精品解析：2026年普通高中学业水平合格性考试信息卷(模拟二) 数学

2026年普通高中学业水平合格性考试信息卷（模拟二） 数学 时量：90分钟，满分：100分 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页. 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁. 一、单选题：本大题共18小题，每小题3分，共54分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件，根据不等式的性质可得答案. 【详解】因为，所以，故A正确，B错误； 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：A. 2. 在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是（ ） A. 3件都是正品 B. 至少有2件是次品 C. 3件都是次品 D. 至少有1件是正品 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件的概念进行判断. 【详解】因为12件产品中，只有2件是次品，从中取3件，其中必定至少有1件是正品. 故选：D 3. 袋中装有6个白球，5只黄球，4个红球，从中任取1球， 抽到的不是白球的概率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式可求出结果. 【详解】从装有6个白球，5个黄球，4个红球的袋中，任取一球，有种取法， 其中取到不是白球的有种取法， 所以取到不是白球的概率为. 故选：B 4. 小张记录了2023年1月至11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据，整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（ ） A. 月跑步里程逐月增加 B. 月跑步里程最大值出现在10月 C. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数 D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小 【答案】A 【解析】 【分析】根据折线图读取信息判断各个选项； 【详解】对于A，由折线图可知，月跑步里程不是逐月增加的，故A错误； 对于B，月跑步里程最大值出现在10月，故B正确； 对于C，月跑步里程数从小到大排列分别是2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月， 故5月份对应的里程数为中位数，故C正确； 对于D，1月到5月的月跑步里程相对于6月至11月更均匀，波动性更小，故D正确． 故选：A. 5. 一组数据1，2，2，4，5，6的极差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用极差的定义即可得解. 【详解】因为数据1，2，2，4，5，6的最小数为，最大数为， 所以其极差为. 故选：D. 6. 若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】正三棱锥的所有棱长均为， 则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形， 等边三角形的高为， 则该三棱锥的表面积为. 故选：. 7. 已知向量．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得列方程求解即可. 【详解】因为，， 所以，解得. 故选：A 8. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦型函数的性质计算可得. 【详解】函数的最小正周期. 故选：D 9. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用二倍角正弦公式进行化简，结合正弦函数的值域为，计算得出结果； 【详解】函数，因为， 所以函数的值域为 故选：B. 10. 正弦函数，的图象的一条对称轴是（ ） A. 轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称性判断即可. 【详解】正弦函数，的对称轴为， 当时，函数的一条对称轴为直线，故C正确，结合选项可知A、B、D均不符合题意. 故选：C 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式平方关系计算得到答案； 【详解】由诱导公式得，又由，可得． 故选：A. 12. 甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生（　　） A. 30人，30人，30人 B. 30人，45人，15人 C. 20人，30人，40人 D. 30人，50人，10人 【答案】B 【解析】 【分析】先求出抽样比，然后根据抽样比即可求出各校应抽取的学生数. 【详解】解：先求抽样比＝， 再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3 600×＝30（人），乙校抽取5 400×＝45（人），丙校抽取1 800×＝15（人）， 故选：B. 13. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零列不等式即可求解. 【详解】由，解得. 故选：B. 14. 已知向量，，若，则实数的值为（ ）. A. B. 3 C. － D. －3 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据向量的数乘运算求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查向量线性运算的坐标表示，属于基础题． 15. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 16. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据自变量范围代入相应解析式计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：A 17. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】由可以推出，故充分性成立， 反之或，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 18. 已知集合，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法表示集合，再结合元素与集合的关系判断即得. 【详解】依题意，，结合元素与集合关系知，ABD错误，C正确. 故选：C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 19. 函数，的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，可得当时，单调递减，在时取得最小值． 【详解】函数的图象是开口朝下，且以直线为对称轴的抛物线， 当时，单调递减，在时取得最小值， 故答案为： 20. 已知向量则_____ 【答案】 【解析】 【分析】由题意计算出的值，可得的值. 【详解】解：由 可得, 故：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查向量的加法运算与向量的摸的求法，属于基础题型. 21. 设复数，（i是虚数单位），则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的加法运算求解. 【详解】. 故答案为：. 22. 幂函数的图像在第___________象限. 【答案】一、二 【解析】 【分析】根据幂函数的定义域及对应值域，即可确定图像所在的象限. 【详解】由解析式知：定义域为，且值域， ∴函数图像在一、二象限. 故答案为：一、二. 三、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 23. 某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75至100之间．将数据分成以下组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生座谈，求每组抽取的学生人数； （3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值在第几组（只需写出结论）． 【答案】（1）; （2）从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生; （3）第3组. 【解析】 【分析】（1）由小长方形面积和为1列方程可得； （2）由分层抽样比可得从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生； （3）由频率分布直方图计算出随机抽取学生所得测试分数的平均值，得出在第三组. 【小问1详解】 因为各组的频率之和为1，所以， 解得：； 【小问2详解】 由频率分布直方图知，第，，组的学生人数之比为． 所以，每组抽取的人数分别为： 第组：；第组：；第组：． 所以从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生． 【小问3详解】 抽取学生测试分数的平均值为， 因为 故在第3组. 24. 如图，在四棱锥中，平面PAD，，点N是AD的中点．求证： （1）； （2）平面PAB． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质可证线线平行； （2）先证明四边形ABCN是平行四边形得到，利用线面平行的判定定理可证结论. 【小问1详解】 ∵平面PAD，平面ABCD，平面平面， ∴． 【小问2详解】 由（1）知，， 又N是AD的中点，，∴， ∴四边形ABCN是平行四边形，∴， 又平面PAB，平面PAB，∴平面PAB． 25. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据函数有意义，列出不等式，即可求解函数的定义域； （2）由，结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解； （3）设，则，结合“对勾函数”的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数有意义，则满足，解得， 即函数的定义域为. （2）由，且， 可得， 由对数函数的性质，可得为单调递增函数，且函数在上有且仅有一个零点， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. （3）由，设，则， 当时，函数在上为增函数，所以最小值为， 解得，不符合题意，舍去； 当时，函数在上为减函数，所以最小值为， 解得，不符合题意，舍去； 当时，函数在上是减函数，在上为增函数， 所以最小值为，解得，符合题意， 综上可得，存在使得函数的最小值为4. 【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域，以及函数的零点的存在定理，以及函数的基本性质的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高中学业水平合格性考试信息卷（模拟二） 数学 时量：90分钟，满分：100分 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页. 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁. 一、单选题：本大题共18小题，每小题3分，共54分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是（ ） A. 3件都是正品 B. 至少有2件是次品 C. 3件都是次品 D. 至少有1件是正品 3. 袋中装有6个白球，5只黄球，4个红球，从中任取1球， 抽到的不是白球的概率为 （ ） A. B. C. D. 4. 小张记录了2023年1月至11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据，整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（ ） A. 月跑步里程逐月增加 B. 月跑步里程最大值出现在10月 C. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数 D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小 5. 一组数据1，2，2，4，5，6的极差为（ ） A. B. C. D. 6. 若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 9. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 10. 正弦函数，的图象的一条对称轴是（ ） A. 轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 12. 甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生（　　） A. 30人，30人，30人 B. 30人，45人，15人 C. 20人，30人，40人 D. 30人，50人，10人 13. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 14. 已知向量，，若，则实数的值为（ ）. A. B. 3 C. － D. －3 15. 已知，则（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 17. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 18. 已知集合，则必有（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 19. 函数，的最小值是________． 20. 已知向量则_____ 21. 设复数，（i是虚数单位），则______． 22. 幂函数的图像在第___________象限. 三、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 23. 某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75至100之间．将数据分成以下组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生座谈，求每组抽取的学生人数； （3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值在第几组（只需写出结论）． 24. 如图，在四棱锥中，平面PAD，，点N是AD的中点．求证： （1）； （2）平面PAB． 25. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $