命题大赛 云南省保山市昌宁县2025-2026学年高一数学下学期5月月考试卷

**基本信息** 高一数学5月月考卷立足必修内容，以原创题（如复数共轭象限判断）、新情景题（如紫砂壶圆台容积计算、双曲函数应用）为载体，融合文化传承与创新应用，考查数学抽象、运算推理及模型构建能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数、解三角形、函数性质、立体几何|原创复数题考查数学抽象，紫砂壶圆台题融合文化情境，新定义“奇点”题培养创新意识| |填空题|3题15分|向量旋转、解三角形、反正弦函数|向量旋转题发展空间观念，反正弦函数题提升数学表达能力| |解答题|5题77分|不等式恒成立、立体几何（改编自新高考真题）、双曲函数|立体几何题对接高考趋势，双曲函数题考查逻辑推理与模型构建|

应用场景：周测/单元测/月考/期中/期末/（如以上均不符合则自行添加） 高一数学下学期5月月考测试 2019人教A版必修第一册40%，必修第二册第6、7、8章60% （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.（原创）已知：复数满足，与互为共轭复数，则复数对应的点在第几象限（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在中，若角，满足：=2:，则为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3.下列函数是偶函数且值域为的是（ ） A. B. C. D. 4.紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（ ） A． B． C． D． 5.（原创）以下命题中正确的是（ ） A.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6.（原创）一元二次不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.如图，在中，，为中点，过点的直线与边交于两点，且，则的最小值为（ ） A.2 B.2 C.4 D.4 8.（新情景题：新定义）我们定义：若满足，则称为的“奇点”，已知，则的“奇点”有（ ）个 A.2 B.3 C.4 D.5 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．在棱长为1的正方体中，O为正方形的中心，则下列结论错误的是（    ） A． B．∥平面 C．点B到平面的距离为 D．直线与直线的夹角为 10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C.若，则最小值为 D.若，则 11.在中，，，则下列说法正确的是（ ） A.外接圆的面积为 B. 若，则 C.若为的重心，且，则为等边三角形 D.若为的外心，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.（新情景题）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，，把点绕点顺时针旋转后得到点，则点坐标___________ 13.（原创）在锐角 中角A、B、C所对的边为，已知，，则周长为______________ 14.（新情景题）正弦函数在上的反函数，叫做反正弦函数，记作,表示一个正弦值为的角，该角的取值范围在区间内，例如：;在 中，，分别为中点，动点在所在平面内且满足，则最大值____________ 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.（13分）（原创）已知. （1）若方程的解集非空，求实数的取值范围； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若的零点分别在内，求实数的取值范围. 16．（15分）（改编自2022年新高考1卷19题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 17.（15分）已知：,. （1）求的单调递减区间； （2）在中， 为上的动点（不包括端点）求的取值范围. 18.（15分）在 （1）若求的值； （2）若 (i)求的取值范围. (ii)若是的角平分线求的取值范围. 19.（新情景题）（17分）在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，双曲函数是工程数学中一类重要的函数，然而它也是一类重要的初等函数。令. （1）证明： （2）求不等式的解集. （3）若恒成立，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学下学期5月月考卷 2019人教A版必修第一册40%，必修第二册第6、7、8章60% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D B C B C D A D CD ACD ACD 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.【答案】C 【解析】: 2.【答案】B 【解析】∵因为，又正弦定理可得 ∴::c=2: 又∵=0 ∴B=，即为直角三角形;选B 3.【答案】C 【解析】A.值域为，不满足； B.值域为不满足； C.偶函数且值域为，+）; D.不是偶函数;选C 4.B 【解析】解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台， 圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4， 可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积， 设大圆锥的高为，所以，解得：， 则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6， 所以该壶的容积. 故选：B. 5.【答案】C 【解析】对于A:若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反A错； 对于B：，则不一定成立，B错； 对于C：+=，两边平方可得：=，则夹角为0，则()，C对； 对于D：若，则与不一定相等，D错。