专题四 指数函数与对数函数06函数与方程 课时作业-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数与方程核心考点，通过选择、填空、解答题梯度设计，系统覆盖零点概念、存在性定理及含参问题，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析与基础应用|单选1-7、填空11-12|考查零点概念、二分法适用条件、零点所在区间判断|从函数零点定义出发，结合图像与性质推导存在性定理，形成“概念-判定-求解”逻辑链| |含参零点与综合应用|单选5、8、10，填空13-16，解答17-19|含参数零点个数、方程根分布、分段函数零点问题|整合函数单调性、极值与方程思想，构建“性质分析-分类讨论-数形结合”解题路径| |新定义与创新题型|单选9、解答20|结合不动点定理、极值点证明的跨情境问题|链接拓扑学背景与函数性质，培养数学抽象与逻辑推理能力|

高考一轮总复习课时作业 专题四 指数函数与对数函数06函数与方程 一、单选题 1．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的零点为（    ） A． B． C．和 D．或 3．（2026·天津东丽·二模）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的零点，则整数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 7．函数的零点个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知函数则有（   ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 9．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L·E·J·Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26高三上·北京延庆·月考）已知函数，则其零点为__________，__________. 12.写出函数的所有零点______. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）若函数只有一个零点，则实数的值为______． 14.已知函数的一个零点为3，则的单调减区间是______． 15．已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______ 16．（25-26高三下·北京·月考）已知函数，则函数的零点为______；若函数有3个零点，则实数的取值范围为________． 三、解答题 17.已知函数，其中． (1)直接写出的零点； (2)讨论关于x的方程的解的个数； (3)若方程有四个不同的根，，，，直接写出这四个根的和． 18已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在处取得极值，且关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 19．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恰有3个零点，求的取值范围. 20．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数． (1)当时，判断的单调性； (2)若有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习课时作业 专题四 指数函数与对数函数06函数与方程 一、单选题 1．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用二分法求近似解的条件 【分析】根据零点的两侧函数值异号能用二分法判断. 【详解】A. 函数无零点，故错误； B.函数有零点1，当时， ，当 时， ，x=1的两侧同号，不能用二分法，故错误； C. 由图象知：两个零点的两侧函数值异号，能用二分法，故正确； D.由图象知：两个零点-1，2的两侧的函数值同号，不能用二分法，故错误； 故选：C 2．函数的零点为（    ） A． B． C．和 D．或 【答案】C 【知识点】求函数的零点 【详解】直接解方程即得函数的零点. 【分析】令，即，解得，所以函数的零点为和. 故选：C. 3．（2026·天津东丽·二模）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断零点所在的区间 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，，则， 根据零点存在性定理，函数的零点所在区间为. 4．已知函数的零点，则整数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、判断零点所在的区间、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】由函数单调性和即可由函数零点存在性定理求解. 【详解】和均为单调递增函数， 所以在上也为单调增函数， 因为， 所以函数的零点在区间上， 又函数的零点在区间上， 所以. 故选：C. 5．已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】易得函数在上单调递增，由求解. 【详解】因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点， 得即解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 6．已知函数的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较零点的大小关系、利用导数研究函数的零点 【分析】先通过导数判断函数单调性，再代入特殊点（如 ）判断函数值符号，结合单调性确定零点所在区间，最后比较区间得出大小关系即可. 【详解】已知的零点为 ， 则 ，因为对于任意实数 ， 都有 ，所以 ， 所以函数 在定义域 上是单调递增的， 则，又因为 单调递增，且 ， 所以其零点 必定在 的左侧，即 . 已知的零点为 ， 因为函数 的定义域为 ，且 ， 因为 ，所以 ，则 ， 所以函数 在定义域上是单调递增的， 则， 又因为单调递增，且，所以其零点必定在的左侧， 又因为定义域要求 ，所以 . 已知的零点为， 则，因为对于任意实数， 都有，所以，即， 所以函数 在定义域 上是单调递增的， 则，因为 单调递增且 ， 所以 是函数 的唯一零点，故 . 由以上知，，，故 . 7．函数的零点个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】根据函数的解析式，结合分段条件，分别令，即可求解. 【详解】由题意，函数， 当时，令，解得或（舍去）； 当时，令，即，解得， 所以函数有2个零点. 故选：B. 8．已知函数则有（   ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 【答案】D 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围、求指数函数在区间内的值域、研究对数函数的单调性、求分段函数值 【分析】根据函数的解析式计算得出的值，可判断A选项；求出函数的值域，可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，，故，A错； 对于B选项，当时，；当时，. 因此，函数的值域为，B错； 对于C选项，因为，，则， 故函数在不是增函数，C错； 对于D选项，如下图所示： 当时，直线与函数的图象有两个交点， 此时关于的方程有两个不相等的实数根， 故实数的取值范围是，D对. 故选：D. 9．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L·E·J·Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数新定义、求函数零点或方程根的个数 【分析】由题，若方程在函数定义域内有解，则函数为“不动点”函数，据此可判断选项正误. 【详解】A选项，，方程无解，则不是“不动点”函数，A错误； B选项，，方程判别式，方程无解， 则不是“不动点”函数，B错误； C选项，，方程无解，则不是“不动点”函数，C错误； D选项，，方程有两解，则是“不动点”函数，D正确. 故选：D 10．已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数函数图象的应用、指数式与对数式的互化、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】根据函数解析式画出函数大致图象，数形结合有且，结合解析式有、、，最后由指数函数、对勾函数性质求目标式的范围. 【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下， 由图知，且， 由，得，即，故， 由，则，由，则， 所以，且在上单调递增， 所以. 故选：A 二、填空题 11．（25-26高三上·北京延庆·月考）已知函数，则其零点为__________，__________. 【答案】 【知识点】简单复合函数的导数、求函数的零点 【分析】根据对数函数的运算和对数函数的导数进行求解即可. 【详解】令，则，解得. 对函数求导得. 故答案为：①②. 12.写出函数的所有零点______. 【答案】2 【知识点】对数的运算、求函数的零点 【分析】利用对数函数与二次函数的性质一一计算零点即可. 【详解】对于方程，可得其根为，均不满足，故舍去； 又函数单调递增，且，满足题意. 零点为2. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）若函数只有一个零点，则实数的值为______． 【答案】0或1 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的值. 【详解】当时，，有唯一零点； 当时，由题意可得，解得． 综上，实数a的取值为或． 故答案为：0或1. 14.已知函数的一个零点为3，则的单调减区间是______． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据零点求函数解析式中的参数 【分析】根据函数零点求出m的值，求函数的导数，根据导数正负即可求解. 【详解】已知函数的一个零点为3， 所以将代入函数得，即，解得． 所以，所以， 令，即，解得， 所以的单调减区间是. 故答案为：. 15．已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______ 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【详解】由，得或， 由函数有三个不同的零点，得方程有两个不等的非零根， 则，解得且， 所以实数a的取值范围是. 16．（25-26高三下·北京·月考）已知函数，则函数的零点为______；若函数有3个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 或 或 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数与方程的综合应用、求函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围 【详解】当时，由得，解得或， 当时，由得，解得（舍）， 作出的图象如图，由得或， 即或， 当，即时，无实根，此时，最多两个实根，与题意不符； 当，即时，有一个实根，有两个实根，符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，至少有两个实根，不符合题意； 当，即时，有三个实根，至少有一个实根，不符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，有4个实根，不符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，有一个实根，符合题意； 当，即时，有两个零点，有一个零点，符合题意； 当，即时，有一个零点, 有一个零点，不符合题意； 综上所述，有3个零点时，或. 三、解答题 17.已知函数，其中． (1)直接写出的零点； (2)讨论关于x的方程的解的个数； (3)若方程有四个不同的根，，，，直接写出这四个根的和． 【答案】(1)－1和3； (2)答案见解析 (3)． 【知识点】函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数、求函数的零点、求零点的和 【分析】（1）利用函数零点的定义直接解方程求解即可； （2）将问题转化为与直线的交点个数，画出的图象，结合图象求解即可； （3）由图象可知，函数的图象关于直线对称，从而可求得结果. 【详解】（1）解方程，即， 解得或， 所以，函数的零点为－1和3； （2）则函数的图象如下图所示： 方程的解的个数等于函数和图象的交点个数，如下图所示： 当时，方程无实根； 当或时，方程有2个实根； 当时，方程有4个实根； 当时，方程有3个实根． （3）由图象可知，函数的图象关于直线对称， 因此． 18已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在处取得极值，且关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据极值点求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）首先求函数的导数，讨论，求解函数的单调区间； （2）首先根据极值点求，再利用导数分析函数在区间上的单调性，再转化为与的交点个数，求的取值范围. 【详解】（1）， 当，即时，恒成立，此时在单调递增， 当，即时，，得或， ，解得或， ，解得， 所以函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是， 综上可知，当时，函数在单调递增， 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， （2）由条件可知，得， 当时，，得或 当或时，，当时，， 当的单调性如下表， 3 单调递减 单调递增 若方程在区间上有两个不同的实数根， 则与在区间有2个交点，所以. 19．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1)（或） (2) 【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可. （2）将变形为关于的一元二次方程，令，将函数零点问题转化为二次方程根的分布问题，结合导数与单调性及最值的关系求解即可， 【详解】（1），定义域为. 则，所以， 又， 则曲线在点处的切线方程为， 即. （2）令，得， 即. 设函数，则， 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则. 当时，，当时，，且当时，，当时，， 作出的大致图象，如图所示. 令，则. 显然不是方程的根， 所以函数有两个零点，因为， 所以且， 所以且， 得，即的取值范围为. 20．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数． (1)当时，判断的单调性； (2)若有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间即可. （2）（i）利用极值点的意义，分离参数并构造函数，求出直线与函数图象有两个交点的范围即可；（ii）由零点意义可得，再利用分析法及不等式性质，换元并构造函数，利用导数推理得证. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 由，得；由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （2）（i）函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得有两个不等的正实根， 令函数，因此直线与函数的图象有两个不同的交点， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 而，当时，，当时，， 当且仅当时，直线与函数的图象有两个不同的交点， 所以实数的取值范围是. （ii）由（i）不妨令，由，得， 两式相减得，即， 要证，即证，即证， 即证，令，则即证， 令函数，求导得， 函数在上单调递增，因此，即， 所以. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $