专题四 指数函数与对数函数06函数与方程 导学案-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习学案聚焦函数与方程专题，系统梳理函数零点（定义、与方程根关系、零点存在定理）及二分法（定义、步骤）核心考点，按基础概念、定理应用、方法步骤的逻辑层次构建知识网络，通过填空式知识梳理和问题链设计，引导学生自主完善概念体系，形成对函数零点问题的整体认知。 亮点在于分类型应用与进阶式训练设计，涵盖求零点、判断区间、个数、参数范围等九类考法，每类配例题及变式训练（如类型一求零点的4道变式），培养学生数学思维与解决问题能力。知识梳理填空任务助学生用数学语言表达概念，教师可通过学生变式题完成情况精准定位薄弱点，支持个性化复习与因材施教。

高考一轮总复习导学案 专题四 指数函数与对数函数06函数与方程 1、 考情分析 本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定义，难度不定，分值为5-6分 2、 知识梳理 知识点一 函数的零点 1.函数的零点 使得的数称为方程的解，也称为函数的零点．的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标． 2.函数零点与方程根的关系 方程有实数根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点 ． 函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系. 3.函数零点存在定理： 若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；f(a)·f(b)<0.则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 知识点二 二分法 1.二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2.给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 3、 类型应用 类型一 求函数零点 例1：求下列函数的零点： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求函数的零点 【分析】根据零点的定义在函数表达式中令解方程即可. 【详解】（1）在函数中令，得， 解得， 所以函数的零点为. （2）在函数中令，得， 解得或， 所以函数的零点为. （3）在函数中令，得， 注意到当时，，且函数在上单调递增， 所以函数的唯一零点为. （4）在函数中令，得， 注意到当时，，且函数在上单调递减， 所以函数的唯一零点为. 变式训练1-1：（2026·上海徐汇·二模）函数的零点是__________. 【答案】0 【知识点】求函数的零点 【详解】令，即，解得， 所以函数的零点是0. 变式训练1-2：（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）函数的一个零点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求函数的零点、正切型三角函数图象的应用 【详解】令（）， 则（）， 符合该式的有. 变式训练1-3：（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数则的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【知识点】分段函数的性质及应用、求零点的和 【分析】分和直接解方程即可. 【详解】当时，令，得； 当时，令，得. 所以的零点之和为. 故选：A 变式训练1-4：函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【知识点】求函数的零点、求零点的和 【分析】根据给定条件，求出函数的零点即可. 【详解】当时，，解得；当时，，解得， 所以函数的零点和为7. 故选：B 类型二 判断零点所在区间 例2：（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断零点所在的区间、比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 变式训练2-1：（25-26高三上·天津·月考）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】根据零点存在定理计算判断即可. 【详解】函数是由指数函数和幂函数相减而成. 单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减. ， 因为为减函数，所以，即， ， 因为在上为增函数，所以，即， 所以，所以该区间存在零点，C正确； 结合在上单调递减. 在、、无零点，故ABD错误. 故选：C. 变式训练2-2：（25-26高三上·天津和平·期末）函数的零点所在的一个区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】研究对数函数的单调性、判断零点所在的区间、对数的运算 【分析】应用零点存在定理及对数函数值计算求解. 【详解】因为，所以，，， 又因为单调递增， 所以函数的零点所在的一个区间为. 故选：C. 变式训练2-3：（2026·山东泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断零点所在的区间、零点存在性定理的应用 【分析】计算函数在各区间端点的函数值，利用零点存在定理，判断函数值异号的区间，从而确定零点所在的大致区间. 【详解】 因为，且函数是连续函数，所以零点在区间内. 故选：C 变式训练2-4：（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】根据函数的性质判断函数在内单调递增，最多有一个零点，判断的正负，证明区间上存在零点，由此判断结论. 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 所以在单调递增，即最多有一个零点. ，， ， 因为函数在单调递增，所以， 因为函数在区间上连续且单调递增，，， 故函数在区间上存在唯一零点， 又，， 所以区间，内存在的零点，在区间和上都没有零点， 故选：BC. 变式训练2-5：设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是（    ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 【答案】B 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【解析】函数y＝x3与y＝的图象的交点的横坐标即为的零点，将问题转化为确定函数的零点所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案． 【详解】设，则是增函数，又 . 所以， 所以x0所在的区间是(1，2) 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的交点，考查函数的零点，解题的关键是构建函数，正确运用函数零点存在定理，属于中档题. 类型三 判断零点个数 例3：（25-26高三上·四川广元·阶段检测）方程的实根个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】对数函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数、函数与方程的综合应用 【分析】方程的实根个数等价于两个函数的图象的交点个数，分别画出函数图象即可判断. 【详解】， 令，方程的实根个数等价于两个函数的图象的交点个数. 画出函数图象， 如图可知两个函数的图象的交点个数为1个， 即方程的实根个数为1个. 故选：B. 变式训练3-1：（25-26高一上·云南昭通·期中）函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】直接解方程即可得答案. 【详解】令，可得。解得，所以函数只有一个零点， 故选：B． 变式训练3-2：（2026高三·全国·专题练习）已知函数则函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、分段函数的性质及应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】令并结合各段解析式所在的定义域即可求解. 【详解】当时，解得或（舍），此时有1个零点， 当时，解得，此时有1个零点，所以共有2个零点. 变式训练3-3：（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】求函数零点或方程根的个数、分段函数的性质及应用 【分析】根据分段函数的组成，分别求解方程计算即得. 【详解】因， 当时，即，解得或，均符合题意； 当时，即，解得，符合题意. 故方程根的个数为3. 类型四 比较零点的大小 例4：（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则正实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较零点的大小关系 【分析】将问题转化为函数图象的交点，画出图象数形结合即可. 【详解】分别作出函数，，，的图象如图所示， 其中是和图象交点的横坐标， 是和图象交点的横坐标， 是和图象交点的横坐标，由图可得．    故选：B 变式训练4-1：（2026高三·全国·专题练习）已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较零点的大小关系、比较对数式的大小、求函数的零点、比较指数幂的大小 【分析】根据函数零点的定义，结合函数单调性和零点存在定理分别判断的范围. 【详解】是上的增函数，，， 因此零点，即. 令，得零点. 是上的增函数，，，因此零点，即， 综上可得大小关系：. 变式训练4-2：（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较零点的大小关系、对数函数图象的应用、幂函数图象的判断及应用、指数函数图像应用 【分析】将问题化为、、与的交点横坐标，画出大致函数图象，数形结合比较大小即可. 【详解】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为，    它们的大致图象如上图示，易知，其中. 故选：A 变式训练4-3：（2025高三·全国·专题练习）已知方程的实根为的实根为的实根为，则的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较零点的大小关系 【分析】在同一直角坐标系中作出函数的图象，将方程实根转化为 “函数图象交点的横坐标”，即可得到答案. 【详解】由已知，即， 在同一坐标系中作出函数的图象，如下：    观察图象，易得. 故选：A． 变式训练4-4：（24-25高三上·天津和平·期末）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数与方程的综合应用、求函数的零点 【分析】利用构造不同函数与反比例函数的交点横坐标就是零点，再通过数形结合来加以判断即可. 【详解】 又由，得，即函数与的交点横坐标就是， 根据递增且过点，在递减，由图可得：， 又由，得，即函数与的交点横坐标就是， 根据递增且过点，在递减且过点，由图可得：， 由于，根据幂函数，解得，即，（也可以数形结合判断） 综上可知：， 故选：A. 类型五 由零点所在区间求参数范围 例5：（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】由题知在区间上单调递增，再根据零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数与在区间上均为单调递增函数， 所以函数在区间上单调递增， 因为函数在区间上存在零点， 所以，解得. 所以常数的取值范围为 故选：C 变式训练5-1：（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理列式计算即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以，即， 解得． 故选：D. 变式训练5-2：（2023·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】零点存在性定理的应用、根据零点所在的区间求参数范围、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得. 【详解】若函数在区间上存在零点， 由函数在的图象连续不断，且为增函数， 则根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 变式训练5-3：（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 类型六 求零点范围 例6：设函数，关于x的方程有三个不等实根，则的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】画出具体函数图象、求零点的和、函数图象的应用 【分析】画出函数图象，数形结合得到，，求出答案. 【详解】画出函数图象，结合图形可知，仅当时，方程有三个不等实根， 分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上， 不妨设， 显然关于对称，故， 另一个交点位于一次函数图象上，令−2x+6=−1，解得x=72， 显然它在和以及的交点和之间， 故， 所以， 故答案为： ． 变式训练6：（2026·天津红桥·二模）设函数，若有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为______． 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、函数单调性、极值与最值的综合应用、分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】先将函数有四个不同的零点，转化为函数和有四个不同的交点，利用数形结合得到的范围，再根据为方程 的两根，为方程的两根，利用韦达定理建立的函数，再利用函数的单调性求解． 【详解】当时，，， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 又因为函数有四个不同的零点， 所以函数和有四个不同的交点， 如图所示： 由图知，， 设为方程 的两根，即的两根， 所以， 设为方程的两根，即的两根， 所以， 所以， 令，， 所以在上单调递增， 因为 ， ， 所以的值域为， 即的取值范围为． 类型七 由零点个数求参数范围 例7：（24-25高三上·北京朝阳·期末）若函数,恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】分析该分段函数在各段上的零点情况，将问题转化为直线与在上有一个交点的问题，结合函数的图象即得参数的范围. 【详解】当时，由可得， 依题意， 时， 有1个零点， 即方程在上有一个实根， 也即直线与在上有一个交点. 如图作出函数的图象. 因在上单调递增，由图可知，此时. 综上，实数的取值范围是. 故选：D. 变式训练7-1：（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若方程只有一个实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用 【分析】根据题意，确定分段函数每一段的单调性，再结合图像求解即可． 【详解】解：在上单调递减， 在单调递增， 则的图像如下： 方程只有一个实数解，则的取值范围为． 变式训练7-2：（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 【答案】 【知识点】利用导数研究函数图象及性质、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 变式训练7-3：（2026·北京顺义·一模）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据给定条件，按分段，结合一元二次方程实根分布列式求解. 【详解】方程， 当时，方程为，则，即，当时，方程有且只有一个实根； 当时，方程为，显然是此方程的一个实根， 当时，方程化为，要使方程有4个不同的实数解， 当且仅当方程有两个不同的正根，则，解得， 所以的取值范围是. 例8：（25-26高二下·北京·期中）函数，其中． 若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究函数的零点 【分析】先移项把两个零点问题转化为两个函数有两个交点即可求解. 【详解】在上有两个零点，即方程在上有两个不同实根， 变形得. 令，求导得. 当时，，单调递减；时，，单调递增. 则，，，且. 即与在有两个交点，需满足， 综上，. 变式训练8-1：（2026·陕西商洛·二模）已知函数. 若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】令，分离参数，构造函数，将问题转化为与函数有两个交点；利用导数分析函数的单调性及取值情况，可得的取值范围，从而得到实数的取值范围. 【详解】由有两个零点得，方程在上有两个根， 所以，所以在上有两个根. 设，，则， 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 且的极大值为， 又，当时，，且时，. 所以要使方程在上有两个根， 则直线与的图象有两个交点， 所以，故实数的取值范围为. 变式训练8-2：（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，． 讨论的零点个数； 【答案】当时，无零点，当或时，有1个零点，当时，有2个零点. 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据极值点求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】根据将其转化为，令，通过导函数研究图象性质，即可根据与图象的交点个数确定的零点个数； 【详解】令，得，即， 令，则的零点个数等价于直线与函数的图象的交点个数， ，令，得， 当时，，则，所以在上单调递增； 当时，，则，所以在上单调递减， 所以， 又当时，，当时，； 所以的大致图象如下所示： 数形结合得，当时，直线与的图象无交点，故无零点； 当或时，直线与的图象有1个公共点，故有1个零点； 当时，直线与的图象有2个交点，故有2个零点. 变式训练8-3：（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）已知函数． 若有3个零点．求的取值范围； 【答案】；【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据题意将问题转化为有个不同的实数根，构造函数，利用导数求出其单调区间和极值即可得答案； 【详解】令，可得， 因为有三个零点，所以，因此可得有个不同的实数根， 设，求导可得， 令，即，可得， 当时，，单调递增，的值域为， 当时，，单调递减，的值域为， 所以当且仅当时，有3个不同的实数根， 的取值范围是． 类型八 二分法的应用 例9：（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【知识点】用二分法求近似解的条件 【分析】结合结论二分法只能求变号零点，结合图象确定正确选项. 【详解】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点， 观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点， 所以选项A中函数不能用二分法求零点． 故选：A. 变式训练9-1：（19-20高一·全国·课后作业）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是______.（填写上所有符合条件的图号） 【答案】①③ 【知识点】用二分法求近似解的条件 【解析】根据二分法所求零点的特点，结合图象可确定结果. 【详解】用二分法只能求“变号零点”，①③中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求 故答案为：①③ 【点睛】本题考查二分法的应用问题，关键是明确二分法只能用来求“变号零点”，属于基础题. 变式训练9-2：（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】用二分法求近似解的条件、求函数的零点 【详解】对于A，由知此函数的判别式，故函数无零点；对于D．由知此函数的判别式，故无法用二分法求零点近似值；对于B，C，函数存在变号零点，能用二分法求解． 例10：（25-26高一上·山东菏泽·月考）已知函数，利用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二分法求函数零点的过程、判断零点所在的区间 【分析】根据给定条件，利用二分法求函数在区间内零点的方法逐一判断即可. 【详解】函数，， ，函数的零点在内； ，函数的零点在内； ，函数的零点在内. 故选：A 变式训练10-1：小丁同学用二分法求方程在内近似解的过程中，由计算可得，则小丁同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】根据二分法的计算方法即可判断. 【详解】因为，则方程的解应该落在区间内， 根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即. 故选：D. 变式训练10-2：已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】零点存在性定理的应用、用二分法求近似解的条件、二分法求函数零点的过程 【分析】根据条件，计算出，再由零点存在定理和二分法求近似值的方法，即可求解. 【详解】因为，则，， 又，， 由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以是， 故选：C. 变式训练10-3：已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二分法求函数零点的过程、零点存在性定理的应用 【分析】根据零点存在定理，结合二分法，不断把区间一分为二计算判断. 【详解】由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 所以经过2次二分法后确定的零点所在区间为． 故选：B 类型九 数学情境 1.（25-26高三·全国·一轮复习）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数．存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】函数新定义、函数与方程的综合应用 【分析】根据不动点定义，逐项解方程判断. 【详解】 对于选项A：令，则或，即选项A满足题意； 对于选项B：令，则，此方程无解，即选项B不满足题意； 对于选项C：令，则，即选项C满足题意； 对于选项D：令，显然满足此方程，即选项D满足题意. 故选：ACD. 2.（2026·天津北辰·二模）在科学研究中，许多系统的平衡状态可以通过方程来描述，其中x表示某个关键变量（如时间、浓度、位移等）.现有三个不同系统中的平衡点分别由以下函数的零点给出：某放射性物质同时发生衰变和生成，净变化率满足，当净变化率为零时，对应平衡时间为；某鱼群在有限资源下的增长速率满足，当增长率为零时，对应平衡种群数量为；一个弹簧振子在某时刻的机械能表达式为，当机械能为零时，对应平衡位置.则这三个平衡点的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】通过构造函数确定相应零点的取值范围，进而可求解. 【详解】对于，满足，函数是R上的增函数， 又，， 因此 ，即， 对于，满足 ，因为，，故， 对于，满足 ，函数 是上的增函数， 又 ， ， 因此 ，即， 综上，大小关系为. 3.（25-26高一上·上海·月考）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和、、、，则是的更为精确的近似值．纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为__． 【答案】 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】由“调日法”的计算方法即可求得答案. 【详解】由“调日法”的计算方法可知： 第一次用“调日法”后可得更为精确的近似值为，即得， 则第二次用“调日法”后可得更为精确的近似值为， 故答案为： 4.（2026高三·全国·专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数新定义、由导数求函数的最值（不含参）、函数与方程的综合应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据新定义得到，，，得到三个具体的等式，构造函数，通过研究函数的单调性可比较大小. 【详解】由已知可得，，即，所以，即. 由得. 由得. 令，，则恒成立， 所以在上单调递增，所以，所以. 所以，即. 令，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减，且， 根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以在上单调递减. 又，，所以. 因为在上单调递减，，所以. 又，所以，即. 令，，则恒成立， 所以在上单调递减. 又，， 所以. 综上可得，. 故选：C. 4、 素养提升 1．（2026·广西桂林·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．在上单调递增 B．的极小值为 C．的图象关于原点对称 D．有两个零点 【答案】AC 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、函数奇偶性的定义与判断、求函数的零点 【分析】先求导，利用导数研究单调性进而判断AB，判断的奇偶性即可判断C，求的零点即可判断D. 【详解】函数的定义域为， 所以， 对于A，由，得或，函数在上单调递增，故A正确； 对于B，由，得，函数在上单调递减， 在上单调递增，所以函数在取得极小值，故B错误； 对于C，，函数是奇函数，其图象关于原点对称，故C正确； 对于D，由，解得，函数有3个零点，故D错误． 2．已知函数则的所有零点之和为（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】D 【知识点】求零点的和、求函数的零点 【分析】先求解方程的根，再求和即可求解. 【详解】当时，由，得 当时，由，得或， 所以四个零点和为， 故选：D 3．（24-25高三上·安徽亳州·期末）已知函数，若关于的方程有唯一解，则______. 【答案】1 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数与方程的综合应用、根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据判别式，结合零点为0即可求解. 【详解】由于关于的方程有唯一解， 且有唯一的实数根，故， 故又零点为，故， 因此， 故， 故答案为：1 4.设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出. 【详解】最多有2个根，所以至少有4个根， 由可得， 由可得， （1）时，当时，有4个零点，即； 当，有5个零点，即； 当，有6个零点，即； （2）当时，， ， 当时，，无零点； 当时，，有1个零点； 当时，令，则，此时有2个零点； 所以若时，有1个零点. 综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足 或或， 则可解得a的取值范围是. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况. 5．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、分段函数的性质及应用、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】先分析函数，作出函数大致图象，分析函数，把零点问题转化为关于的方程有2个不同的根和，且关于的方程分别有4个不同的根，进而结合判别式和韦达定理构造方程组，并分情况讨论求出实数的取值范围． 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， ； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增； 作出的大致图象如下， 设，则关于的方程有2个不同的根和， 且关于的方程分别有4个不同的根． 不妨设，则关于的方程需满足：， ①若，则，故， 且，即， 解得； ②若，则，此时，符合题意，故． 6．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知函数，若关于的方程的实数根不少于个，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】由可得或，则直线、与函数图象交点个数至少为，对实数的取值进行分类讨论，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】由可得， 所以或， 由题意可知，直线、与函数图象交点个数至少为， 由图可知， ①当时，则直线与函数图象有个交点， 则直线与函数图象至少有个交点，则，解得， 此时； ②当时，直线与函数的图象有个交点， 直线与函数的图象有个交点， 则关于的方程的实数根的个数为，符合题意； ③当时，直线与函数的图象有个交点， 直线与函数的图象至少有个交点， 则关于的方程的实数根的个数至少为，符合题意； ④当时，直线与函数的图象至多有个交点， 直线与函数的图象只有个交点， 则关于的方程的实数根的个数至多为，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 7．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围． 【详解】（1）当时，， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时，， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出． 8．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得. 【详解】令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题，从而可将其分成两个函数研究. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习导学案 专题四 指数函数与对数函数06函数与方程 1、 考情分析 本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定义，难度不定，分值为5-6分 2、 知识梳理 知识点一 函数的零点 1.函数的零点 使得________的数称为方程的解，也称为函数的________．的零点就是函数的图象与轴交点的________． 2.函数零点与方程根的关系 方程有实数根⇔函数的图象与________有交点⇔函数有________． 3.函数零点存在定理： 若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线； .则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 知识点二 二分法 1.二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 ． 2.给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复 （2）~（4） 3、 类型应用 类型一 求函数零点 例1：求下列函数的零点： (1)； (2)； (3)； (4). 变式训练1-1：（2026·上海徐汇·二模）函数的零点是__________. 变式训练1-2：（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）函数的一个零点为（   ） A． B． C． D． 变式训练1-3：（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数则的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 变式训练1-4：函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 类型二 判断零点所在区间 例2：（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 变式训练2-1：（25-26高三上·天津·月考）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 变式训练2-2：（25-26高三上·天津和平·期末）函数的零点所在的一个区间为（    ） A． B． C． D． 变式训练2-3：（2026·山东泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 变式训练2-4：（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 变式训练2-5：设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是（    ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 类型三 判断零点个数 例3：（25-26高三上·四川广元·阶段检测）方程的实根个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式训练3-1：（25-26高一上·云南昭通·期中）函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 变式训练3-2：（2026高三·全国·专题练习）已知函数则函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式训练3-3：（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 类型四 比较零点的大小 例4：（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则正实数（    ） A． B． C． D． 变式训练4-1：（2026高三·全国·专题练习）已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 变式训练4-2：（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 变式训练4-3：（2025高三·全国·专题练习）已知方程的实根为的实根为的实根为，则的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 变式训练4-4：（24-25高三上·天津和平·期末）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 类型五 由零点所在区间求参数范围 例5：（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式训练5-1：（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式训练5-2：（2023·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练5-3：（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 类型六 求零点范围 例6：设函数，关于x的方程有三个不等实根，则的取值范围是__________． 变式训练6：（2026·天津红桥·二模）设函数，若有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为______． 类型七 由零点个数求参数范围 例7：（24-25高三上·北京朝阳·期末）若函数,恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练7-1：（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若方程只有一个实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式训练7-2：（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 变式训练7-3：（2026·北京顺义·一模）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例8：（25-26高二下·北京·期中）函数，其中． 若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 变式训练8-1：（2026·陕西商洛·二模）已知函数. 若有两个零点，求实数的取值范围. 变式训练8-2：（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，． 讨论的零点个数； 变式训练8-3：（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）已知函数． 若有3个零点．求的取值范围； 类型八 二分法的应用 例9：（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   变式训练9-1：（19-20高一·全国·课后作业）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是______.（填写上所有符合条件的图号） 变式训练9-2：（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 例10：（25-26高一上·山东菏泽·月考）已知函数，利用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 变式训练10-1：小丁同学用二分法求方程在内近似解的过程中，由计算可得，则小丁同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 变式训练10-2：已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 变式训练10-3：已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 类型九 数学情境 1.（25-26高三·全国·一轮复习）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数．存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的有（   ） A． B． C． D． 2.（2026·天津北辰·二模）在科学研究中，许多系统的平衡状态可以通过方程来描述，其中x表示某个关键变量（如时间、浓度、位移等）.现有三个不同系统中的平衡点分别由以下函数的零点给出：某放射性物质同时发生衰变和生成，净变化率满足，当净变化率为零时，对应平衡时间为；某鱼群在有限资源下的增长速率满足，当增长率为零时，对应平衡种群数量为；一个弹簧振子在某时刻的机械能表达式为，当机械能为零时，对应平衡位置.则这三个平衡点的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·上海·月考）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和、、、，则是的更为精确的近似值．纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为__． 4.（2026高三·全国·专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（    ） A． B． C． D． 4、 素养提升 1．（2026·广西桂林·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．在上单调递增 B．的极小值为 C．的图象关于原点对称 D．有两个零点 2．已知函数则的所有零点之和为（    ） A． B． C．2 D．0 3．（24-25高三上·安徽亳州·期末）已知函数，若关于的方程有唯一解，则______. 4.设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知函数，若关于的方程的实数根不少于个，则实数的取值范围是__________. 7．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________． 8．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $