精品解析：2026年内蒙古自治区鄂尔多斯市初中学业水平第二次调研考试数学试卷

2026年鄂尔多斯市初中学业水平第二次调研考试 数学 注意事项：1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，点到原点的距离是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 诸葛亮的《诫子书》中有“非志无以成学”，如图是正方体的一种展开图，则原正方体中与“志”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 非 B. 以 C. 成 D. 学 3. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某仓库有同款智能手环150个，分为深色款90个和浅色款60个．现从中随机抽取一个，抽到深色款的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 鄂尔多斯市某煤电化工产业园引进、两种智能搬运机器人转运煤炭原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运煤炭所用时间与型机器人搬运煤炭所用时间相等．设型机器人每小时搬运煤炭，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点绕点逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，点、点分别在边、上，且，，则的度数是（） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 比较大小：________4（选填“”、“”、“”）． 10. 如图，四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则四边形和四边形的周长之比为________． 11. 如图，某办公大楼需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度米，某人（线段）身高为米，测得，那么该人与扫描仪的水平距离约为________米．（参考数据：，，，精确到米） 12. 如图，在中，，，点，点F、分别是线段，上的动点，运动过程中始终保持，于点，则的最大值是________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算与化简： （1）计算：； （2）化简：． 14. 某车间管理层为了调动工人的工作积极性，实行目标管理．随机统计了10名工人日加工零件数的分布情况，如下表所示，根据表中信息回答下列问题： 日加工零件数/件 4 5 7 11 人数 4 3 1 2 （1）日加工零件数为哪个值的人数最多？日加工零件数的中位数是多少？平均日加工零件数是多少？ （2）管理层认为奖励只给能达到较高目标的部分人，才有利于调动工人的积极性，据此你认为在（1）中得出的三个零件数中选择哪一个作为日加工零件数更有利于调动工人的积极性？请说明理由； （3）如果想让一半左右的工人都能达到生产目标，你认为日加工零件数定为多少合适？请说明理由． 15. 甲、乙两名快递员分别从同一个配送站出发，向不同的小区配送包裹．他们各自配送的包裹总数量（单位：件）与工作时间（单位：）之间的关系如图所示，已知甲快递员在时段内配送包裹总数量与工作时间之间的关系式为． （1）求出乙快递员在时段内，关于的函数解析式； （2）当乙快递员所配送的包裹总数量不超过甲快递员所配送的包裹总数量时，求的取值范围？ 16. 如图，四边形是平行四边形，是的外接圆，． （1）求证：是的切线； （2）分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点．作射线，分别交，于点，点．连接交于点． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，求的半径． 17. 初中几何中平移、旋转、轴对称是重要的全等变换，可以产生丰富的图形．在中，，，． （1）如图1，将沿进行折叠得到（与重合，与重合），连接交于点，求的长度； （2）在图1基础上，将沿射线平移到如图2所示位置，连接，，已知，求证：四边形是矩形； （3）在图1基础上，将绕点逆时针旋转度（），如图3，直线交直线于点．当点、、三点共线时，请直接写出的面积． 18. 某数学兴趣小组学习了二次函数之后，对园林绿化中喷水装置喷出的水珠运动轨迹展开探究，发现水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线． 有一个喷水装置，此装置由竖直安装在地面的一根水管和顶端可调节高度的喷水头组成．现以水管和水平地面的交点为原点，水平方向为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系，点为水珠的落地点，如图1． 在一次浇灌草坪的喷水作业中，测得此喷水装置喷出水珠的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 3 4 5 竖直高度 根据以上信息，解答下列问题． （1）求出此次作业中水珠运动形成的抛物线关于的函数表达式； （2）在线段上有一移动盆景高为米，该盆景到点的距离为米（），水珠能否碰到该盆景最高点？若能，求出的值；若不能，则喷水口的竖直高度至少向上调节多少米，水珠可以碰到该盆景的最高点？并求出此时的值；（在调节的过程中，抛物线的形状和对称轴保持不变） （3）在此次喷水作业中，该装置还浇灌了另一方向斜坡处草坪，如图2，其中水珠形成的抛物线及的高度与（1）中的一致，水珠的落地点为点，斜坡所在直线为，现准备在斜坡段安放一块垂直于水平面的警示牌，为了使水珠不碰到，则的高度应低于多少米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年鄂尔多斯市初中学业水平第二次调研考试 数学 注意事项：1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，点到原点的距离是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察数轴得：点A表示的数为，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：点A表示的数为， ∴点到原点的距离是3． 2. 诸葛亮的《诫子书》中有“非志无以成学”，如图是正方体的一种展开图，则原正方体中与“志”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 非 B. 以 C. 成 D. 学 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形解答即可． 【详解】解：根据题意得：正方体中与“志”字所在面相对的面上的汉字是“以”． 3. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法，积的乘方，负整数指数幂，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项正确，不符合题意； D、，故本选项正确，不符合题意； 4. 某仓库有同款智能手环150个，分为深色款90个和浅色款60个．现从中随机抽取一个，抽到深色款的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据概率公式解答即可． 【详解】解：根据题意得：从中随机抽取一个，抽到深色款的概率是． 5. 鄂尔多斯市某煤电化工产业园引进、两种智能搬运机器人转运煤炭原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运煤炭所用时间与型机器人搬运煤炭所用时间相等．设型机器人每小时搬运煤炭，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“型机器人搬运煤炭所用时间与型机器人搬运煤炭所用时间相等．”这一等量关系，先表示出两种机器人的工作效率和工作时间，即可列出正确方程． 【详解】解：设型机器人每小时搬运煤炭，根据题意得： ． 6. 某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点绕点逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，重物上升的高度等于滑轮边缘转过的弧长，利用弧长公式  进行计算即可 【详解】解：滑轮的直径为， 滑轮的半径，  滑轮绕点逆时针旋转，且绳索与滑轮之间没有滑动，  重物上升的高度等于滑轮转过的弧长， ． 7. 若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据确定三个点横坐标的取值范围，再结合反比例函数的增减性比较的大小即可 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小。 ∵， ∴三个点的横坐标满足：，，， ∴点在第三象限，点、在第一象限， ∴，，， ∵， ∴根据反比例函数增减性，得， ∴ 8. 如图，在菱形中，，点、点分别在边、上，且，，则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，，，利用直角三角形性质求出，进而求出，证明，得到，结合判定为等边三角形，最后利用角的和差关系求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 比较大小：________4（选填“”、“”、“”）． 【答案】 【解析】 【分析】两个正数比较大小，可通过比较平方的结果判断原数大小，平方结果更大的原数更大． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∵， ∴． 10. 如图，四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则四边形和四边形的周长之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的性质，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似多边形的周长比等于相似比，据此求解即可． 【详解】解：，且点在线段上，  ，  四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，  四边形与四边形的相似比为， 相似多边形的周长比等于相似比，  四边形和四边形的周长之比为． 11. 如图，某办公大楼需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度米，某人（线段）身高为米，测得，那么该人与扫描仪的水平距离约为________米．（参考数据：，，，精确到米） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，由题意，得，线段的和差求出的长，解，求出的长即可． 【详解】解：过点作于点， 根据题意得四边形为矩形， ∴米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米． 12. 如图，在中，，，点，点F、分别是线段，上的动点，运动过程中始终保持，于点，则的最大值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质求出的度数和的长，由和，可得为等腰直角三角形，从而建立与的数量关系，结合及，将求的最大值转化为求的最小值，利用垂线段最短即可求解． 【详解】解：，， 为等腰直角三角形，， ∴， ， ， 在中，， 为等腰直角三角形， ，即， 点在线段上， ， ， 要使最大，则需最小， ， 当最小时，最大， 点在线段上运动， 当时，最小（垂线段最短）， 此时为斜边上的高， ， 的最小值为， 的最大值为． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算与化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 某车间管理层为了调动工人的工作积极性，实行目标管理．随机统计了10名工人日加工零件数的分布情况，如下表所示，根据表中信息回答下列问题： 日加工零件数/件 4 5 7 11 人数 4 3 1 2 （1）日加工零件数为哪个值的人数最多？日加工零件数的中位数是多少？平均日加工零件数是多少？ （2）管理层认为奖励只给能达到较高目标的部分人，才有利于调动工人的积极性，据此你认为在（1）中得出的三个零件数中选择哪一个作为日加工零件数更有利于调动工人的积极性？请说明理由； （3）如果想让一半左右的工人都能达到生产目标，你认为日加工零件数定为多少合适？请说明理由． 【答案】（1）日加工零件数为4件的人数最多，中位数数是5件，平均日加工零件数是6件 （2）选择平均日加工零件数6件更有利于调动积极性，理由见解析 （3）日加工零件数定为5件合适，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）根据题意利用平均数作决策即可； （3）根据题意利用中位数作决策即可． 【小问1详解】 解：比较各零件数对应的人数，， ∴日加工零件数为4件的人数最多； 将10名工人的日加工零件数从小到大排序，第5位和第6位的日加工零件数均为5件， ∴日加工零件数的中位数为件； 平均日加工零件数：  件； 【小问2详解】 要奖励只达到较高目标的部分工人，需要设置较高的标准，三个统计量中平均数6最大，只有少数加工能力较强的工人可以达到， ∴选择平均日加工零件数6件作为目标更有利于调动工人的积极性； 【小问3详解】 由（1）得中位数为5件， 日加工零件数大于等于5件的工人共有人，占总人数的一半左右， ∴将日加工零件数定为5件，可以让一半左右的工人达到生产目标， ∴定为5件合适． 15. 甲、乙两名快递员分别从同一个配送站出发，向不同的小区配送包裹．他们各自配送的包裹总数量（单位：件）与工作时间（单位：）之间的关系如图所示，已知甲快递员在时段内配送包裹总数量与工作时间之间的关系式为． （1）求出乙快递员在时段内，关于的函数解析式； （2）当乙快递员所配送的包裹总数量不超过甲快递员所配送的包裹总数量时，求的取值范围？ 【答案】（1），见详解 （2），见详解 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，准确识别函数图象与实际意义的对应关系是解题的关键． （1）结合函数图象，用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据条件列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设乙快递员在时段内，关于的函数解析式为, 它的图象经过，，把这两个点的坐标代入解析式，得 解得 所以乙快递员在时段内，关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：乙快递员所配送的包裹总数量不超过甲快递员所配送的包裹总数量时，根据题意，得 ， 解得． ， 的取值范围为． 16. 如图，四边形是平行四边形，是的外接圆，． （1）求证：是的切线； （2）分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点．作射线，分别交，于点，点．连接交于点． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）①，理由见解析；②5 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可得，再结合平行四边形的性质可得，即可求证； （2）①连接，由作法得：平分，再结合圆周角定理可得，即可解答；②设的半径为r，则，结合平行四边形的性质可得，从而得到，再由垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵为半径， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：①，理由如下： 如图，连接， 由作法得：平分， ∴， ∵， ∴； ②设的半径为r，则， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：，即的半径为5． 17. 初中几何中平移、旋转、轴对称是重要的全等变换，可以产生丰富的图形．在中，，，． （1）如图1，将沿进行折叠得到（与重合，与重合），连接交于点，求的长度； （2）在图1基础上，将沿射线平移到如图2所示位置，连接，，已知，求证：四边形是矩形； （3）在图1基础上，将绕点逆时针旋转度（），如图3，直线交直线于点．当点、、三点共线时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3）​或 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理求出，然后利用面积法求出即可求解； （2）由折叠得，，证明可证四边形是平行四边形，进而可证四边形是矩形； （3）分①当在线段上和②当在的延长线上两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， 由勾股定理得：． 折叠的性质：折叠后点与点关于对称， 因此垂直平分，即，． 利用面积法求：， ∴， 解得， 因此； 【小问2详解】 证明：由折叠得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形； 【小问3详解】 解：由旋转性质，，． 分两种情况：①当在线段上，连接，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，． 在中，由勾股定理：，即， 解得，． ∴； ②当在的延长线上，连接，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，，即， 解得， ∴． ∴． 综上，的面积为​或． 18. 某数学兴趣小组学习了二次函数之后，对园林绿化中喷水装置喷出的水珠运动轨迹展开探究，发现水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线． 有一个喷水装置，此装置由竖直安装在地面的一根水管和顶端可调节高度的喷水头组成．现以水管和水平地面的交点为原点，水平方向为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系，点为水珠的落地点，如图1． 在一次浇灌草坪的喷水作业中，测得此喷水装置喷出水珠的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 3 4 5 竖直高度 根据以上信息，解答下列问题． （1）求出此次作业中水珠运动形成的抛物线关于的函数表达式； （2）在线段上有一移动盆景高为米，该盆景到点的距离为米（），水珠能否碰到该盆景最高点？若能，求出的值；若不能，则喷水口的竖直高度至少向上调节多少米，水珠可以碰到该盆景的最高点？并求出此时的值；（在调节的过程中，抛物线的形状和对称轴保持不变） （3）在此次喷水作业中，该装置还浇灌了另一方向斜坡处草坪，如图2，其中水珠形成的抛物线及的高度与（1）中的一致，水珠的落地点为点，斜坡所在直线为，现准备在斜坡段安放一块垂直于水平面的警示牌，为了使水珠不碰到，则的高度应低于多少米？ 【答案】（1） （2）水珠不能碰到该盆景最高点，喷水头需要调高， （3）米 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出抛物线的顶点坐标为，即水珠离地面最高，可得水珠不能直接碰到盆景最高点．从而得到喷水头需要调高，可得调节后抛物线的解析式，即可求解； （3）求出在同一水平位置处，水珠高度与斜坡高度的差值关于x的函数关系式，即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线关于的函数表达式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 即水珠离地面最高， ∵， ∴水珠不能直接碰到盆景最高点． ∵， ∴喷水头需要调高， ∴调节后抛物线的解析式为：， 令，整理得：， 解得； 【小问3详解】 解：∵斜坡所在直线为， ∴在同一水平位置处，水珠高度与斜坡高度的差值为： 即在同一水平位置处，水珠高度与斜坡高度的差值最大为米， ∵为使水珠不碰到警示牌， ∴警示牌高度应低于最大高度差，即米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $