精品解析：广东东莞市石龙中学2025-2026学年第二学期期中考教学质量自查试卷高二数学

东莞市石龙中学2025-2026学年度第二学期期中考教学质量自查试卷 高二数学 命题人：唐嘉敏 审题人：屈涛 一、单选题 1. 已知函数的导函数为，且，则实数（ ） A. 2 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的定义可得的方程，求解可得. 【详解】， ，解得. 故选：C. 2. 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可. 【详解】由导函数f′(x)的图象知 在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值； 在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值； 在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值； 所以f(x)的极小值点的个数为1， 故选：A 【点睛】本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题. 3. 若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.55 D. 0.85 【答案】B 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出参数，进而求出事件概率. 【详解】，解得； ， 故选：B. 4. 由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（ ） A. 360 B. 280 C. 156 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】分个位的数字为0、2、4并求出对应满足条件的偶数个数即可. 【详解】若个位上的数字为0，可以组成个无重复数字的4位数的偶数， 若个位上的数字为2或4，可以组成， 故可以组成个符合条件的数． 故选：C 5. 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元.种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是（是常数），若种植3万千克，利润是万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ） A. 8万千克 B. 6万千克 C. 3万千克 D. 5万千克 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，列出利润关于的函数，同时求得参数，再利用导数判断函数的单调性，从而求得函数取得最大值时对应的即可. 【详解】种植万千克莲藕的销售额是，成本为：， 故利润，， 种植3万千克，利润是，即，解得， 故，，则， 故当，，单调递增；当，，单调递减； 故当时，取得最大值，也即当利润最大时，每年需种植莲藕万千克. 故选：D. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数在区间上单调递增，等价于导函数在此区间恒大于等于0，进而转化成参数小于等于某个函数恒成立，即求函数最值的问题. 【详解】解：由题意知，因为函数在上单调递增， 所以恒成立，即在区间上恒成立. 令，，则，当时，，所以， 因此在上单调递增，则，所以. 7. 如图所示的“杨辉三角”中，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（ ） A. 124 B. 185 C. 220 D. 330 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知问题转化为 根据组合数性质计算即可. 【详解】根据题意可知：这些数分别为 ， 则由 逐步应用得： ， 所以这些数和为 330. 故选：D. 8. 设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当时，构造函数，求导结合已知得其单调性，进而可得当时，，当时，，结合奇函数的性质即可进一步得解. 【详解】当时，令，则，所以在上单调递增， 当时，，即， 当时，，即， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 当时，，当时，， 所以不等式的解集为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是构造函数，利用导数得出单调性，从而即可顺利得解. 二、多选题 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式，导数的运算法则以及复合函数的求导法则求解即可. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：，故D正确. 故选：BD. 10. 从申、乙、丙、丁4名男生和小红、小花、小欣3名女生中选派3人参加A，B，C活动，且每项活动有且仅有1人参加，则（ ） A. 共有210种不同的安排方法 B. 若男生甲必须参加其中的一项活动，则共有120种不同的安排方法 C. 若3人中必须既有男生又有女生，则有180种不同的安排方法 D. 若小红必须参加且不能安排A活动，则有120种不同的安排方法 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A将4名男生和3名女生安排3个人参加活动，则有即可判断，对于B先安排甲，再安排剩下的，利用分步计数原理即可求解，对于C既有男生又有女生则有，再安排参加3项活动，根据分步计数原理即可判断，对于D先安排小红，再安排剩下即可计算. 【详解】对于A：将4名男生和3名女生安排3个人参加活动，则有，故A正确； 对于B：若男生甲必须参加其中的一项活动，则先将甲安排一项活动有中排法， 再将剩下的2项活动安排给剩下的6人有，则共有种排法，故B错误； 对于C：若3人中必须既有男生又有女生，则有，故C正确； 对于D：小红必须参加且不能安排A活动，则安排小红参加活动中选一项有种排法， 剩下2项活动安排给剩下6个人，则有，所以共有种排法，故D错误. 故选：AC. 11. 定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，且有，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 方程有三个根 C. 若关于的方程在区间上有两解，则或 D. 若函数在区间上有最大值，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意可得的对称中心为，即可得到，从而求出、的值，再利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，即可画出函数图象，最后根据图象一一分析即可. 【详解】对于三次函数，则，， 若，令，则（、为的两根，为三次函数的两个极值点）， 令，则，所以， 依题意的极大值点和极小值点分别为，且有， 所以的对称中心为， 对于A，由，可得，， 所以，即，解得，故A正确； 对于B，因为，， 当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 则的图象如下所示： 由图可知与有且仅有个交点，所以方程有三个根，故B正确； 对于C，又，若关于的方程在区间上有两解， 即与在区间上有两个交点，则，故C错误； 对于D，由， 若函数在区间上有最大值，则，解得，即，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 若，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用排列数和组合数公式直接计算可得. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：5. 13. 已知，其中，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理求展开式中指定项的系数. 【详解】，其中， ，解得， 项的系数为 ，故 . 14. 已知函数，，若，则的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】求导得到，取得到，计算切线得到答案. 【详解】，则，取，故，， 故切线方程为，取，解得， 故的最小值. 故答案为：. 【点睛】本题考查了利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化为切线方程是解题的关键. 四、解答题 15. 在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球. （1）求取球后袋子里白球的个数为1的概率； （2）设取球后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列. 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）根据取球的结果结合古典概型分析求解； （2）由随机变量的可能取值，计算相应的概率，进而求分布列. 【小问1详解】 设事件A为“取球后袋子里白球的个数为1”， 则， 所以取球后袋子里白球的个数为1的概率为. 【小问2详解】 依题意，随机变量的取值为0，1，2， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 16. 已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为. （1）求的值； （2）设， ①求的值； ②求奇次项的系数和. 【答案】（1）8 （2）①255，②（也正确） 【解析】 【分析】（1）首先排甲，再将乙丙安排再甲的左右两位置中的一个，按照分步乘法计数原理计算可得； （2）①令，，根据二项展开式的系数和即可求解； ②令即可求解； 【小问1详解】 首先排甲，再将乙丙安排再甲的左右两位置中的一个，则所有不同的排法种数有； 【小问2详解】 在， 令，得； 令，得①； . 令，得②； ②，得.（也正确） 17. 已知函数 （1）求函数的单调区间和极值； （2）在坐标系中画出函数的简图（参考数据；要含有必要的说明和体现必要的图象特征）； （3）若，讨论函数的零点个数. 【答案】（1）增区间，减区间，极小值为，无极大值. （2）图象见详解 （3）答案见详解 【解析】 【分析】（1）求导后，根据的正负可得单调区间，根据极值点定义可求得极值； （2）分析，，结合（1）中的单调性和极值，作出函数图象； （3）将问题转化为与的交点个数问题，结合（2）中图象分析可得结果. 【小问1详解】 由，， 则， 令，解得或，令，解得， 所以的单调增区间为，减区间为，， 的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由时，，结合（1）中的单调性和极值，的图象如下： 【小问3详解】 由题，的零点个数等价于与的交点个数； 结合（2）中图象可知： 当时，与有且仅有1个交点， 当时，与无交点， 当时，与有且仅有1个交点， 当时，与有2个不同的交点， 综上，当时，函数无零点，当或时，函数有且仅有一个零点， 当时，函数有两个不同的零点. 18. 春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人． （1）求这个人患流感的概率； （2）设是一组两两互斥的事件，，且，对任意的事件，证明：； （3）若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）此人来自甲地区的可能性最小 【解析】 【分析】（1）应用全概率公式计算求解； （2）应用条件概率公式计算证明； （3）应用贝叶斯公式计算求解. 【小问1详解】 设“选取的人患流感”，用，分别表示选取的人来自甲，乙，丙地区， 则， 所以 由全概率公式得 【小问2详解】 根据乘法公式 条件概率得 所以； 【小问3详解】 由（2）知： ， ， ， 所以， 答：此人来自甲地区的可能性最小 19. 已知函数 . （1）若，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个极值点，，证明：. 【答案】（1） （2）若，在上单调递增；若，在上单调递减，上单调递增；若，在和上单调递增，上单调递减. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求得在处的斜率，从而求得切线方程； （2）对函数 求导可得，，通过讨论的实数根的情况，分析导函数的正负，从而判断函数的单调性； （3）由有两个极值点，可得，故 ，由，结合不等式的性质，可证得结论. 【小问1详解】 若， 所以 ， 故切线方程为. 【小问2详解】 令 ，其判别式 ， ①当，即时，恒成立，故， 所以在上单调递增. ②当，即时：的两根为， 若，则，， 当时，；当时，. 所以在上单调递减，上单调递增， 若，则， 所以当和时，； 当时，. 所以在和上单调递增，上单调递减. 综上所述，若，在上单调递增； 若，在上单调递减，上单调递增； 若，在和上单调递增，上单调递减. 【小问3详解】 因为有两个极值点， 所以有两个不等正实数根，即有两不等正实数根，且. 故，因为，所以， 设 令， ， 当时，， 当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，故，当且仅当时取等号， 所以，所以， 所以 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞市石龙中学2025-2026学年度第二学期期中考教学质量自查试卷 高二数学 命题人：唐嘉敏 审题人：屈涛 一、单选题 1. 已知函数的导函数为，且，则实数（ ） A. 2 B. 5 C. D. 2. 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.55 D. 0.85 4. 由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（ ） A. 360 B. 280 C. 156 D. 150 5. 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元.种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是（是常数），若种植3万千克，利润是万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ） A. 8万千克 B. 6万千克 C. 3万千克 D. 5万千克 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的“杨辉三角”中，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（ ） A. 124 B. 185 C. 220 D. 330 8. 设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 从申、乙、丙、丁4名男生和小红、小花、小欣3名女生中选派3人参加A，B，C活动，且每项活动有且仅有1人参加，则（ ） A. 共有210种不同的安排方法 B. 若男生甲必须参加其中的一项活动，则共有120种不同的安排方法 C. 若3人中必须既有男生又有女生，则有180种不同的安排方法 D. 若小红必须参加且不能安排A活动，则有120种不同的安排方法 11. 定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，且有，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 方程有三个根 C. 若关于的方程在区间上有两解，则或 D. 若函数在区间上有最大值，则 三、填空题 12. 若，则________． 13. 已知，其中，则________. 14. 已知函数，，若，则的最小值为______. 四、解答题 15. 在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球. （1）求取球后袋子里白球的个数为1的概率； （2）设取球后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列. 16. 已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为. （1）求的值； （2）设， ①求的值； ②求奇次项的系数和. 17. 已知函数 （1）求函数的单调区间和极值； （2）在坐标系中画出函数的简图（参考数据；要含有必要的说明和体现必要的图象特征）； （3）若，讨论函数的零点个数. 18. 春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人． （1）求这个人患流感的概率； （2）设是一组两两互斥的事件，，且，对任意的事件，证明：； （3）若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小． 19. 已知函数 . （1）若，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个极值点，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $