精品解析：吉林长春市第十七中学2025-2026学年高二下学期第二学程考试数学试题

长春市第十七中学 2025—2026学年度下学期第二学程考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 出题人：刘妍妍 校对人：张莉静 一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的定义可得； 【详解】. 故选：C. 2. 已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的标准方程即可得到结果. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或， 故的取值范围为． 故选：B. 【点睛】对于方程，我们并不能确定它所表示的曲线是否为双曲线，需要对参数m，n进行讨论．只有时，方程才表示双曲线，且当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上． 3. 若函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题知函数是R上的增函数，故对任意恒成立， ，根据二次函数性质可知， ，解得，因此的取值范围是. 4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 5. 函数在上的最大值是（    ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求解. 【详解】， 时，，递增，时，，递减， 所以是的极大值也是最大值. 6. 记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A. B. C. D. 数列为单调递增数列 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件求和，再根据等比数列的公式，判断选项. 【详解】由条件可知，，且， 所以， 所以，得，整理为， 解得：或（舍）， 当时，，故A正确；，故B错误； ，故C错误； 当时，数列为单调递减数列，故D错误. 7. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在处取得极大值 D. 在处取得极小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数与原函数的关系判断AD，根据导函数的图象判断BC. 【详解】由题意，时，，单调递减，AD均错； 由的图象知在上单调递增，在上单调递减，是其极大值点，C正确，D错误. 8. 已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用函数导数与函数单调性解不等式即可. 【详解】令 ， 则， 因为 ，所以， 所以在上单调递减， 又因为时， 所以不等式等价于， 即， 所以，解得， 所以不等式的解集为：. 二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，答对部分给部分分，答错不给分） 9. 下列求导正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】，所以A错误； ，所以B正确； ，所以C错误； ，所以D正确. 10. 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A. B. 离心率 C. 的面积为3 D. 的周长为12 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程求出，再由题意及椭圆定义列出方程求解可判断A，根据离心率定义判断B，根据A可知三角形为直角三角形，求面积及周长可判断CD . 【详解】由，得，则， 因为是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，故A正确； 离心率为，故B正确； 因为，所以，所以为直角三角形，，所以，故C错误； 的周长为，故D正确. 11. 已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A. B. C. 当时，取得最大值 D. 取得最小正值时为33 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，根据等差数列性质可判断BC，根据二次函数性质可判断D. 【详解】对于A，设等差数列首项为，公差为，则， 因为存在最大值，所以数列的公差，数列单调递减， 要使​存在最大值，则数列先正后负，首项，故A正确； 对于B，由等差数列性质可知，，故B错误； 对于C，因为，所以，，所以时，取得最大值，故C正确； 对于D，由可得，， 由，可得，所以取得最小正值时为31，故D错误. 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在正项等比数列中，是方程的两个根，则的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理及等比数列的性质求解即可. 【详解】由是方程的两个根，得，. 由等比数列的性质可得，， 又为正项数列，所以. 故. 13. 在曲线上的点处的切线方程为__________________ 【答案】 【解析】 【详解】，所以，即切线斜率为2， 所以曲线上的点处的切线方程为，整理得. 14. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的定义和数形结合，求点的坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】如图，和分别垂直于准线，， 所以， 所以当点是与抛物线的交点时，最小， 当时，代入抛物线方程，得，即此时， 点到直线的距离为. 四．解答题（本题共5小题，共77分） 15. 等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 【答案】（1）或 . （2）. 【解析】 【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m． 详解：（1）设的公比为，由题设得． 由已知得，解得（舍去），或． 故或． （2）若，则．由得，此方程没有正整数解． 若，则．由得，解得． 综上，． 点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题． 16. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意可设：，再代点即可得到双曲线的方程； （2）设，联立可得，再通过计算即可证明垂直. 【小问1详解】 因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 证明：设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以. 17. 给定函数， （1）判断函数的单调性，并求出的极值. （2）若方程有且只有2个不相等的实根，求参数a的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；极小值为，无极大值； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，并确定导数为正为负的取值区间，求出函数单调性，进而求出极值. （2）由（1）中信息，确定函数最小值，利用直线与函数图象有两个交点求解. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， ，当时，，且当时，，， 当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点，方程有2个不相等的实根， 所以参数a的取值范围是. 18. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【小问1详解】 ∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； 【小问2详解】 ∴ 19. 已知函数 （1）求的单调区间； （2）证明：当时，恒成立． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 ； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再解不等式即可. （2）在给定条件，等价转化不等式，再构造函数，利用导数推理证明即可. 【小问1详解】 函数定义域为，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 因函数在上递增，则函数在上递增， 故，函数在上递增， 则，函数在上单调递增， 则， 所以当时，恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第十七中学 2025—2026学年度下学期第二学程考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 出题人：刘妍妍 校对人：张莉静 一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. -3 2. 已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 若函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 函数在上的最大值是（    ） A. 0 B. C. D. 6. 记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A. B. C. D. 数列为单调递增数列 7. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在处取得极大值 D. 在处取得极小值 8. 已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，答对部分给部分分，答错不给分） 9. 下列求导正确的是（   ） A. B. C. D. 10. 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A. B. 离心率 C. 的面积为3 D. 的周长为12 11. 已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A. B. C. 当时，取得最大值 D. 取得最小正值时为33 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在正项等比数列中，是方程的两个根，则的值为___________ 13. 在曲线上的点处的切线方程为__________________ 14. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 四．解答题（本题共5小题，共77分） 15. 等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 16. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 17. 给定函数， （1）判断函数的单调性，并求出的极值. （2）若方程有且只有2个不相等的实根，求参数a的取值范围. 18. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 19. 已知函数 （1）求的单调区间； （2）证明：当时，恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $