浙江杭州市锦绣育才教育集团锦绣中学等校2025学年第二学期3月月评八年级数学试题卷

**基本信息** 立足八年级数学核心知识，融合直播带货等真实情境与创新题型，梯度考查运算能力、推理意识及模型应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、二次根式运算、根的判别式|第9题新定义运算，考查分类讨论能力| |填空题|6/24|二次根式意义、方程根的应用、几何图形计算|第16题结合三角形运动轨迹，考查空间观念| |解答题|8/66|配方法解方程、韦达定理应用、实际问题建模|第22题直播带货销量与利润计算（模型意识），第24题根与系数关系综合推理（推理能力）|

浙江省杭州市锦绣育才教育集团2025学年第二学期3月月评八年级数学试题卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分) 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　) A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（　　) A． B． C． D． 3．下列二次根式是最简二次根式的是（　　) A． B． C． D． 4．已知关于x的一元二次方程 则该方程解的情况是（　　) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个解 5．用配方法解一元二次方程 配方正确的是（　　) A． B． C． D． 6．某药厂两年前生产一吨药的成本是 5500 元，现在生产一吨药的成本是 4570 元.设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是（　　) A． B． C． D． 7．已知 则 的值为（　　) A．0 B．1 C．2 D．3 8．关于x的一元二次方程 的两根为 则代数式 因式分解的结果是（　　) A．（x+2)（x+3) B．3（x+2)（x+3) C．（x-2)（x-3) D．3（x-2)（x-3) 9．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号 max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}=3，因此 max{-1， - 3}=-1；按照这个规定，若 则x的值是（　　) A．1 B． C．- 1或 D．1或 10．已知一元二次方程 与一元一次方程 dx+e=0有一个公共解x=x1，若一元二次方程 有两个相等的实数根，则（　　) A． B． C． D． 二、填空题（共4小题，每小题4分，共24分) 11．使二次根式 有意义的实数x的取值范围是　 　． 12．填空： 　 　（填“>”或“<”) 13．已知x=m是一元二次方程 的根，则 的值是　 　. 14．已知关于x的一元二次方程 的常数项为0，则k的值为　 　. 15．如图，把面积为50和18的两个正方形放入长方形ABCD中，若 则AB=　 　. 16．如图，在△ABC中， P 在 BC 边上运动。连结 AP，若使 AP 长为整数的点共有12个，那么ABC的面积是　 　. 三、解答题（共8小题，共66分) 17．计算： （1） （2） 18．解下列方程： （1） （2） 19．已知 求 的值. 20．设x1，x2是方程. 的两个根，且 求常数m的值。 21．已知关于x的一元二次方程 （1）已知方程的其中一个根 求k的值. （2）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根. 22．根据以下素材，完成任务. 素材1 某山区特产直播带货平台助力乡村振兴，该平台上某农家特产店的销量持续增长。该店3月份销售特产礼盒200盒，5月份销售礼盒288盒。 素材2 该特产礼盒每盒成本价为40元，当售价定为60元时，每月可售出300盒；经市场调研发现，售价每降低1元，月销售量就会增加20盒。 问题解决 任务1 求该特产店3月份到5月份礼盒销量的月平均增长率。 任务2 为了回馈顾客，该店计划开展“降价促销”活动，且要保证每月销售该礼盒的利润达到6080元，同时尽可能扩大销量，求每盒礼盒的实际售价应定为多少元? 23．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式 的最小值. 且 ∴当x=-3时， 有最小值-4. 请根据上述方法，解答下列问题： （1）求证：无论x取何值，二次根式 恒为正数； （2）若代数式 的最大值为5，求k的值； （3）已知 是一个关于x的完全平方式，求常数n的值. 24．（1）已知实数a， b是方程. 的两根，求 的值； （2）已知实数a，b满足 且b≠3a，求 ab的值； （3）若两个不相等的实数p，q满足 求 pq-m的值. 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：A.ax2+bx+c=0，当a=0时不是一元二次方程，不符合题意； B.x2+y=1，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C.，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； D.x2+x=4，是一元二次方程，符合题意； 故答案为：D. 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，即可求解. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：A.，所以A选项符合题意； B.，所以B选项不符合题意； C.，所以C选项不符合题意； D.与不能合并，所以D选项不符合题意； 故答案为：A. 【分析】根据二次根式的乘法法则对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的加法运算对D选项进行判断. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：对于选项A：的被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于选项B：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于选项C：，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； 对于选项D：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式. 故答案为：D. 【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，根据最简二次根式的定义判断即可. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：一元二次方程为x2-mx-2=0， 则判别式Δ=(-m)2-4×1×(-2)=m2+8， 又由于m2≥0， 则m2+8>0，即Δ>0， 因此，该一元二次方程有两个不相等的实数根， 故答案为：B. 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：∵x2-6x=3 ∴x2-6x+9=3+9 ∴(x-3)2=12， ∴用配方法解一元二次方程x2-6x=3，配方结果为(x-3)2=12. 故答案为：A. 【分析】用配方法解一元二次方程x2-6x=3x2-6x=3得到(x-3)2=12，即可得到答案. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：设生产成本的年平均下降率为x， 列方程得5500(1-x)2=4570， 故答案为：C. 【分析】根据下降率问题的等量关系：两年前生产成本×(1-年平均下降率)2=现在生产成本，代入对应数据即可得到正确方程. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵被开方数必须大于等于0 ∴ 解得：x=1 将x=1代入y的式子得：y=0 ∴(x+y)2=(1+0)2=1 故答案为：B. 【分析】由题意得，求出x=1，y=0，再代入即可求解. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程3x2+bx+c=0的两根为x1=2，x2=3 根据一元二次方程根与因式分解的关系可得3x2+bx+c=3(x-2)(x-3) 故答案为：D. 【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若方程两根为x1，x2，则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，代入已知条件即可得到结果. 9．【答案】C 【解析】【解答】解：若x>-x，即x>0，则，解得(负值已舍去)； 若x<-x，即x<0，则，解得x=-1(正值已舍去) 故答案为：C. 【分析】分两种情况讨论：当x>-x(即x>0)时，max{x，-x}=x；当x<-x(即x<0) 时，max{x，-x}=-x，分别代入等式求解方程，舍去不符合条件的解. 10．【答案】B 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程a(x-x1)(x-x2)=0与关于x的一元一次方程dx+e=0有一个公共解x=x1， ∴x=x1是方程a(x-x1)(x-x2)+(dx+e)=0的一个解 ∵一元二次方程a(x-x1)(x-x2)+(dx+e)=0， ∴ax2-(ax1+ax2-d)x+ax1x2+e=0， ∵有两个相等的实数根 ∴ 整理得：a(x2-x1)=d 故答案为：B. 【分析】先确定x1是第三个方程的根，再利用方程有两个相等实根的条件(韦达定理)，建立d与a、 x1、x2的关系. 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵二次根式有意义 ∴， ∴． 故答案为：． 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可． 12．【答案】< 【解析】【解答】解：， ∵45<50 ∴ 故答案为：<. 【分析】通过比较两个数平方的大小来确定这两个数的大小关系，因为当两个数都是正数时，平方大的数本身也大. 13．【答案】23 【解析】【解答】解：将x=m代入原方程得：m2-4m+1=0， 整理得m2-4m=-1， ∴24-4m+m2 = (m2-4m) +24 =-1+24 =23 故答案为：23. 【分析】利用方程的根满足原方程得到m的关系式，再通过整体代入法计算所求代数式的值即可. 14．【答案】-3 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(k-3)x2+6x+k2-9=0的常数项为0， ∴k2-9=0 解得k=3或k=-3， ∵二次项系数不为0， ∴k-3≠0， ∴k≠3， ∴k=-3. 故答案为：-3. 【分析】根据常数项为0列出方程求出k的值，根据一元二次方程的定义可知二次项系数不为0，求解即可得到k的值. 15．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：由题意，设AB=CD=x， ∵面积为50和18的两个正方形， ∴两个正方形的边长分别为，， ∴， ∴， 解得 故 故答案为：. 【分析】设AB=CD=x，根据面积求出两个正方形的边长，根据S1-S2=8，列出方程进行求解即可. 16．【答案】15 【解析】【解答】解：∵81<85<100 ∴， 即， ∴9<AC<10 ∵36<40<49， ∴， 即， ∴6<AB<7， 设点A到BC的距离为h， ∵P在BC边上运动 ∴h≤AP≤AC， ∵内的正整数有9、8、7、6、5、4、3、2、1，共9个，且AP长为整数的点共有12个，6<AB<7， ∴AP的长能为9、8、7，且这三个长度的点只有一个，AP的长能为6、5、4、3，且这四个长度的点均有2个，此时还差12-3-2×4=1个点， ∴AP的最短的长度为2，此时h=2， ∴由勾股定理可得： ∴△ABC的面积是. 故答案为：15. 【分析】先估算出9<AC<10，6<AB<7，设点A到BC的距离为h，则h≤AP≤AC，由内的正整数有9、8、7、6、5、4、3、2、1，共9个，且AP长为整数的点共有12个，6<AB<7，得出AP的长能为9、8、7，且这三个长度的点只有一个，AP的长能为6、5、4、3，且这四个长度的点均有2个，此时还差1个点，进而得出AP的最短的长度为2，此时h=2，最后再由三角形的面积公式计算即可得出结果. 17．【答案】（1）解：原式 （2）解：原式 【解析】【分析】(1)先将二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算即可； (2)分子分母同时乘以即可. 18．【答案】（1）解：提取公因式，得x(x-5)=0 解得： （2）解：移项，得 同加上 得 开平方，得 或 解得 【解析】【分析】(1)利用因式分解法求解即可； (2)先将代数式变形为一个平方形式与另一个数的差，再运用平方差公式分解因式. 19．【答案】解： 【解析】【分析】先计算x-y和xy的值，再利用完全平方公式将x2-xy+y2变形为(x-y)2+xy，代入计算即可. 20．【答案】解：∵x2-8x+m=0的两个根是x1，x2， ∴x1+x2=8， ∵x2=3x1， ∴x1+3x1=8， ∴x1=2， ∴22-8×2+m=0. ∴m=12 【解析】【分析】先利用一元二次方程根与系数关系得到x1+x2=8，进而求得x1=2，代入方程中求解即可. 21．【答案】（1）解：把 代入方程，得1-(2k-1)-k-2=0 解得k=0 （2）解： ∴该方程有两个不相等得实数根 【解析】【分析】(1)将x1=-1代入原方程，可得出(-1)2-(2k-1)-k-2=0，解之即可得出k的值； (2)根据Δ=4k2+9>0，即可判断. 22．【答案】解：任务1：设月平均增长率为x. 根据题意，得 解得 (不符合题意，舍去) ∴x=0.2=20% 答：月平均增长率为20%. 任务2：设礼盒售价下降y元，则实际利润为(20-y)元，日订单量为(300+20y)单，根据题意，得(20-y)(300+20y)=6080， 解得 ∵要尽可能扩大销量， ∴礼盒售价为60-4=56 (元) . 答：每单实际配送费应定为56元. 【解析】【分析】(1)设月平均增长率为x，根据“该店3月份销售特产礼盒200盒，5月份销售礼盒288盒”，列出方程求解即可； (2)设礼盒售价下降y元，则每盒礼盒的利润为(20-y)元，月销售量为(300+20y)盒，根据“每月销售该礼盒的利润达到6080元”，列出方程求解即可. 23．【答案】（1）证明：⋯⋯分 则 恒为正数 （2）解： ⋯2分 最大值是5 解得： （3）解： 是完全平方式 解得： 【解析】【分析】(1)整理多项式可得：原式=(x-2)2+1，根据平方的非负性可知(x-2)2+1>0，所以x2-4x+5恒为正数； (2)整理多项式可得：原式=-2(x-k)2+2k2-3，根据平方的非负性可知2k2-3=5，解方程即可求出k的值； (3)整理多项式可得：原式=[x-2(n-1)]2-[2(n-1)]2+9n2，根据x2-4(n-1)x+9n2是一个完全平方式，可知-[2(n-1)]2+9n2=0，解方程即可求出n的值. 24．【答案】（1）解：∵a， b 是一元二次方程 的两个根， ∴，， ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=12-2×(-1)=3 （2）解：方程两边同时除以9，可得 ∵a2-a=1，，且b≠3a，即， ∴a与是方程x2-x=1，即x2-x-1=0的两个不相等的实数根。 对于方程x2-x-1=0，由韦达定理可知两根之积为， 即， ∴ab=-3. （3）解： ①-②，得 ∵p≠q， ∴ (p+q)+m=-1， ∴p+q=-1-m， ∴p=-1-m-q③， q=-1-m-p④， 将④代入①，得 将③代入②，得 ∴p，q是一元二次方程 的两个根， ∴pq=m， ∴pq-m=0 【解析】【分析】(1)先根据根与系数的关系求出a+b和ab的值，再利用完全平方公式将a2+b2转化为(a+b)2-2ab，代入计算即可； (2)先将b2-3b=9变形，再结合a2-a=1，判断a与是同一个方程的两个根，最后根据根与系数的关系求出ab的值； (3)联立方程作差，化简得出p+q的关系，代入方程后利用韦达定理求pq，进而得pq-m. 学科网（北京）股份有限公司 $