个位数字是 5， 故商的个位是5。 例 5 被某数除的余数互不相同 设 是质数，证明： 被 除的余数互不相同。 证明： 假设存在 ，(设 b<a,且 1≤a≤n,1≤b≤n),使得 则 因为 是质数，所以 或 。 但 ，故 ，，矛盾。 因此余数互不相同,得证。 例 6 中国剩余定理 求满足： 被 3 除余 2，被 5 除余 3，被 7 除余 5 的最小三位数。 解： 设所求数为 。 ，设 。 代入 ：。 令 ，则 。 代入 ：。 令 ，则 。 取 ，得最小三位数：173。 所以，所求最小三位数：173 例 7 抽屉原理 给出 12 个互不相同的两位数，证明：必能选出两个数，其差是两位相同数字的两位数（如 11、22、…99）。 证明： 两位相同数字的两位数必为 11 的倍数。 将两位数按除以 11 的余数分为 11 类（0~10）。 12 个数放入 11 个抽屉，必有两数同余，其差是 11 的倍数，即形如 的两位数。 重要知识点：一般地，任何一个整数a被自然数n除，余数只可能是0,1,2,…,n-1这n种情况，这样我们可以利用余数将整数分为几类，如：整数按除以 2 余 1 还是 0，分为奇数和偶数。 又如，整数除以 3，余数只能是 0，1，2 这三种情况，我们可以把所有整数按除以 3 后的余数分三类，即 3k，3k+1，3k+2，（k是整数）。 这种利用余数分类思想，是重要的数学思想方法，它可以使研究问题时搜索的范围大大缩小。 例8 整除 五位数 能被 18 整除，求 解： 因为，且 2 与 9 互质，所以同时被 2 和 9 整除。 ① 被 2 整除： 是偶数： ② 被 9 整除：数字和是 9 的倍数 数字和： 所以是 9 的倍数，即： 或 结合为偶数，得： ： ： 答： 三、拓展例题 拓展例 1 按同余类造抽屉 证明：不小于 5 的质数的平方减 1，必能被 24 整除。 证明：因为质数中仅有一个偶数2， 所以，不小于 5 的质数必为奇数，又不小于 5 的自然数按除以 6 所得的余数可分为 6 类，6k-2,6k-1,6k,6k+1,6k+2.6k+3, 其中，6k-2,6k,6k+2是偶数，又3|6k+3. ∴不小于 5 的质数必为奇数,且只能是 型。 与 一奇一偶，故其中定有一个数含因数 2， 因此 ，即 。 拓展例 2 复合除数 求能被 33 整除的六位数 的个数（x,y 为 0~9 的数字） 解： 要使六位数 能被 33 整除，因为 ，且 3 与 11 互质，所以该数必须同时被 3 和 11 整除。 ① 利用被 11 整除的特征求 被 11 整除的数，其奇数位数字和与偶数位数字和的差是 11 的倍数（含 0）。 奇数位数字和： 偶数位数字和： 差值： 由于 是 0~9 的数字，因此 的取值范围是 3~12。 要使 为 11 的倍数，只能是： ② 利用被 3 整除的特征求 被 3 整除的数，其各位数字和是 3 的倍数。 各位数字和： ③ 列出所有符合条件的数 ：200013 ：203016 ：206019 答：能被 33 整除的六位数 共有 个。 拓展例 3 求余数 已知： 问： 除以 13 所得的余数是几？ 关键思路： (1)先找一个由多个 “2026” 组成的数，使其能被 13 整除，从而确定循环周期。 (2)用总个数除以周期，看余数是多少，再计算剩下部分除以 13 的余数。 解： ① 找循环节：计算得 202620262026 ≡ 0 (mod 13)， 即3个“2026”组成的数能被13整除，周期为3。 ② 算总个数的余数：2026 ÷ 3 = 675 …… 1。 ③ 求最终余数：a除以13的余数，等于剩下的1个“2026”除以13的余数。 2026 ÷ 13 = 155 …… 11。 即 除以 13 所得的余数是 11。 答：a除以13所得的余数是11。 拓展例 4 复合余数类构造抽屉 任给七个不同的整数，证明其中必有两个数，其和或差是 10 的倍数。 分析 首先考虑什么样的两个整数的和或差可以被 10 整除。设两个整数 ： 若 ，则 ； 若 ，而 ，则 。 只有这两种情况。但如果按整数除以 10 的余数造抽屉，会有 10 个抽屉，无法直接对 7 个数应用抽屉原理，因此需要构造 6 个抽屉：把余数之和等于 10 的并为一类，分为： 共 6 类，恰好构成 6 个抽屉，再应用抽屉原理即可证明。 证明： 根据整数 构造六个抽屉如下： 🔍 本题核心技巧：复合余数类构造抽屉 这道题的关键是把 10 个余数（0~9）合并成 6 个 “复合抽屉”，而不是直接用 10 个余数抽屉： 抽屉编号 包含的余数 对应数的形式 说明 1 0 余数为 0，两数差必为 10 的倍数 2 1、9 余数 1 和 9 的和为 10，两数和必为 10 的倍数 3 2、8 余数 2 和 8 的和为 10，两数和必为 10 的倍数 4 3、7 余数 3 和 7 的和为 10，两数和必为 10 的倍数 5 4、6 余数 4 和 6 的和为 10，两数和必为 10 的倍数 6 5 余数为 5，两数差必为 10 的倍数 抽屉原理应用： 因为 7 个整数放入 6 个抽屉，必有两个数落在同一抽屉； 同一抽屉中的两个数，要么余数相同（差为 10 的倍数），要么余数互补（和为 10 的倍数）； 因此，必有两个数的和或差是 10 的倍数。 四、基础练习 1. 求 除以 7 的余数。 2. 证明： 被 5 除余 0。 3. 求满足除以 5 余 2，除以 7 余 4，除以 11 余 3 的最小三位数。 4. 数列：0,1,3,8,21,… 求第 70 个数除以 6 的余数。 5. 任取 6 个不同自然数，证明必有两数之差是 5 的倍数。 五、拓展练习 1. 四位数() 能被 45 整除，求所有这样的四位数 2. 求满足除以3余1，除以4余2，除以6余4的最小正整数。 3. 证明：任意大于 3 的质数的平方减 1，必能被 24 整除。 4. 求能被 33 整除的六位数 的个数（ 为 0~9 的数字）。 5. 已知 ，求 的余数。 六、基础练习解答 1. 余数：4 2. 题目：证明 证明： 而： 因此： 所以： 结论： 能被 5 整除。 3. 解答 (1)先处理前两个条件 条件 1：除以 5 余 2，即 条件 2：除以 7 余 4，即 观察发现： 能同时被 5 和 7 整除（因为 ，）。 5 和 7 的最小公倍数是 ，所以： (2)代入第三个条件 条件 3：除以 11 余 3，即 将 代入： 先化简 ： ，所以 ，因此： 两边同时除以 2（2 和 11 互质，可直接除）： 即 （为整数），代入 ： (3)找最小的三位数 当 时，，验证：102 是三位数， 因此满足条件的最小三位数是 102。 4. 4 5. 按除以 5 的余数分 5 类，6 个数必有两数同余，差为 5 的倍数。 七、拓展练习解答 拓展练习题1 四位数 能被 45 整除，求所有这样的四位数。 解： 因为，且 5 与 9 互质，所以能同时被 5 和 9 整除。 ① 被 5 整除： 或。 ② 被 9 整除：数字和是 9 的倍数 数字和： 当：是 9 的倍数 ⇒ 得： 当：是 9 的倍数 ⇒ 得： 答：符合条件的四位数是 5760、5265，共 2 个。 拓展练习题2 题目：求满足除以3余1，除以4余2，除以6余4的最小正整数。 解： 1. 观察前两个条件：除以3余1、除以4余2，发现“n + 2”能同时被3和4整除（1+2=3，2+2=4）； 2. 3和4的最小公倍数是12，因此n = 12k - 2（k为正整数）； 3. 代入第三个条件“除以6余4”，即12k - 2 ≡ 4 (mod 6)； 4. 化简：12k ≡ 0 (mod 6)，-2 ≡ 4 (mod 6)，因此12k - 2 ≡ 0 + 4 = 4 (mod 6)，满足条件； 5. 找最小正整数，当k=1时，n=12×1 - 2 = 10，验证：10÷3=3余1，10÷4=2余2，10÷6=1余4，符合所有条件。 答案：10 拓展练习题3 题目： 证明：任意大于 3 的质数的平方减 1，必能被 24 整除。 解答： 设大于 3 的质数为 ，因为质数中只有 2 是偶数，所以 必为奇数，且 不是 3 的倍数。 先证明 能被 8 整除： 是奇数，可设 ，则 和 是连续整数，必有一个偶数，因此 ，故 ，即 。 再证明 能被 3 整除： 不是 3 的倍数，因此 或 。 若 ，则 ，故 。 若 ，则 ，故 。 因此 。 因为 和 互质，所以 。 综上，大于 3 的质数的平方减 1，必能被 24 整除。 拓展练习题4 题目： 求能被 33 整除的六位数的个数（ 为 0~9 的数字）。 解： ① 被 11 整除： 奇数位和： 偶数位和： 差值： 为 11 的倍数，，故 或 或 （舍去），即 或 。 ② 被 3 整除： 各位和 需为 3 的倍数，。 ：，满足条件。 ：，不满足，舍去。 ③ 计数 的非负整数解（）： 经验证，且无超出 9 的情况，有 28 个解。 答：能被 33 整除的六位数 共有 28 个。 拓展练习题5 题目： 已知 ，求 的余数。 解答： 找循环节：计算 ，验证得 ，即3 个 “2025” 组成的数能被 13 整除，周期为 3。 计算总个数的余数：，余数为 0。 因此 是由 组完整的 3 个 “2025” 组成，故 。 答： 的余数是 0。 学科网（北京）股份有限公司 $