选C 6.【答案】D 【详解】 故选：D. 7.【答案】A 【解析】∵ ∴ 又∵ ∴ 又∵E、P、Q三点共线 ∴ 当且仅当x=y时取等号;选A 8.【答案】D 【解析】∵关于原点对称 ∴“奇点”个数可以转化为的交点个数 ∴（）的“奇点”有5个;选D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．CD 【解析】对于A，如图，连接 ,则交于点O, 正方体中， 平面平面 , 故,而平面 , 故平面,故平面，而平面, 故，即，故A正确； 对于B，连接BD,交AC于E,连接 ,则 , 故四边形是平行四边形，故平面不在平面, 故平面，故B正确； 对于C，设点B到平面的距离为d,因为 , 故 ，解得 ，故C错误； 对于D，连接 ,则即为直线BO与直线的夹角或其补角， 在 中， ,所以 ,则 ,故D错误 故选：CD 10.【答案】ACD 【解析】∵由图可得， 所以 ∴A对，B错 ∵ ，则∴（）最小值为，则C对 ∵（）对称轴为， 由对称性∴，则D对 选ACD 11.【答案】ACD 【解析】A、∵ ∵ 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.【答案】 【解析】 【解析】 14.3 【解析】令，，依据反正弦函数的定义可得，; ∵ 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.（1） （2） （3） 【解析】（1）由题意得，所以 故实数的取值范围是.............4分 （2）由题意得，所以， 又因为函数单调递增，所以， 所以， 故实数的取值范围是..............8分 （3）由题意得， 故实数的取值范围是................13分 16.（1）点A到平面的距离为 （2） 【解析】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h， 则， 解得， 所以点A到平面的距离为...................................5分 （2）取的中点E,AC中点为F，AB中点为G,连接AE、DG、DF、GF, 如图，因为，所以, 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面，................... ..........7分 在直三棱柱中，平面，平面 由平面，平面可得，， 又平面且相交，所以平面，则BC 在直角三角形C中BD=2C............................................10分 又因为平面，则 , DF平面 所以在直角三角形AC中AD=2C,则AD=BD 所以..........................................................13分 即................15分 17、（1）的单调递减区间为 （2）的取值范围为。 【解析】（1）........................2分 .........................................4分 由,得 的单调递减区间为.............................7分 (2) ，或 或，又 ...................................................................9分 又 , 以为原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系。 则：, 设 则 ....................................11分 , , ...............................13分 , 即的取值范围为。......................................15分 18、（1）； （2） (i).；(ii) 【解析】（1）, 由正弦定理得, , , , , , , .................................................................4分 又由余弦定理可得：, , .............................................................6分 (2) (i). , , 又为锐角三角形， 即, .......................................10分 (ii). ......................................11分 又 , 化简得：, ............................................14分 又 , , , .....................................................17分 19、（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】(1) (2). 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 复数及其四则运算 0.85 2 单选题 5 余弦定理、三角形形状判断 0.7 3 单选题 5 初等函数、奇偶性、值域 0.75 4 单选题 5 圆台的体积计算 0.75 5 单选题 5 向量的概念 0.65 6 单选题 5 一元二次不等式恒成立（二次函数恒成立、判别式） 0.7 7 单选题 5 向量三点共线、基本不等式 0.45 8 单选题 5 函数的图像性质 0.4 9 多选题 6 空间中点线面的位置关系 0.75 10 多选题 6 三角函数的概念 0.65 11 多选题 6 向量的概念 0.5 12 填空题 5 向量运算 0.75 13 填空题 5 向量的坐标运算 0.65 14 填空题 5 三角函数、向量的坐标运算、数量积 0.4 15 解答题 13 二次函数综合（方程有解、恒成立、零点分布） 0.75 16 解答题 15 空间中点线面的位置关系 0.75 17 解答题 15 三角恒等变换 + 三角函数性质 + 解三角形（和差公式、单调区间、三角形中范围） 0.6 18 解答题 17 解三角形综合（正弦定理、余弦定理、锐角约束、角平分线性质） 0.55 19 解答题 17 双曲函数（新函数证明、不等式、恒成立求参） 0.45 $