精品解析：湖南株洲市第四中学2026届高三普通高中学业水平合格性考试模拟二数学试题

2026年普通高中学业水平合格性考试模拟二 数 学 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题：本题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 袋中装有6个白球，5只黄球，4个红球，从中任取1球， 抽到的不是白球的概率为 （ ） A. B. C. D. 4. 小张记录了2025年1月至11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据，整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（ ） A. 月跑步里程出现波动性 B. 月跑步里程最大值出现在10月 C. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数 D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更大 5. 一组数据0，1，3，4，5，6的极差为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 5 6. 若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 9. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 10. 不是函数，的图象的对称轴的是（ ） A. 轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 12. 甲校有2000名学生，乙校有2400名学生，丙校有2600名学生，为统计三校学生某方面的情况，采用分层随机抽样法抽取一个容量为70的样本，应在这三校分别抽取学生（ ） A. 20人，24人，26人 B. 26人，24人，20人 C. 20人，26人，24人 D. 24人，26人，20人 13. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 14. 已知向量，，若，则实数的值为（ ）. A. B. 3 C. － D. －3 15. 已知，则（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 17. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 18. 函数必经过的点有（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 19. 函数，的最大值是__________. 20. 已知向量则_____ 21. 设复数，（是虚数单位），则________． 22. 幂函数的图像在第___________象限. 三、解答题：满分30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75至100之间．将数据分成以下5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中随机抽取17名学生座谈，求每组抽取的学生人数； （3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值． 24. 如图，在四棱锥中，平面，平面，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的余弦值． 25. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高中学业水平合格性考试模拟二 数 学 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题：本题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知实数，满足，则，故A正确，B错误； ， ，故，即，故C，D错误． 2. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设. 3. 袋中装有6个白球，5只黄球，4个红球，从中任取1球， 抽到的不是白球的概率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式可求出结果. 【详解】从装有6个白球，5个黄球，4个红球的袋中，任取一球，有种取法， 其中取到不是白球的有种取法， 所以取到不是白球的概率为. 故选：B 4. 小张记录了2025年1月至11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据，整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（ ） A. 月跑步里程出现波动性 B. 月跑步里程最大值出现在10月 C. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数 D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更大 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由折线图知，月跑步里程互不相同，出现波动，A正确； 对于B，月跑步里程最大值出现在10月，B正确； 对于C，月跑步里程数从小到大排列分别是2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月， 因此5月份对应的里程数为中位数，C正确； 对于D，1月到5月的月跑步里程相对于6月至11月更均匀，波动性更小，D错误． 5. 一组数据0，1，3，4，5，6的极差为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】确定该组数据0，1，3，4，5，6的最大值为6，最小值为0； 所以极差是 6−0=6， 因此该组数据的极差为6. 6. 若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】正三棱锥的所有棱长均为， 则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形， 等边三角形的高为， 则该三棱锥的表面积为. 故选：. 7. 已知向量．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得列方程求解即可. 【详解】因为，， 所以，解得. 故选：A 8. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦型函数最小正周期求解即可. 【详解】由题意得. 9. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，则，根据余弦函数的性质知其值域为，即的值域为. 10. 不是函数，的图象的对称轴的是（ ） A. 轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，函数 的图象对称轴为直线， 因此当分别取时对应直线分别为轴，直线，直线，ABD不选； 不存在整数，使得，选C. 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式平方关系计算得到答案； 【详解】由诱导公式得，又由，可得． 故选：A. 12. 甲校有2000名学生，乙校有2400名学生，丙校有2600名学生，为统计三校学生某方面的情况，采用分层随机抽样法抽取一个容量为70的样本，应在这三校分别抽取学生（ ） A. 20人，24人，26人 B. 26人，24人，20人 C. 20人，26人，24人 D. 24人，26人，20人 【答案】A 【解析】 【详解】因为抽样比为， 所以甲校抽取人，乙校抽取人，丙校抽取人. 13. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的真数大于0，即可求出函数的定义域. 【详解】解：由题意可知，解得， 所以函数的定义域为. 14. 已知向量，，若，则实数的值为（ ）. A. B. 3 C. － D. －3 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据向量的数乘运算求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查向量线性运算的坐标表示，属于基础题． 15. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 16. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据自变量范围代入相应解析式计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：A 17. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】，解得， 当时，成立，故“”是“”的充分条件； 当时，，不能推出，故必要性不成立； “”是“”的充分不必要条件． 18. 函数必经过的点有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】由，所以函数必经过点，故A正确； 由，所以函数不经过点，故B错误； 由，所以函数必经过点，故C正确； 因为无意义，所以函数不经过点，故D错误. 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 19. 函数，的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的对称轴和开口方向，判断其在区间上的单调性，求解即可. 【详解】因为二次函数，开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递增， 则函数的最大值在时取到， 即 所以函数，的最大值是. 故答案为：6 20. 已知向量则_____ 【答案】 【解析】 【分析】由题意计算出的值，可得的值. 【详解】解：由 可得, 故：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查向量的加法运算与向量的摸的求法，属于基础题型. 21. 设复数，（是虚数单位），则________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意. 22. 幂函数的图像在第___________象限. 【答案】一、二 【解析】 【分析】根据幂函数的定义域及对应值域，即可确定图像所在的象限. 【详解】由解析式知：定义域为，且值域， ∴函数图像在一、二象限. 故答案为：一、二. 三、解答题：满分30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75至100之间．将数据分成以下5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中随机抽取17名学生座谈，求每组抽取的学生人数； （3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值． 【答案】（1）； （2）从第，，组应依次抽取人，人，人； （3） . 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小长方形面积和为1列式求解. （2）由分层抽样的抽样比求解. （3）由频率分布直方图计算出随机抽取学生所得测试分数的平均值. 【小问1详解】 由频率分布直方图中各小矩形面积和为1，得 ， 所以. 【小问2详解】 由频率分布直方图知，第2，3，4组的学生人数之比为， 所以每组抽取的人数分别为：第2组抽人；第3组抽人；第4组抽人. 【小问3详解】 抽取学生测试分数的平均值为. 24. 如图，在四棱锥中，平面，平面，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先得四边形是平行四边形，从而有，利用线面平行的判定定理可证结论. （2）根据已知条件和（1）得平面，即可得. 【小问1详解】 ∵平面，平面，平面平面， ∴，即，又N是AD的中点，， ∴，则四边形是平行四边形， ∴，又平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 由平面，且（1）知，则平面， 所以与平面所成角为，故其余弦值为0. 25. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的定义求解； （2）利用零点存在定理求解； （3）利用基本不等式和函数的单调性分类求函数的最小值，确定结论. 【小问1详解】 由已知，解得，所以函数的定义域为； 【小问2详解】 由已知，它是增函数， 因为函数在上有且仅有一个零点， 所以，解得， 所以的范围是； 【小问3详解】 假设存在正实数满足题意， ，则，， 设，则， ， 由基本不等式有，当且仅当时等号， 若，则，此时满足题意， 若，即， 设，， ， 因为，所以， ， 所以时，，，是增函数，时，，，不合题意； 当时，，，是减函数，时，，，不合题意； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $