上海市回民中学2025-2026学年高二第二学期月考2数学试卷

**基本信息** 高二数学月考试卷涵盖概率、解析几何、导数等核心知识，解答题设计进博会统计分析、双曲线定点探究等真实情境问题，融合数学思维与应用能力，适配阶段性巩固与素养检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|概率（掷硬币）、圆锥曲线（抛物线焦点）、导数（极值点范围）|基础题与中档题结合，第12题圆锥体积最值渗透数学建模| |选择题|4/18|独立事件概率、排列组合性质、双曲线离心率|第15题通过骰子事件辨析互斥与独立，强化逻辑推理| |解答题|5/78|统计（进博会年龄分布）、解析几何（双曲线定点）、导数应用|进博会题整合频率分布直方图与独立性检验，体现数据意识；双曲线题探究定点存在性，培养创新思维，贴合高考综合命题趋势|

2025学年第二学期高二数学月考2测试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1.掷两枚硬币，恰有一枚硬币正面朝上的概率为______. 2.已知直线与直线垂直，则______. 3.抛物线的焦点到其准线的距离为______. 4.若直线是双曲线的一条渐近线，则______. 5.已知直线和圆相交于A、B两点，则弦长______. 6.函数，则______. 7.某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39；现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第3个零件编号是______. 0647 4373 8686 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 8.某次数学考试后，随机选取16位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为"叶"，百位数和十位数作为"茎"，若该组数据的第25百分位为87，则______. 9.若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是______. 10.若在上严格增，则实数的取值范围是______. 11.过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为______. 12.某校开展阳光体育活动，羽毛球筒的盖子如图呈圆锥漏斗形状，已知圆锥的母线长是，高为，值是固定的.当盖子体积最大时，______. 二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13.甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为，密码被成功破译的概率为（ ） A.  B.  C.  D. 14.关于排列数和组合数的叙述（m,n均为正整数，）， ①；②；③； ④. 其中正确的有（ ）个 A.1  B.2  C.3  D.4 15.掷一枚质地均匀的骰子，记事件"出现的点数不超过3"，事件"出现的点数是3或5"，事件"出现的点数是偶数"，则事件、与的关系为（ ） A.事件与独立  B.事件与对立  C.事件与互斥  D.事件与独立 16.已知双曲线（）的左、右焦点分别为，点在的右支上，且满足，.则双曲线的离心率为（ ） A.  B.  C.  D. 三、解答题（共78分） 17.（本题满分14分）现有4名男生和3名女生.若安排这7名学生站成一排照相，分别按以下要求计算各自的排法有多少种？ （1）4名男生互不相邻； （2）若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站； （3）男生甲不站最左端，女生乙不站最右端. 18.（本题满分14分）已知的展开式的二项式系数（组合数）之和为1024. （1）求展开式中的系数之和； （2）求展开式中的系数最大的项. 19.（本题满分14分）设，已知函数，若函数曲线在点处的切线斜率为. （1）求实数的值，并求该切线方程； （2）求在区间上的最值. 20.（本题满分18分）第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为[15,25)、[25,35)、[35,45)、[45,55)、[55,65)、[65,75]，把年龄落在区间[15,35)内的人称为"青年人"，把年龄落在区间[35,65)内的人称为"中年人"，把年龄落在[65,75]内的人称为"老年人". （1）求a的值； （2）已知落在[55,65)的平均年龄为59，方差是6；落在[65,75]的平均年龄为71，方差是5，求两组成绩的总平均数和总方差； （3）以分层抽样的方式从"青年人""中年人""老年人"中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中男性共6人，这6人中有2人是"中年人".再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人.设事件A：2人均为"中年人"，事件B：2人中至少有1人为男性，判断事件与事件是否独立，并说明理由. 21.（本题满分18分）已知双曲线的标准方程为.若虚轴长为，且双曲线上的任意一点到左右两个焦点和距离之差的绝对值为2. （1）求双曲线的标准方程； （2）若点，求的取值范围； （3）若斜率为k的直线过右焦点，且与的右支相交于、两点，问：在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点的坐标；如果不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $