精品解析：广东省广州市天河区2025届高三下学期综合测试（三）数学试卷

2025届天河区普通高中毕业班综合测试（三） 数学 本试卷满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量不共线，与共线，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线得到，求解即可. 【详解】因为与共线， 所以， 解得：， 故选：A 2. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算代入计算，即可得到以及，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 则，所以. 故选：A 3. 某校新建一个报告厅，要求容纳840个座位，报告厅共有21排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，则第1排应安排的座位数为（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设第一排安排的座位数，因为从第2排起后一排都比前一排多2个座位， 所以每排座位数构成一个公差的等差数列， 且该数列的前项和， 即，解得. 故选：C 4. 设是方程的两根，则（ ） A. p B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将原式化简，然后结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】因为是方程两根， 由韦达定理可得， 且. 故选：D 5. 已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得，根据函数和的奇偶性，可求得，，代入化简即可求解. 【详解】∵，∴. ∵是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数， ∴，，∴， ∴，. ∴. 故选：D. 6. 已知抛物线的焦点为，点为上的不同两点，若线段的中点到轴的距离为2，则的最大值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据中点求出点的横坐标的关系，然后利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可将的表达式写出来，最后根据基本不等式的性质可求出 最大值. 【详解】因为点在抛物线上， 所以设，可得，， 因为线段的中点到轴的距离为2， 所以. 因为焦点，准线方程为，所以 由抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得 ，所以 因为的横坐标均大于0，所以， 所以的最大值为4. 所以当时，即时，取最大值为9. 故选：C. 7. 已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的性质得出的周期，求出的值，再根据题意代入自变量求解 【详解】由题意可得，所以最小正周期，所以，解得， 所以，由图象过点，所以， 所以，所以，所以， 又，所以，所以， 因为A，B，C是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，且， 所以，所以，所以， 所以. 故答案为：B. 8. 一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件A：，事件B：，事件C：，则（ ） A. A，B互斥 B. C. D. A，B，C两两独立 【答案】D 【解析】 【分析】利用互斥事件的定义即可判断A，根据并事件的定义即可判断B，利用独立事件的定义即可判断CD. 【详解】对于A：，即事件同时发生，所以，故A错误； 对于B：事件发生，不一定发生，故B错误； 对于C：根据题意，， 所以，，故C错误； 对于D：由，， 所以A，B，C两两独立，故D正确， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共项 B. 各项系数的和为1 C. 项的系数为 D. 二项式系数最大的项为第项 【答案】BD 【解析】 【分析】由二项式展开式的项数即可判断A，由赋值法代入计算，即可判断B，由展开式的通项公式即可判断C，由二项式系数的性质即可判断D. 【详解】对于A，的展开式中共项，故A错误； 对于B，令可得，则各项系数的和为1，故B正确； 对于C，二项式展开式的通项公式为， 令，则该项系数为，故C错误； 对于D，因为二项式的指数为偶数，展开式有项， 则二项式系数最大的项为中间一项，即第项，故D正确； 故选：BD 10. 某次测验中，高三（1）班m位同学参加考试，平均分为，方差为，高三（2）班n位同学参加考试，平均分为，方差为，两个班总的平均分为，方差为，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平均数的公式和方差的公式对每个选项进行推导即可判断正确性. 【详解】根据题意可知，两个班的平均分，方差 对于选项A： 若，则，所以选项A正确. 对于选项B： 若，则，选项B正确. 对于选项C： 若，则，那么 . 而， 因为正负不确定，所以不等式不一定成立，选项C不正确. 对于选项D： 若，则，那么 ， 故选项D正确 故选：ABD. 11. 函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】求出的零点和极值点，对，在取不同符号的值的情况下可能的图象进行分类讨论，选出符合题意的图象． 【详解】令，得， ，令，得， 若，，则，且时，恒成立， 时，，递减，，，递减， ，，递增，故D正确； 若，，则，且时，恒成立， 时，，递增，时，，递减， 时，，递减，故B正确； 若，，则，且时，恒成立， 时，，递减，时，，递增， 时，，递增，故C错误； 若，，，且时，恒成立， 时，，递增，，，递增， ，，递减，故A错误； 综上，A,C错误，B,D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的焦点为、，以为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于、两点，若直线与圆相切，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，利用勾股定理求出的值，然后利用椭圆的定义可求得的值. 【详解】由题意可知，圆的半径为（为坐标原点）， 因为直线与圆相切，由圆的几何性质可得，且， 由勾股定理可得， 因为点在椭圆上，由椭圆的定义可得，故. 故答案为：. 13. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理整理等式，解得与的值，根据同角三角函数以及三角形面积公式，可得答案. 【详解】由，根据余弦定理，则，解得， 同理，由，则， 通分可得， 由，则， 化简可得，易知，则， 所以的面积. 故答案为：. 14. 已知棱长为1的正方体，在其内部放入两个相外切的球和球（可与正方体表面相切），半径分别为，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】要想最大，则两球都分别与正方体体对角线顶点相邻的三个面都相切求解. 【详解】当球和球相切，此时两球球心均在体对角线上， 且球与平面，平面，平面相切， 球与平面，平面，平面相切，此时取得最大值， 其中，，，， 故， 解得， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为减少环境污染，保护生态环境，某校进行了“垃圾分类知识普及活动”，并对高一、高二全体学生进行了相关知识测试．现从高一、高二各随机抽取了20名学生，对他们的成绩（百分制）进行了整理和分析后得到如下信息： 高一年级成绩分布表 成绩 人数 1 2 3 4 10 高二年级成绩频率分布直方图 （1）从高一和高二样本中各抽取一人，求这两人成绩都不低于90分的概率； （2）用频率估计概率，分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取两人，随机变量表示这三人中成绩不低于90分的人数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析；. 【解析】 【分析】（1）首先求出高一年级成绩不低于90分的概率，然后求出高二年级成绩不低于90分的概率，最后根据独立事件概率公式求出高一年级高二年级各抽取1人成绩都不低于90分的概率. （2）首先确定的可能取值，然后对每个取值情况下求取概率值，最后根据数学期望的公式求出的期望. 【小问1详解】 从高一年级成绩分布表可以看出，成绩不低于90分的概率为. 从高二年级成绩频率分布直方图中可以看出，成绩不低于90分的概率为. 所以从高一和高二样本中各抽取1人，这两人的成绩都不低于90分的概率为： . 【小问2详解】 根据题意可知，的可能取值为0，1，2，3. 当时，即这三个人中成绩都低于90分，此时概率为： . 当时，即这三个人中成绩只有1人的成绩是不低于90分的，此时概率为： . 当时，即这三个人中成绩只有2人的成绩是不低于90分的，此时概率为： . 当时，即这三个人的成绩都是不低于90分的，此时概率为： . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为. 16. 如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，且． （1）求证：； （2）若三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，通过平面，得到即可求证； （2）建系求得直线方向向量，平面法向量代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 取的中点为，连接， 因为底面是边长为4的等边三角形， 所以，又，为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面内， 所以， 又的中点为， 所以， 【小问2详解】 过作，垂足为， 由（1）平面，在平面内， 所以，为平面内两条相交直线， 所以平面，即为棱柱的高， 又， 三棱柱的体积为， 所以， 又，所以， 又底面是边长为4的等边三角形， 所以， 过作的平行线作为轴，为轴，建系， 则， 设，则， 由，可得， 即， 设平面的法向量为， 则， 设，得， 所以， 设直线与平面所成角为， 则 17. 已知双曲线． （1）若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为，求直线l的方程； （2）若P为双曲线C右支上异于右顶点的一个动点，F为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在定点，使得，此时 【解析】 分析】（1）利用点差法可求出直线斜率，再求直线方程即可； （2）利用正切二倍角公式结合点在双曲线上化简可得； 【小问1详解】 设， 则，作差可得，所以， 因为线段AB的中点坐标为，所以， 所以， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即. 【小问2详解】 假设存在定点，使得. 设，焦点， 因为，所以， 即，化简可得， 又点在双曲线上，所以， 代入上式可得， 整理可得，因为对于恒成立， 所以且，解得. 当时，代入双曲线方程可得， 显然，此时为等腰直角三角形，也成立， 综上，. 18. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）已知关于x的方程有两个解 （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）为正实数，若当时，都有，求的取值范围． 【答案】（1）单调区间见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）在时，通过求导，判断导函数的符号可得的单调情况； （2）（ⅰ）构造，分类讨论与时的图象性质，由极大值得到，再分类讨论区间与上零点的情况可确定的取值范围；（ⅱ）对进行转化得，设，则，则，构造函数，证得，分类讨论与两种情况，从而确定. 【小问1详解】 函数的定义域为， 则， 因，由得，由得， 即函数在上单调递增，在上单调递减. 故当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 （ⅰ）由可得，依题意方程有两个解， 设，则，且在上有两个零点. 当时，，故在上单调递增，则在上最多只有一个零点，不合题意； 当时，由得，由得， 即在上单调递增，在上单调递减，故在时取得极大值. 要使在上有两个零点，需使，即，解得. 当时，因，又，则， 又在上单调递增，所以在有唯一零点； 当时，令，则， 再令，则， 故在上单调递增，则，即， 故在上单调递增，则， 因，所以，即，即，即， 故， 又在上单调递减，故在上有唯一零点. 综上，当时，在上有两个零点， 即方程有两个解，故a的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）可得，且，故， 因，则，即，也即， 故有，设，则，于是可得，即. 设，则， 因时，， ①当时，在上恒成立，故函数在上为增函数， 即，即在上恒成立； ②当时，，而，当时，， 故存在，使得，使得，故在上为减函数，故，矛盾. 综上，可得，即 19. 对于数集，其中，，定义“伴随向量集”．若对任意，存在，使得，则称A“好集”． （1）已知数集，请写出数集的“伴随向量集”，并判断是否为“好集”（不需要证明）； （2）若有限集为“好集”，求证：，且当时，； （3）若有限集为“好集”，且，求． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“伴随向量集”的概念写出集合，再根据“好集”的概念判断集合是否为“好集”. （2）先取，根据“好集”的概念，可证明；在利用反证法，证明. （3）根据“好集”的概念，探索集合中元素的构成，得到数列的结构特点，再求. 【小问1详解】 根据“伴随向量集”的定义可得： . 因为，，，，，， 所以对任意，存在，使得，故集合为“好集”. 【小问2详解】 取，因为集合是“好集”，所以存在，使得，即. 因为，所以. 因为，所以存在，或，. 所以. 假设，取，因为集合是“好集”，所以存在，使得. 因为，所以异号. 若，则，而，，所以不可能成立； 若，则，而，，所以不可能成立. 故假设错误，即. 又，且，所以. 【小问3详解】 有限集为“好集”，且，，所以. 取，由 “好集”定义，存在，使得，所以异号. 若，则，因为，，所以； 若，则，因为，，所以该式不成立. 类似的：考虑向量，，…，可得序列，，，…，都在集合中. 由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届天河区普通高中毕业班综合测试（三） 数学 本试卷满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量不共线，与共线，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. 6 D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 3. 某校新建一个报告厅，要求容纳840个座位，报告厅共有21排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，则第1排应安排的座位数为（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 4. 设是方程的两根，则（ ） A. p B. C. D. 5. 已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知抛物线焦点为，点为上的不同两点，若线段的中点到轴的距离为2，则的最大值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 36 7. 已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件A：，事件B：，事件C：，则（ ） A. A，B互斥 B. C. D. A，B，C两两独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共项 B. 各项系数的和为1 C. 项的系数为 D. 二项式系数最大的项为第项 10. 某次测验中，高三（1）班m位同学参加考试，平均分为，方差为，高三（2）班n位同学参加考试，平均分为，方差为，两个班总的平均分为，方差为，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 函数图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的焦点为、，以为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于、两点，若直线与圆相切，则______． 13. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为______． 14. 已知棱长为1的正方体，在其内部放入两个相外切的球和球（可与正方体表面相切），半径分别为，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为减少环境污染，保护生态环境，某校进行了“垃圾分类知识普及活动”，并对高一、高二全体学生进行了相关知识测试．现从高一、高二各随机抽取了20名学生，对他们成绩（百分制）进行了整理和分析后得到如下信息： 高一年级成绩分布表 成绩 人数 1 2 3 4 10 高二年级成绩频率分布直方图 （1）从高一和高二样本中各抽取一人，求这两人成绩都不低于90分概率； （2）用频率估计概率，分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取两人，随机变量表示这三人中成绩不低于90分的人数，求的分布列和数学期望． 16. 如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，且． （1）求证：； （2）若三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 17 已知双曲线． （1）若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为，求直线l的方程； （2）若P为双曲线C右支上异于右顶点的一个动点，F为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）已知关于x的方程有两个解 （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）为正实数，若当时，都有，求的取值范围． 19. 对于数集，其中，，定义“伴随向量集”．若对任意，存在，使得，则称A为“好集”． （1）已知数集，请写出数集的“伴随向量集”，并判断是否为“好集”（不需要证明）； （2）若有限集为“好集”，求证：，且当时，； （3）若有限集为“好集”，且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$