回归基础篇填空前四题专题训练-2026届高三数学三轮冲刺（天津市）

**基本信息** 聚焦天津卷填空前四题必拿分训练，以考情分析为基础，构建“考点-方法-变式”三维体系，强化概念理解与严谨运算，培养数学思维的逻辑性与数据意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|8题|四则运算（除法核心）、模长公式、共轭复数概念|从代数形式运算到几何意义（复平面象限）的拓展| |二项式定理|8题|通项公式应用、特定项系数计算、二项式系数性质|从单一二项式展开到乘积式特定项的推导| |直线与圆|10题|点到直线距离公式、弦长公式、圆的几何性质|直线与圆位置关系结合抛物线参数的综合应用| |概率统计|10题|古典概型、条件概率、全概率公式、二项分布期望|生活化情境中事件关系判断与统计量计算的逻辑推理|

高考冲刺训练---回归基础篇 填空前四题专题训练 1、 考情分析 1.难度稳定，区分度低 前4题总分20分属于必拿分的基础题，得分率常年保持在0.85以上，考查内容均来自教材核心概念，无超纲考点，是所有考生必须确保满分的题型。 2.考点固定，反套路命题 近5年未出现考点轮换，题型高度可预测，但2025年开始逐步增加小创新：如概率题加入生活化情境、直线与圆结合抛物线参数等，避免纯套路化解题，更注重概念理解。 3.计算量适中，强调严谨性 每道题计算步骤不超过3步，但易在细节处设置易错点：如复数虚部符号、二项式项数与指数对应、弦长公式系数遗漏、概率事件关系判断等，对考生做题细致度要求较高。 4.模块交叉逐步提升 2026年可能出现少量跨模块综合：如基本不等式与向量结合、概率与数列递推结合等，但整体难度仍保持中等水平，不会出现大幅难度跃升。 二、题型与考点分布规律 天津卷数学科目填空题共6题，总分30分，其中前4题（总第10-13题）长期保持"基础为主、难度平缓"的命题特点，近三年考点几乎固定，为考生必须全部拿分的核心基础题型。具体考点对应关系如下： 题号 2023年考点 2024年考点 2025年考点 2026年预测考点 难度 第1题（填空10题） 复数运算与模长 复数四则运算 复数除法与模 复数代数形式运算、共轭复数、模长计算 容易 第2题（填空11题） 二项式定理特定项系数 二项式常数项/系数 二项式展开式系数 二项式通项公式应用、二项式系数性质 容易 第3题（填空12题） 直线与圆相交弦长 圆的切线方程/弦长 直线与圆位置关系、弦长 直线与圆位置关系、弦长公式、圆的几何性质 中等 第4题（填空13题） 古典概型与条件概率 分层抽样/统计计算 全概率公式、二项分布期望 古典概型、条件概率、全概率公式、基础统计量计算 中等 三、各题型核心考查方向 1.复数运算 固定考查复数四则运算（以除法为核心）、模长公式、共轭复数概念，偶尔结合复数几何意义（复平面坐标）。 2.二项式定理 核心考查展开式通项公式，求特定项（常数项、项）系数、二项式系数和。 3.直线与圆 重点考查点到直线距离公式、弦长公式，常结合直线倾斜角、圆的标准方程综合命题。 4.概率统计 2023-2025年连续三年考查条件概率、全概率公式，2026年大概率延续情境化命题方向，结合生活场景考查古典概型、二项分布期望、分层抽样计算等。 四、2026年命题预测 1.题型框架保持不变：前4题考点仍为复数、二项式、直线与圆、概率统计，分值每题5分，整体命题风格与2025年保持一致。 2.微小创新点： 2.1 复数可能结合简单的几何意义（如复平面对应点所在象限）； 2.2 二项式可能出现两个二项式乘积的特定项系数计算； 2.3 直线与圆可能结合抛物线基本参数（焦点、准线）命题； 2.4 概率题大概率延续天津本地生活化情境，考查条件概率或二项分布期望。 3.难度预测：整体与2025年持平，基础题占比100%，无难度跃升，认真备考的考生应实现全对。 五、类型巩固应用 类型一 复数 1．（2026·天津河北·一模）已知（），则_____． 【答案】2 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【详解】因为，所以，则. 2．（2026·上海静安·二模）设i是虚数单位，计算：______． 【答案】 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法及复数的乘方求解即可. 【详解】， 所以. 3．（2026·广西桂林·二模）设的实部与虚部相等，其中为实数，则______. 【答案】3 【知识点】复数的相等、求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【详解】因为，且实部与虚部相等， 故，解得. 4．（2026·天津武清·模拟预测）已知复数为实数，则_________． 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模 【分析】由复数为实数，可求得，进而根据复数模长的公式，即可求解. 【详解】由题意，复数为实数， 则，解得， 所以. 5．（2026·天津和平·二模）已知，为虚数单位，复数为纯虚数，则__________. 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算、已知复数的类型求参数 【详解】因是纯虚数， 可得，解得. 6．（2026·天津滨海新区·三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的共轭复数______． 【答案】 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由复数的除法运算和共轭复数概念即可求解. 【详解】由，得. 故 7．（2025·上海黄浦·三模）复数z满足（i是虚数单位），则在复平面内，z对应的点在第________象限． 【答案】三 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】由复数的除法、复数的几何意义即可求解. 【详解】由题意，则在复平面内，z对应的点为在第三象限. 故答案为：三. 8．（2026·安徽·模拟预测）已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则________． 【答案】 【知识点】平面向量有关概念的坐标表示、复数的坐标表示 【详解】由题意得，，则，则． 类型二 二项式定理 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）展开式中的常数项为______. 【答案】240 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项的值． 【详解】的展开式通项为， 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 10．（2026·天津红桥·二模）已知二项式的展开式中的常数项为，则实数______． 【答案】 【知识点】由项的系数确定参数、求二项展开式的第k项 【详解】由题意得的展开式中的通项为， 令，得，则常数项为， 即，解得． 11．（2026·江西宜春·模拟预测）展开式中的第5项的系数为______． 【答案】240 【知识点】求指定项的系数 【分析】由二项式定理通项公式即可求解. 【详解】展开式通项公式为 所以展开式中的第5项的系数为． 12．（2026·天津武清·模拟预测）若的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的系数为_________． 【答案】60 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】根据二项式系数和求得，再根据二项展开式的通项公式求出的系数. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为64， 所以，解得， 二项式的展开式通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 13．（2026·河北保定·二模）已知 的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，则其展开式中x² 的系数为________.(用数字作答) 【答案】 【知识点】求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值 【详解】由题可知展开式共项，所以， 又的展开式的通项为， 令，解得，所以x² 的系数为 14．（2026·四川广安·模拟预测）若，则______． 【答案】 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】利用赋值法，将x根据指数赋值1和，进而计算奇次项的系数和． 【详解】令可得：， 令可得：； 将(1)式与(2)式相减可得：， 故． 15．（2026·湖南邵阳·三模）的展开式中的系数为___________（用数字作答）． 【答案】 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】将原式拆分为和两部分，分别求解两部分中项的系数，相加即可得到结果. 【详解】根据题意写出的展开式通项： , 的展开式中的项来自两部分： 1. 取乘以中的项：由于的展开式所有项的次数均为4，的次数为，故该项不存在，对应系数为； 2. 取乘以中的项：令，解得，此时中的系数为,故这部分对应系数为. 将两部分系数相加，得的总系数为. 16．（2026·贵州毕节·三模）的展开式中的系数为______.（用数字作答） 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据多项式乘法的计数规则，分步选取因式中的对应项，结合组合数计算指定项的系数. 【详解】表示5个因式相乘，要得到含的项， 首先，从5个因式中任选3个取其中的，选法种数为，对应系数为； 再从剩余的个因式中任选1个取其中的，选法种数为，对应系数为； 最后剩余的1个因式取其中的常数项，对应系数为. 因此的系数为. 类型三 直线与圆、抛物线 17．（2026·天津和平·三模）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被圆截得的弦长为______． 【答案】2 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、圆的弦长与中点弦、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】利用抛物线的焦点坐标求出直线方程，然后计算圆心到直线的距离，利用垂径定理求解弦长. 【详解】由题意得，抛物线的焦点为， 则直线方程为，即， 圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，则， 故所求的弦长为.    18．（2026·吉林·三模）设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为______． 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】求出圆心、半径，结合，利用点到直线距离公式与勾股定理列方程求解即可. 【详解】可化为， 则圆心，半径为，且，即. 圆心到直线的距离. 由垂径定理得，，即，整理得， 解得，此时满足条件， 实数的值为. 19．（2026·江西南昌·二模）已知圆：，过点作斜率为的直线与圆交于，两点，若的面积为2，则________． 【答案】1 【知识点】三角形面积公式及其应用、求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】首先写出直线方程，然后利用点到直线的距离公式以及垂径定理即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 过点斜率为的直线方程为：，即. 由点到直线距离公式得：， 由垂径定理，弦长，的面积代入得： ，两边平方整理得：，即， 将​代入得：，因，故. 20．（2026·天津滨海新区·三模）圆与圆的公共弦长为__________． 【答案】 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】两圆的方程相减，求得公共弦所在的直线方程为，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆与圆， 两圆的方程相减，可得，即， 即圆与的公共弦所在的直线方程为， 又由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 21．（2026·天津·二模）已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆的圆心不在轴上，且与直线相切，则圆的方程为______． 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 因为圆的圆心在抛物线的准线上，所以设圆的圆心坐标为， 则圆的半径为， 因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离， 即，解得， 所以半径， 因此圆的方程为. 22．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为________. 【答案】或 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】先把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，分类讨论切线斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出斜率，然后可得切线方程. 【详解】因为圆的方程可以化为，所以其圆心为，半径为， 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 所以有，解得，所以切线的方程是或， 当切线斜率不存在时，，此时圆心到直线距离为5，不与圆相切，. 所以的方程为或. 23．（2008·天津·高考真题）已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于、两点，且，则圆的方程为______． 【答案】 【知识点】直线与圆的位置关系 【详解】设圆心坐标C(a，b) ∵圆心与P关于直线y=x+1对称 ∴直线CP与y=x+1垂直 ∵y=x+1的斜率为1 ∴直线CP的斜率为-1 ∴ 化简得：a+b+1=0 ① ∵CP的中点在直线y=x+1上 ∴ 化简得：a-b-1=0  ② 联立①②得到：a=0，b=-1 ∴圆心的坐标为：(0，-1) ∵圆心C到直线AB的距离d=, ∴根据勾股定理得到半径=18 ∴圆的方程为. 24．（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与相切且截轴所得的弦长为，则__________． 【答案】4 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数、根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程 【详解】 已知抛物线的准线为，则的方程为：， 已知点在上，则， 以为圆心的圆与相切，设圆的半径为，则， 又圆与相切且截轴所得的弦长为， ，解得，即， ，解得． 25．（2026·天津·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上（在第二象限），以为圆心的圆经过点.若直线与圆相切，则圆的标准方程为__________. 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、由直线与圆的位置关系求参数、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】设点，求出圆的半径，利用直线与圆相切可得出的值，由此可得出圆的标准方程. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 设点，则， 所以圆的标准方程为， 所以圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆相切，则， 整理可得， 因为点在第二象限，则，故，所以圆的方程为. 26．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 【答案】/ 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 类型四 概率与分布列 27．（2026·天津河北·二模）袋中有除颜色外均相同的7个球，其中4个红球和3个白球. 不放回抽取3个球，其中两个红球和一个白球的概率为________；在前两个是红球的条件下，第三个是白球的概率为________. 【答案】 【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】第1空考查古典概型，代入古典概型公式分别求出分子和分母的事件总数，计算即可； 第2空考查条件概率，根据条件概率公式，分别求出事件的概率，以及事件和同时发生的概率，代入公式计算即可. 【详解】解：（两个红球和一个白球）； 设事件为前两个是红球，事件为第三个是白球， 又，，所以， 即在前两个是红球的条件下，第三个是白球的概率为. 28．（2026·四川广安·模拟预测）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位长度，移动6次后质点对应的数为，则（1）______，（2）在“”的条件下，事件“有且仅有一次经过1”的概率是______. 【答案】 6 【知识点】二项分布的方差、方差的性质、独立重复试验的概率问题、计算条件概率 【分析】设表示向右的次数，可得服从二项分布，求得，根据与关系，求得；根据与关系，求得，再求出，利用条件概率公式求解. 【详解】记表示向右的次数，则服从二项分布， 故； 此时质点对应的数，； 记“”为事件，，， 于是：， 记事件“有且仅有一次经过1”为事件， 则事件的情况有：RRRLRL，RRRRLL，LRRRRL，LLRRRR，LRLRRR （其中R表示向右走，L表示向左走），共5种， 则，于是：. 29．（2026·天津东丽·二模）某AI对话系统的对话轮次分配规则如下：若当前大模型生成的回答符合要求（回答合格），则下一轮继续由该模型生成；若回答不合格，则切换为另一个模型生成.已知模型A每次回答合格的概率为0.6，模型B每次回答合格的概率为0.7，两次回答相互独立.若第1轮生成回答的是模型A，则第1轮A回答不合格且第2轮B回答合格的概率为______；若第1轮生成回答的是模型A、B的概率各为0.5，则第2轮生成回答的是模型A的概率为______． 【答案】 / / 【知识点】利用全概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】借助相互独立事件的概率公式以及全概率公式计算即可得. 【详解】；. 30．（2026·天津河北·一模）三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为．将三批产品混合，从混合产品中任取一件，这件产品是次品的概率为______；如果取到的产品是次品，则它是取自第一批产品的概率为______． 【答案】 / 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【详解】用表示“取到第批产品”，用表示“取到次品” 则，， 则 ； . 31．（2026·天津武清·模拟预测）芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】设事件D表示“任取一瓶是不合格品”，事件A表示“产品A厂生产的”，事件B表示“产品B厂生产的”，事件C表示“产品C厂生产的”，根据题意，第一个空，利用全概率公式，由求解，第二个空，利用贝叶斯公式求解； 【详解】设事件D表示“任取一瓶是不合格品”，事件A表示“产品A厂生产的”，事件B表示“产品B厂生产的”，事件C表示“产品C厂生产的”， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的， 所以， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，不合格率分别为， 所以不合格率分别为， 现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为： ， ； 由贝叶斯公式得：， 故答案为：， 32．（2026·天津北辰·二模）2026年教育部全面推进“人工智能+教育”，某科技馆开展AI助手体验活动.三人一组，每人可向AI助手提问.甲、乙、丙三人体验AI问答系统.活动分两环节，第一环节“抢麦提问”，只有一人能抢到麦克风，三人抢到麦克风的概率均为，抢到者向AI提问，AI给出正确答案的概率分别为甲是，乙、丙均是.第二环节“独立测试”，三人各自在平板电脑上完成一道必答题，他们各自答对的概率分别为甲是，乙、丙均是，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响.则在第一环节提问中得到正确答案的概率______；记在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，则X的数学期望为_______. 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率、求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】应用全概率公式计算求解，先写出可以取的概率，再应用数学期望公式计算求解. 【详解】在第一环节提问中得到正确答案的概率； 在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，可以取， ， ， ， ， 则X的数学期望为. 33．（2026·广东东莞·二模）为响应“缤纷寒假，探索实践”活动，某同学计划去2个展馆类景点和4个公园类景点打卡，已知其每日随机选择一个景点打卡（不重复打卡），设为打卡完某一类所有景点需要的天数，则的概率为__________，的期望__________. 【答案】 【知识点】计数原理与概率综合、求离散型随机变量的均值 【分析】由题可知可取，根据排列组合计算出对应概率并计算期望即可． 【详解】由题可知可取， ， ， ，， 则的概率为， ． 34．（2026·天津红桥·一模）袋中装着标有数字的小球各个，从袋中任取个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的个小球上的最大数字，则取出的个小球上的数字互不相同的概率为___________；随机变量的数学期望为___________． 【答案】 / 【知识点】求离散型随机变量的均值、计算古典概型问题的概率 【分析】第一空：利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求出结果；第二空先求出的可能取值为，再求出的每个取值的概率，由期望的计算公式，即可求解. 【详解】“取出的个小球上的数字互不相同”记为事件， 则为“取出的个小球上有个数字相同”，∴，则． 又由题意可知的可能取值为， ，， ，． 可得的分布列如表所示， 2 3 4 5 所以. 35．（2026·天津·一模）现有3名学生参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种语言回答问题，各学生用何种语言回答问题相互独立，每名学生被要求用英语回答问题的概率均为，则这3名学生中至少有2人用英语回答问题的概率为______________；记用英语回答问题的学生人数为，则X的数学期望______________． 【答案】 【知识点】独立重复试验的概率问题、二项分布的均值 【分析】先结合题意得到，再利用二项分布概率公式求解第一空，利用二项分布期望公式求解第二空即可. 【详解】由题意得每名学生被要求用英语回答问题的概率均为， 则用汉语回答的概率为，可得， 由二项分布概率公式得， ， 则至少有2人用英语回答问题的概率为， 由二项分布期望公式得. 36．（2026·天津和平·一模）甲、乙两队参加知识竞赛，每队人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人正确与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分，则随机变量的数学期望为___________；用表示“甲、乙两个队总得分之和等于”这一事件，用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，则___________． 【答案】 【知识点】二项分布的均值、独立重复试验的概率问题、独立事件的乘法公式 【分析】利用二项分布期望公式可得；利用二项分布概率公式求出、，设乙队总得分为，利用独立事件概率公式求出、，则可求出. 【详解】由题意可得，则； ，， 设乙队总得分为，则 ， ， 则. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考冲刺训练---回归基础篇 填空前四题专题训练 1、 考情分析 1.难度稳定，区分度低 前4题总分20分属于必拿分的基础题，得分率常年保持在0.85以上，考查内容均来自教材核心概念，无超纲考点，是所有考生必须确保满分的题型。 2.考点固定，反套路命题 近5年未出现考点轮换，题型高度可预测，但2025年开始逐步增加小创新：如概率题加入生活化情境、直线与圆结合抛物线参数等，避免纯套路化解题，更注重概念理解。 3.计算量适中，强调严谨性 每道题计算步骤不超过3步，但易在细节处设置易错点：如复数虚部符号、二项式项数与指数对应、弦长公式系数遗漏、概率事件关系判断等，对考生做题细致度要求较高。 4.模块交叉逐步提升 2026年可能出现少量跨模块综合：如基本不等式与向量结合、概率与数列递推结合等，但整体难度仍保持中等水平，不会出现大幅难度跃升。 二、题型与考点分布规律 天津卷数学科目填空题共6题，总分30分，其中前4题（总第10-13题）长期保持"基础为主、难度平缓"的命题特点，近三年考点几乎固定，为考生必须全部拿分的核心基础题型。具体考点对应关系如下： 题号 2023年考点 2024年考点 2025年考点 2026年预测考点 难度 第1题（填空10题） 复数运算与模长 复数四则运算 复数除法与模 复数代数形式运算、共轭复数、模长计算 容易 第2题（填空11题） 二项式定理特定项系数 二项式常数项/系数 二项式展开式系数 二项式通项公式应用、二项式系数性质 容易 第3题（填空12题） 直线与圆相交弦长 圆的切线方程/弦长 直线与圆位置关系、弦长 直线与圆位置关系、弦长公式、圆的几何性质 中等 第4题（填空13题） 古典概型与条件概率 分层抽样/统计计算 全概率公式、二项分布期望 古典概型、条件概率、全概率公式、基础统计量计算 中等 三、各题型核心考查方向 1.复数运算 固定考查复数四则运算（以除法为核心）、模长公式、共轭复数概念，偶尔结合复数几何意义（复平面坐标）。 2.二项式定理 核心考查展开式通项公式，求特定项（常数项、项）系数、二项式系数和。 3.直线与圆 重点考查点到直线距离公式、弦长公式，常结合直线倾斜角、圆的标准方程综合命题。 4.概率统计 2023-2025年连续三年考查条件概率、全概率公式，2026年大概率延续情境化命题方向，结合生活场景考查古典概型、二项分布期望、分层抽样计算等。 四、2026年命题预测 1.题型框架保持不变：前4题考点仍为复数、二项式、直线与圆、概率统计，分值每题5分，整体命题风格与2025年保持一致。 2.微小创新点： 2.1 复数可能结合简单的几何意义（如复平面对应点所在象限）； 2.2 二项式可能出现两个二项式乘积的特定项系数计算； 2.3 直线与圆可能结合抛物线基本参数（焦点、准线）命题； 2.4 概率题大概率延续天津本地生活化情境，考查条件概率或二项分布期望。 3.难度预测：整体与2025年持平，基础题占比100%，无难度跃升，认真备考的考生应实现全对。 五、类型巩固应用 类型一 复数 1．（2026·天津河北·一模）已知（），则_____． 2．（2026·上海静安·二模）设i是虚数单位，计算：______． 3．（2026·广西桂林·二模）设的实部与虚部相等，其中为实数，则______. 4．（2026·天津武清·模拟预测）已知复数为实数，则_________． 5．（2026·天津和平·二模）已知，为虚数单位，复数为纯虚数，则__________. 6．（2026·天津滨海新区·三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的共轭复数______． 7．（2025·上海黄浦·三模）复数z满足（i是虚数单位），则在复平面内，z对应的点在第________象限． 8．（2026·安徽·模拟预测）已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则________． 类型二 二项式定理 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）展开式中的常数项为______. 10．（2026·天津红桥·二模）已知二项式的展开式中的常数项为，则实数______． 11．（2026·江西宜春·模拟预测）展开式中的第5项的系数为______． 12．（2026·天津武清·模拟预测）若的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的系数为_________． 13．（2026·河北保定·二模）已知 的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，则其展开式中x² 的系数为________.(用数字作答) 14．（2026·四川广安·模拟预测）若，则______． 15．（2026·湖南邵阳·三模）的展开式中的系数为___________（用数字作答）． 16．（2026·贵州毕节·三模）的展开式中的系数为______.（用数字作答） 类型三 直线与圆、抛物线 17．（2026·天津和平·三模）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被圆截得的弦长为______．   18．（2026·吉林·三模）设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为______． 19．（2026·江西南昌·二模）已知圆：，过点作斜率为的直线与圆交于，两点，若的面积为2，则________． 20．（2026·天津滨海新区·三模）圆与圆的公共弦长为__________． 21．（2026·天津·二模）已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆的圆心不在轴上，且与直线相切，则圆的方程为______． 22．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为________. 23．（2008·天津·高考真题）已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于、两点，且，则圆的方程为______． 24．（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与相切且截轴所得的弦长为，则__________． 25．（2026·天津·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上（在第二象限），以为圆心的圆经过点.若直线与圆相切，则圆的标准方程为__________. 26．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 类型四 概率与分布列 27．（2026·天津河北·二模）袋中有除颜色外均相同的7个球，其中4个红球和3个白球. 不放回抽取3个球，其中两个红球和一个白球的概率为________；在前两个是红球的条件下，第三个是白球的概率为________. 28．（2026·四川广安·模拟预测）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位长度，移动6次后质点对应的数为，则（1）______，（2）在“”的条件下，事件“有且仅有一次经过1”的概率是______. 29．（2026·天津东丽·二模）某AI对话系统的对话轮次分配规则如下：若当前大模型生成的回答符合要求（回答合格），则下一轮继续由该模型生成；若回答不合格，则切换为另一个模型生成.已知模型A每次回答合格的概率为0.6，模型B每次回答合格的概率为0.7，两次回答相互独立.若第1轮生成回答的是模型A，则第1轮A回答不合格且第2轮B回答合格的概率为______；若第1轮生成回答的是模型A、B的概率各为0.5，则第2轮生成回答的是模型A的概率为______． 30．（2026·天津河北·一模）三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为．将三批产品混合，从混合产品中任取一件，这件产品是次品的概率为______；如果取到的产品是次品，则它是取自第一批产品的概率为______． 31．（2026·天津武清·模拟预测）芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 32．（2026·天津北辰·二模）2026年教育部全面推进“人工智能+教育”，某科技馆开展AI助手体验活动.三人一组，每人可向AI助手提问.甲、乙、丙三人体验AI问答系统.活动分两环节，第一环节“抢麦提问”，只有一人能抢到麦克风，三人抢到麦克风的概率均为，抢到者向AI提问，AI给出正确答案的概率分别为甲是，乙、丙均是.第二环节“独立测试”，三人各自在平板电脑上完成一道必答题，他们各自答对的概率分别为甲是，乙、丙均是，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响.则在第一环节提问中得到正确答案的概率______；记在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，则X的数学期望为_______. 33．（2026·广东东莞·二模）为响应“缤纷寒假，探索实践”活动，某同学计划去2个展馆类景点和4个公园类景点打卡，已知其每日随机选择一个景点打卡（不重复打卡），设为打卡完某一类所有景点需要的天数，则的概率为__________，的期望__________. 34．（2026·天津红桥·一模）袋中装着标有数字的小球各个，从袋中任取个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的个小球上的最大数字，则取出的个小球上的数字互不相同的概率为___________；随机变量的数学期望为___________． 35．（2026·天津·一模）现有3名学生参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种语言回答问题，各学生用何种语言回答问题相互独立，每名学生被要求用英语回答问题的概率均为，则这3名学生中至少有2人用英语回答问题的概率为______________；记用英语回答问题的学生人数为，则X的数学期望______________． 36．（2026·天津和平·一模）甲、乙两队参加知识竞赛，每队人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人正确与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分，则随机变量的数学期望为___________；用表示“甲、乙两个队总得分之和等于”这一事件，用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，则___________． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $