广东广州奥林匹克中学2025-2026学年第二学期高二年级数学期中测试试题

**基本信息** 2027届广州奥林匹克中学高二下学期期中数学试卷，以高台跳水瞬时速度、电动汽车销量预测等真实情境为载体，融合导数、概率统计、立体几何等知识，体现数学眼光观察现实、数学思维解决问题的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|导数瞬时速度、二项式系数、概率分布|结合高台跳水等情境，基础巩固| |多选|3/18|函数单调性、独立事件、二项式定理|分层考查逻辑推理，如事件独立性判断| |填空|3/15|排列组合、独立重复试验、函数零点|教材改编题与创新结合，如P26习题改编| |解答|5/77|数列证明、概率分布与期望、立体几何翻折、导数零点、抛物线切线|综合应用，如体测成绩统计分析、二面角求解，体现数学语言表达现实问题|

2027届广州奥林匹克中学高二下学期 期中阶段考试 数 学 命题人：周舟 审题人：杨瑛 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 2、 的展开式中的系数是（ ） A.6 B. C. 192 D. 3、随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P a 则=（ ） A. B. C. D. 5 4．近年来，我国电动汽车产业发展迅猛，某品牌汽车市场也异常火爆，销售量逐年上升．现统计某汽车专卖店5月份前5天每天电动汽车的实际销量，结果如下表所示． 日期编号 1 2 3 4 5 销量/部 10 15 20 30 35 与有较强的线性相关关系，且线性回归方程为，预测当时，（    ） A．67.5 B．68 C．78.5 D．69 5．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（ ）. A．70 B．64 C．58 D．52 6. 一个袋子中有5个完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从中随机地摸出3个球作为样本.用X表示样本中球的编号为偶数的个数，则以下结论不正确的是（   ） A．若采取有放回摸球，则 B．若采取不放回摸球，则 C．若采取有放回摸球，则 D．若采取不放回摸球，则 7. 若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的极大值为 D. 函数在区间上的最小值是 10. 已知事件满足，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果与相互独立，那么 C. 如果与互斥，那么 D. 如果，那么 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 除以的余数为1 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数（用数字作答）. 教材P26习题6.2T12（1））改编 13.已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现存n门大炮同时对某一目标各射击一次． 如果，则恰好击中目标3次的概率为________；如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要______门大炮（参考数据：，）. 14. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15（本题满分13分）． 记等差数列的前项和为，已知,. （1）求数列的通项公式； （2）证明：. 16（本题满分15分）． 某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 17（本题满分15分）． 如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥． （1证明：面平面； （2当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值． 18（本题满分17分）． 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. （3）若有两个零点，求证明 19、（本题17分）已知抛物线C：的焦点为F，准线方程为，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点（异于原点O），抛物线在P，Q两点处的切线交于点T. (1)求抛物线C的标准方程； (2)证明：点T在定直线上； (3)在（2）的结论下，求此时的面积最小值，并求此时直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届广州奥林匹克中学高二下学期 期中阶段考试 数 学 命题人：周舟 审题人：杨瑛 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. （教材P61练习题T1） 【答案】A 2、 的展开式中的系数是（ ） A.6 B. C. 192 D. （教材P30例2（2）） 【答案】D 3、随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P a 则=（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 4．近年来，我国电动汽车产业发展迅猛，某品牌汽车市场也异常火爆，销售量逐年上升．现统计某汽车专卖店5月份前5天每天电动汽车的实际销量，结果如下表所示． 日期编号 1 2 3 4 5 销量/部 10 15 20 30 35 与有较强的线性相关关系，且线性回归方程为，预测当时，（    ） A．67.5 B．68 C．78.5 D．69 【答案】A 5．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（ ）. A．70 B．64 C．58 D．52 （教材P38复习参考题6T3（4）） 【答案】C 6. 一个袋子中有5个完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从中随机地摸出3个球作为样本.用X表示样本中球的编号为偶数的个数，则以下结论不正确的是（   ） A．若采取有放回摸球，则 B．若采取不放回摸球，则 C．若采取有放回摸球，则 D．若采取不放回摸球，则 【答案】D 7. 若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 8. 已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的极大值为 D. 函数在区间上的最小值是 （教材P92练习T2（2）、教材P94练习T1（2）） 【答案】AC 10. 已知事件满足，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果与相互独立，那么 C. 如果与互斥，那么 D. 如果，那么 【答案】BCD （教材P48练习T1、P53习题7.1T6） 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 除以的余数为1 （教材P38复习参考题6T3（1）、T9、P76探究） 【答案】AB 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数（用数字作答）. 教材P26习题6.2T12（1））改编 【答案】378 13.已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现存n门大炮同时对某一目标各射击一次． 如果，则恰好击中目标3次的概率为________；如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要______门大炮（参考数据：，）. （教材P90复习参考题7T6改编） 【答案】第1空答案：；第二空答案：5 14. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是______． （教材P95例题7） 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15（本题满分13分）． 记等差数列的前项和为，已知,. （1）求数列的通项公式； （2）证明：. （教材P41习题4.3T11改编） 【1】 设等差数列的公差为，因为 可得，解得， ……4分 所以，即数列的通项公式为. ……6分 【2】 由（1）知：，可得，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， ……9分 所以， ……11分 因为，所以. ……13分 16（本题满分15分）． 某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. （1）设事件 “抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则 “抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件 “抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，知， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为； ……4分 （2）的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 随机变量服从超几何分布，且，，，所以； ……10分 （3）由题意得，， ， ，，， 所以的数学期望为8，方差为7． ……15分 17（本题满分15分）． 如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥． （1证明：面平面； （2当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值． 【问1】 （1）由题意得，为等边三角形， 又为中点，所以，，故 ……3分 又因为，所以平面.又因为平面，所以平面平面 ……6分 【问2】如图，以为原点，，以及垂直于平面的直线为，，轴，建立空间直角坐标系， ……7分 由（1）知，，又，所以即为二面角的平面角，即. 10分 则，，，. ，，， 设平面的法向量， 则，即，取 ……13分 设直线与平面所成的角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. ……15分 18（本题满分17分）． 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. （3）若有两个零点，求证明 （教材P104复习参考题5T19） 【答案】（1）；（3）. （ⅰ）若，则，所以在单调递减. ……1分 （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. ……4分 （3）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. ……5分 （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ……6分 ①当时，由于，故只有一个零点； ……7分 ②当时，由于，即，故没有零点； ……9分 ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. ……10分 （3）由零点定义得： ……11分 整理式子，进行变形： 设极值点 ，即 ，待证 。 只需证 由单调性： 在 单调递增，故只需证 。 又 ，即证：。 代入 ，得 ，。 构造偏移辅助函数：令 ……13分 求导化简： 代入 化简可得： 在 上恒成立。 因此 在 单调递减，故 。 ……15分 即 ，结合 ，得： 由 、，且函数在该区间单调递增，故 。 整理得：，得证。 ……17分 19、（本题17分）已知抛物线C：的焦点为F，准线方程为，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点（异于原点O），抛物线在P，Q两点处的切线交于点T. (1)求抛物线C的标准方程； (2)证明：点T在定直线上； (3)在（2）的结论下，求此时的面积最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 由题意可知，准线方程为，即，解得， 因此抛物线的标准方程为. ……3分 （2）抛物线的焦点坐标为，设过的直线方程为，直线与抛物线交点、坐标分别为、且， 联立直线方程和抛物线方程可得 化简可得， 根据韦达定理可得，，， ……5分 对抛物线求导可得， 因此在处的切线斜率为，则切线方程为， 因为在抛物线上，所以，代入可得， 同理可得在处的切线方程为， ……7分 联立两条切线方程可得，化简可得， ……9分 因为，所以解得，代入可得， 因为 ，所以，即点在定直线上. ……11分 （3）， ， 因此， ……13分 设点到直线的距离为，，的方程为， ， ……14分 因此， 因为，所以当时，取到最小值1， 因此的最小值为， 此时直线的方程为. ……17分 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $