第5章 分式与分式方程 能力提升卷-【千里马·单元测试卷】2025-2026学年八年级下册数学(北师大版·新教材)

(3)解：由(2)知△ADB≌△CEA, .∴.BD=AE,∠DBA=∠CAE △ABF和△ACF均为等边三角形， .∠AFB=∠ABF=∠CAF=60°， .∴.∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF, .∴.∠DBF=∠EAF BF=AF,∴.△DBF≌△EAF, .∴.DF=EF,∠BFD=∠AFE, ∴.∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=∠AFB =60° .△DEF为等边三角形 第四章基础测试卷 1.C2.B3.A4.B5.A6.C7.B8.C9.D10.A 11.2xy212.4213.202514.(2m+n)(m+2n) 15.101030(或103010或301010) 16.解：(1)原式=y(x2-1)=y(x+1)(x-1) (2)原式=b(a2-4a+4)=b(a-2)2. (3)原式=x(x-2)+(x-2)=(x+1)(x-2). (4)原式=[(y+2x)+(x+2y)][(y+2x)-(x+2y)] =(y+2x+x+2y)(y+2x-x-2y) =(3x+3y)(x-y) =3(x+y)(x-y). 17.解：m3n-6m2n2+9mn3 =mn(m2-6mn+9n2) =mm(m-3n)2. 当m=-2,n=-3时， 原式=（-2)×(-3)×[-2-3×(-3)]2 =294. 18.解：(x-2)(x-8)=x2-10x+16, .g=16. (x+2)(x-10)=x2-8x-20, .p=-8, .原多项式因式分解为x2-8x+16=(x-4)2. 19.解：(1)原式=(x-y-1)2 (2)原式=(a+b-2)2. 20.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下： 由于b2+2ab=c2+2ac, 即b2-c2+2ab-2ac=0, (b+c)(b-c)+2a(b-c)=0, (b-c)(b+c+2a)=0. a,b,c是△ABC的三边长， .b+c+2a≠0， .∴.b-c=0,.b=c, 即△ABC是等腰三角形， (2)代数式a2-2ac+c2-b2的符号为负.理由如下： a2-2ac+c2-b2=(a-c)2-b2=(a-c+b)(a-c-b). :a,b,c是△ABC的三边长， ∴.a-c+b>0,a-c-b<0, .a2-2ac+c2-b2<0. 21.解：(1)(2×5+1)2=(6×10+1)2-(6×10)2 (2)第n个等式为 (2n+1)2=[(n+1)·2n+1]2-[(n+1)·2n]2. 证明：等式左边：(2n+1)2=4n2+4n+1, 等式右边：[(n+1)·2n+1]2-[(n+1)·2n]2 =[(n+1)·2n+1+(n+1)·2n]·[(n+1)·2n+1- (n+1)·2n] =[(n+1)·4n+1]×1=4n2+4n+1, ∴.等式左边=等式右边，故等式成立 22.解：(1)147 (2)另一个因式为x+2. 23.解：(1)x2+6x-27=(x-3)(x+9). (2)6x2-7x-3=(2x-3)(3x+1). (3)20(x+y)2+7(x+y)-6=[4(x+y)+3]·[5(x+ y)-2]=(4x+4y+3)(5x+5y-2). 第五章基础测试卷 1.D2.C3.B4.D5.B6.D7.C8.D9.B10.A 1.2(x+10(x-1)12.号13.240-2400 =8 x(1+20%)x 14.m<-2且m≠-315.4 16解.()原式=(a-)+8+号 =a+2.a+3 a+i+a2-1 -a+2)(a-+4+3-a+ a2-1+a2-1-a-1 a)原武分品引号 =x(x-1)-(x+2)(x-2).x-2 x(x-2)2 x-4 =2-*-+4.1 x(x-2)x-4 1 1 x(x-2)2x-7 = 17.解：(1)x=-2 7 (2)x=1. 18解：原威（整0 =2a2-8a.(a+2)2 a+2 a-4 =2a(a-4).(a+2)2 a+2 a-4 =2a(a+2) =2(a2+2a). a2+2a-3=0, .a2+2a=3,.原式=2×3=6. 19.解：(1)② 八年级数学 北师版下册 (2)4或5 =-5, 4a2 (3)原式=8(a-b)8 4a x2 1 “-72+1=- _4a2-4a(a-b) 【拓展延伸】 b2(a-b) 日+古66+日g+女 + 4a =6(a-b) 4a 2日++）-+g+动且0， ab-62 1,1,131 20.解：设B车每小时清扫路面的长度为xkm,则A车每小 a+方+。=180 时清扫路面的长度为(x+6)km. ++动 abc 依题意，得早。-兰解得x=30, abc 180 ab +bc+ac=31 经检验，x=30是原方程的根，且符合题意. 答：B车每小时清扫路面的长度为30km. 28解：（名-号 21.解：(1)把m=-3代入原方程，得 (2) 1 方程两边都乘(x-3)(x+3),得-3(x-3)+(x+3)=1, (3):(x-2)(x-3)(x-1)(x-4+(x-1)(x-2 解得x=5.5. =-1 检验：把x=5.5代人(x-3)(x+3)≠0， -4, ∴.x=5.5是原方程的根. (2)当(x+3)(x-3)=0时，x=±3. 11 1 方程两边都乘最简公分母(x-3)(x+3),得m(x-3)+ 六x-3x-4x-4' (x+3)=m+4, .(x-4)-(x-3)=x-3, 整理，得(m+1)x=1+4m .x-4-x+3=x-3,.x=2, :原分式方程无解， 经检验，x=2是原方程的增根， .m+1=0,m=-1. 所以原方程无解. 把x=±3代入m(x-3)+(x+3)=m+4, 第五章能力提升卷 解得m=2,m=一 1.B2.C3.C4.A5.C6.B7.B8.A9.B m=-1,m=2,m=-7元 4 0.D[解标]整理方程，得(x-1)+10三(a-1)+ 22.解：【类比探究】 9报据题意，得x-1=4-1或-1=9解得 10 由2-3x+1-1,知x≠0， 名=4，无-日经检验=4-日9都为愿分式方 2-3x+1=-, 程的解 x 即x+1-3=-1, 1.-8122或号 13.3600-340=4 x+=2, x80%x -7x2+1 14号15-1 x 16.解：(1)x=3. =+-7 (2)x=1. =(+-2-7 g原武号+2 1-x = 1 =22-2-7 x(x+2)+x+2 ·45· 见此图标跟微信扫码 分阶突破智趣成长 =1-x+8 x(x+2) 1 =x(x+2) 解不等式组，得-3<x≤2， x取整数， x=-2,-1,0,1,2. 要使原分式有意义，则x≠1，x≠0，x≠-2， x=-1或2， 当x=-1时，原式= 1 x(x+2)=-1; 当x=2时，原式=x(x+2)8 11 1解中+兰 =A(1+x2)+(Bx+C)(1+2x) (1+2x)(1+x2) =(A+2B)x2+(B+2C)x+A+C (1+2x)(1+x2) 1 =(1+2x)(1+2)' rA+2B=0, .{B+2C=0, A+C=1, A-4 , 解得B=一子 c= 即4，B,C的值分别为子，号行 19解：1)B2222 当=15时4=-3 (2)根据题意，得2二x2- 2x-1 =3， 去分母，得2-x+1=6-3x,解得x=1.5, 经检验，x=1.5是原方程的根， .x=1.5. 20.解：设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为 x干米/时 5 依题意，得00+治解得=60， 5■ 4 经检验，x=80是原方程的根，且符合题意. 答：甲车的速度为80千米/时. 21解：7-x+行，且0， ·46· t-3x+1=5, 即x-3+=5, x+=8, 即2+2+2=64， 2+=6, ·原式的倒数=+2+】 x2 =+1+月 =63, .原式=3 1 22.解：(1)设甲车间有x名工人参与生产，乙车间有y名工 人参与生产， 由题意，得化+y=50, 120(25x+30y)=27000, 0 答：甲车间有30名工人参与生产，乙车间有20名工人 参与生产 (2)①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人. 由题意，得 27000 30×25×(1+20%)+20×30 27000 =30×25+(20+m)×30' 解得m=5, 经检验，m=5是原方程的根，且符合题意。 答：乙车间需临时招聘5名工人， ②选择方案一更能节省开支.理由如下： 企业完成生产任务所需的时间为 27000 30×25×(1+20%)+20×30=18(天)， ∴.选择方案一需增加的费用为 900×18+1500=17700(元)； 选择方案二需增加的费用为 5×18×200=18000(元). .:17700<18000, ∴选择方案一能更节省开支、 28解：0是[解折。名子 2 =2(a2+1)-2(a2-1) (a2-1)(a2+1) 4 =(a2-10(a2+1)' 2.2 4 16.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， a2-i×a2+1(a-1)(a+1) ∴.AB=CD,AD=BC,∠B=∠D. 小品己的关联分式 2 .AF=CE,..AD-AF BC CE,..DF BE. 在△ABE和△CDF中， （2)设分式+6的“关联分式”是N AB=CD, 则8+。-N= ∠B=∠D,∴.△ABE≌△CDF(SAS) 2a+36·y, BE DF, (6+v=8 (2)解：BE=CE.（答案不唯一) 2a+3b 17.证明：AB∥DE,AC∥DF, .3a+2b a-b N=2a+3b ∴.∠B=∠DEF,∠ACB=∠F. 2a+3b .BE CF, N=36即分式8十36的关联分式"为+2% .BE+CE=CF+CE,..BC=EF. 3a+2b 在△ABC和△DEF中， (3)0z+,[解折]由(1)和(2)的结果知分式兰的 ∠ABC=∠DEF, BC=EF, “关联分式”为兰（任+小 L∠ACB=∠DFE, ②由题意，得4m+2=4n-2, .△ABC≌△DEF(ASA),∴.AB=DE. mx +m =mx +n+4m+2, 又：AB∥DE, 「n-m=1, .四边形ABED是平行四边形 n+3m=-2 18.(1)解：四边形ABCD是平行四边形， m=- 31 .∠ABC+∠A=180°且∠A=110°， 4n=4 .∠ABC=70. 第六章基础测试卷 BE平分∠ABC,∴.∠ABE=∠CBE=35° 1.C2.C3.A4.C5.B6.A7.D8.D9.B 'AD∥BC,∴.∠AEB=∠EBC=35°. 10.C[解析]设经过t秒，以点P,D,Q,B为顶点组成平行 (2)证明：：四边形ABCD是平行四边形， 四边形.以点P,D,Q,B为顶点组成平行四边形，DP ∴.LABC=∠ADC,AD∥BC, =BQ.分为以下情况：①，点Q的运动路线是C→B,方程 .DE∥BF,∠EBC=∠AEB. 为12-4t=12-t,此时方程t=0,此时不符合题意；②，点 ·∠ABC,∠ADC的平分线分别交AD,BC于点E,F, Q的运动路线是C→B→C,方程为4t-12=12-t,解得t =4.8;③点Q的运动路线是C→B→C→B,方程为12- ∠A0F=7LADc,LBC- 2∠ABC, (4t-24)=12-t,解得t=8;④，点Q的运动路线是C→B ∴.∠ADF=∠EBC,.∠AEB=∠ADF,.BE∥DF →C→B→C,方程为4t-36=12-t,解得t=9.6;⑤，点Q DE∥BF,.四边形BEDF是平行四边形， 的运动路线是C→B→C→B→C→B,方程为12-(4t- .BE DF. 48)=12-t,解得t=16,此时点P走的路程为16>AD, 19.解：(1)如答图①，平行四边形ABCD即为所求.（答案不 此时不符合题意，∴共3次.故C正确。 唯一) 11.12012.70°13.614.1 (2)如答图②，平行四边形AEBF即为所求.（答案不 15.①②④[解析]DE=BF,∴.DF=BE.在Rt△DCF和 唯一) (3)如答图③，平行四边形AGBH即为所求. Rt△BAE中，DE=AE'·Rt△DCF≌Rt△BAE(HL), H ∴CF=AE,故①正确；AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点 F,.AE∥FC.CF=AE,四边形CFAE是平行四边 形，.OE=OF,故②正确；Rt△DCF≌Rt△BAE, B B B: .∠CDF=∠ABE,.CD∥AB.CD=AB,.四边形 ..d t- G ABCD是平行四边形，故④正确；由以上可得出：△DCF≌ 19题答图① 19题答图② 19题答图③ △BAE,△CDO≌△ABO,△CDE≌△ABF,△CFO≌ 20.（1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， △AEO,△CEO≌△AFO,△ADF≌△CBE,△DOA≌ ∴AB=CD,AB∥CD, △B0C等，故③错误..正确的有3个. ..∠ABE=∠CDF.单元测试卷·八年级数学·北师版·下册 第五章能力提升卷答题卡 姓 名 准考证号 贴条形码区 缺考 缺考考生由监考员粘贴条形码， 标记 并用2B铅笔涂黑缺考标记。 一、 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指 定的位置上，并核准条形码上的信息是否与本人相符，完全 正确后，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。 二、 选择题必须在答题卡上用2B铅笔涂黑，非选择题必须用 填 注 涂样 正确填涂 0.5mm黑色水签字笔答题，字迹要工整、清楚。 三、考生必须在答题卡上每题指定的答题区域内答题。在其他 项 题号的答题空间答题无效。答案不能超出黑色边框，超出 黑色边框的答案无效。写在试题卷上的答案无效。 四、要保持答题卡整洁，不准折叠，不准弄破。 色 五、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交给监考员。考生不准 将试题卷或答题卡带出考场，否则，将按有关规定处理。 第一部分选择题（共30分 一、选择题（用2B铅笔填涂》 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A[B][C][D 10[A][B][C][D 3[A[B][C][D] 7[AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D IIIIIIIIIIII III II I I IIII I II II 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题 11 12 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 三、解答题 16. 17. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18. 19. A B 0 19题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20. 21. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23. ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效第五章 能力提升卷 [答案：P45] 答题卡 【考查范围：分式与分式方程】 时间：120分钟 满分：120分 h 题号 二 三 总 分 把 得分 第一部分选择题（共30分） 一 装 、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) ( ) 奢 1在合出兴，+中，分试有 m 订 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.下列分式中是最简分式的是 ( ) A. B-4 线 5x+xy x+2 5 C-x*1 D.2+6x+9 x2-9 2 1 内 3.（山西临汾期末)化简 1 ÷ 的结果 m -mn m2 +mn m2-n2 为 ( A.3 B.m+n 不 m m C.3m+n D.3m-n m m 4.(荆州中考)“爱劳动，劳动美.”甲、乙两同学同时从家里出发， 要 分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动.若甲、乙的速 度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速 度.设甲的速度为3xkm/h,则依题意可列方程为 () 答 A.5+1=10 3x34x B.6 +20=10 4x C.6-10_1 题 34x=3 D.610 20 3x 4x 5如果。+2a-1-0那公o-身引。2的值是 ( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 6分试方程3+中兰g的解是 ( ) A.x=±2 B.x=2 C.x=-2 D.无解 -1 7如图，若x为正整数，则表示63：+的值的点落在 ( ① ② ③ ④ ---- 0.15 0.45 1.05 1.65 2.25 7题图 A.① B.② C.③ D.④ r3x- 8.若关于x的一元一次不等式组{2 ≤x+3,的解集为x≤ lx≤a a,且关于y的分式方程y-0+3y-4 y-2 y-2 =1有正整数解，则所有 满足条件的整数α值之积是 A.7 B.-14 C.28 D.-56 9.如图，设k=-甲图中阴影部分面积(a>6>0),则有 乙图中阴影部分面积 ( A.k>2 B.1<k<2 c乃<k<l 甲 D.0<k<2 1 9题图 10(湖索长沙翔率)关于x的方程x+士=a+口的两个解为 2 三a,龙=逃+2=a+2的两个解为=a,三 L 3=a+3的两个解为x,=a,4=2,则关于x的方程x+ a a *-1=a+-10 10 +。的两个解为 A.￥=a,=10 B.x1=a,2=0+8 a-1 10 C.x1=a,x2= a-1 D=a=8 第二部分； 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1山.已知在分式+b中，当x≠3时分式有意义，当x=2时分式 x-a 值为0，则b“= 12若关于x的分式方程，”3-2m-3无解，则m的值为 x-3 13.(鞍山中考)习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华 民族的“根”和“魂”.为了大力弘扬中华优秀传统文化，某 校决定开展名著阅读活动.用3600元购买“四大名著”若 干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理 八年级数学 北师版下册 员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用 2400元购买的套数只比第一批少4套.设第一批购买的“四 大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是 14.已知片-1=3，则分式2x+3二22的值为 x-2xy-y 15.对于实数a,b,定义一种新运算“*”：a*b a2-62,等式右 1 1 边是实数运算例如：1*3=口一3=8，则方程x* （-2)=x2的解是=一 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演 算步骤或推理过程)】 16.（10分)解下列分式方程： 22 (2+1=22 x-2 +2x+1 17(8分)先化简亡÷2+中2再从不等式组 5-2x三1，的整数解中选择一个你喜欢的求值。 x+3>0 88分U奥+21+1产2+求4,8，C 1 的值. ·19. 见此图标眼微信扫码分阶突破智趣成长 19.（8分)如图，点A,B在数轴上，且点A在点B的左侧，它们 所表示的数分别是，22} (1)当x=1.5时，求AB的长； (2)当点A到原点的距离比点B到原点的距离多3时，求x 的值. B 2 1-x 0 x-2 2-x 19题图 20.（8分)已知A,B两地相距160千米，甲、乙两车分别从A,B 两地同时出发，匀速前行至B,A两地，若乙车的速度是甲车 速度的}倍，乙车比甲车早到24分钟，求甲车的速度 21.(8分)阅读下面的解题过程： 已知2产12求千的值 解：由+1分知x0, :+1=2,即x+1=2, ++-2=2-2=2 x2 的值为分 +1 ·20· 该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的 题目. 的值， x4+x2+1 22.（12分)某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排 甲、乙两个车间的50名工人合作生产20天完成.已知甲、 乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为甲车间每人 每天生产25件，乙车间每人每天生产30件 (1)甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？ (2)为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案： 方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可 提高20%，乙车间维持不变； 方案二乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原 工人相同)，甲车间维持不变 设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同. ①求乙车间需临时招聘的工人数； ②若甲车间租用设备的租金为每天900元，租用期间另 需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临 时招聘的工人每人每天200元.问：从新增加的费用 考虑，选择哪种方案能更节省开支？请说明理由 23.（13分)[核心素养]【阅读材料】若分式A与分式B的差等 于它们的积，即A-B=A·B,则称分式B是分式A的“关联 分式” 例如1与 1 "x+1x+2 解：1.1 1 x+1x+2(x+1)(x+2) 1 1 1 x+1×x+2=(x+1)(x+2)' 42是4的关联分式 【解决问题】 )记知分式2则 a2+1 。二1的“关联分式” 2 (填“是”或“不是”)； (2)小明在求分式，+的关联分式”时，用了以下方法 解：设分式，的关联分式为B, 则1 ty-B= 1 y2xB, 1 (2+y+B= x2+y2 1 ∴B= x+y2+1 前你仿照小明的方法求分式，8+6的关联分式”； 【拓展延伸】 (3)①观察(1)和(2)的结果，寻找规律，直接写出分式￥的 “关联分式” ②用发现的规律解决问题：若4n-2是4m+2的“关联 mx +mmx +n 分式”，求实数m,n的值.