精品解析：黑龙江佳木斯市第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

佳一中2025-2026学年度第二学期高二学年期中考试 数学试题 时间：120分钟 总分：150分 第I卷（选择题 共 5 8 分 ） 一、单项选择题(共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有 一 项符合题目要求，选对得5分，选错或者漏选得0分.) 1. 已知集合，，则=（    ） A. B. C. D. 2. 已知函数,则（    ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知 ，则的最小值为（　　） A. B. C. 1 D. 4 4. 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则“”是单调函数”是“”的（   ） 条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 7. 已知，其中为函数的导数，则 （   ） A. 2 B. 0 C. 2026 D. 2027 8. 现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、 多项选择题(共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分.) 9. 下列说法正确的是（   ） A. 已知 若 则 B. 已知 则 C. 不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（    ） A. 存在，有 B. 函数的图像关于直线对称 C. 函数是周期函数，无最小正周期 D. 存在三个点，，，使为等腰直角三角形 11. 已知函数，则（   ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 函数为奇函数 D. 若方程有三个解，且这三个解从小到大依次成等差数列，则 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题(共3道小题，每题5分，共15分.) 12. 已知 ，则函数的解析式为_________. 13. 已知函数对于任意实数满足条件，若，则________. 14. 已知正实数x，y满足，则的最小值为______． 四、解答题(共5道小题，共77分.) 15. 数列的前n项和为，满足 ，若. （1）证明：数列为等比数列； （2）记，求数列的前项和. 16. 已知函数 ，， （1）当时，求关于不等式的解集 （2）当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 （3）若对任意 恒成立，则实数的取值范围 17. 已知函数. （1）求函数的极大值； （2）若函数 ，且满足，求实数的取值范围； （3）设在在点，处切线的轴截距为，求数列的前n项和为. 18. 已知函数 （1）若对任意的，且，总存在，使得 成立，求实数的取值范围 （2）若为整数，当时，恒成立，求的最大值； 19. 已知函数 （1）证明：对任意两个正实数，且，若，则+ （2）设函数 （I）若，求函数的单调区间； （II）若，设数列的前n项和为，且，求证：当时，有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佳一中2025-2026学年度第二学期高二学年期中考试 数学试题 时间：120分钟 总分：150分 第I卷（选择题 共 5 8 分 ） 一、单项选择题(共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有 一 项符合题目要求，选对得5分，选错或者漏选得0分.) 1. 已知集合，，则=（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别求得集合和，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得，即， 又由指数函数的性质，可得，即， 根据集合交集的定义与运算，可得. 2. 已知函数,则（    ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】由题设有，而， 故. 3. 已知 ，则的最小值为（　　） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】由，则、， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 4. 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 5. 已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法、一元二次方程的判别式以及根与系数的关系和不等式的性质运算即可得解. 【详解】因为，，所以， 所以，即，解得：或． 因为有两个不等根，所以， 解得：或，则的取值范围是． 故选：B 6. 已知函数，则“”是单调函数”是“”的（   ） 条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数在不同区间上的单调性，再根据分段函数单调的条件确定的取值范围，最后再由充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，，对于指数函数，可得在上单调递增， 对于反比例函数在上单调递增，所以在上单调递增， 当时，，则，要使在上单调递增， 则在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为在上的最大值为，所以， 左段函数值全部小于等于处的函数值，即 ，解得， 所以”是单调函数的充要条件为，该集合是的真子集， 若时单调函数，则必然满足，充分性成立； 若，例如取，此时，但时，趋近于1时， ， 所以函数在处出现下降，不是单调函数，则必要性不成立， 故“”是单调函数”是“”的充分不必要条件. 7. 已知，其中为函数的导数，则 （   ） A. 2 B. 0 C. 2026 D. 2027 【答案】B 【解析】 【详解】设，定义域为，得，则是奇函数. 所以，，因为，所以. 所以，， 所以，. 因为，，所以，. 因为是奇函数，则是偶函数，所以，，. 所以，. 所以. 综上，. 8. 现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的表达式求出，从而得到函数的图象关于点成中心对称，再利用倒序相加法求出数列的通项公式，最后将不等式有解问题转化为函数最值问题，进而求出的取值范围. 【详解】，； ，即的图象关于点成中心对称. ，， ； ； . ， ，整理得； ， ； 根据题意，该不等式有解，等价于不小于函数 在 上的最小值. 令，则对勾函数在上单调递减，在上单调递增； ，且； 当时，；当时，； ，，即； ，即的取值范围是. 二、 多项选择题(共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分.) 9. 下列说法正确的是（   ） A. 已知 若 则 B. 已知 则 C. 不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【解析】 【详解】选项A：由，得. 因为，所以 ，即. 所以，，即，.故A不正确. 选项B：设，，则，. 由，得，. 所以，. 由得，. 由得，. 所以，.故B正确. 选项C：当时，恒成立； 当时，要使得不等式对一切实数恒成立，则需要满足： ，解得，. 综上所述，的取值范围为.故C项不正确. 选项D：因为函数的定义域为，所以，函数的定义域满足: ，解得，. 则函数的定义域为.故D项正确. 10. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（    ） A. 存在，有 B. 函数的图像关于直线对称 C. 函数是周期函数，无最小正周期 D. 存在三个点，，，使为等腰直角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】代入特殊值可判断选项A，利用对称性可判断选项B，利用周期性可判断选项C，利用函数的定义域和单调性和函数的奇偶性的应用判定选项D的结论. 【详解】对于A：取，则，，因此存在，有，故A正确； 对于B：若是有理数，则也是有理数，故， 若是无理数，则也是无理数，故， 因此，，是偶函数，图像关于直线对称，故B正确； 对于C：设为任意有理数，若是有理数，则是有理数， ， 若是无理数，则是无理数，，因此，任意正有理数都是的周期， 而任意正有理数无最小值，故无最小正周期，故C正确； 对于D：假设存在三个点，，，使为等腰直角三角形，不妨设， 分两类情况，第一种，斜边平行于轴或在轴上； 第二种，斜边不平行于轴或也不在轴上，如图所示 第一种情况，不妨设斜边在轴上， 所以，，即 ，则， 此时，， ，与假设矛盾； 第二种情况，不妨设点在轴上，即，所以 ， 此时， ，即在轴上，与假设矛盾，故D错误. 11. 已知函数，则（   ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 函数为奇函数 D. 若方程有三个解，且这三个解从小到大依次成等差数列，则 【答案】AD 【解析】 【分析】求出函数的导数确定极小值点判断A；取特殊值计算判断B；求出的值，结合奇函数性质判断C；求出范围，再利用待定系数法求解判断D. 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于A，当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，因此是的极小值点，A正确； 对于B，当时，，即，B错误； 对于C，令，而，函数，即不是奇函数，C错误. 对于D，由选项A得极小值为，极大值为， 由方程有三个解，得， 令方程的三个解为， 则 ，因此，而， 联立解得，因此，即，D正确. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题(共3道小题，每题5分，共15分.) 12. 已知 ，则函数的解析式为_________. 【答案】， 【解析】 【分析】使用换元法求解即可，设，那么，再代入即可求得函数的解析式. 【详解】设，那么，则 ， 所以，. 13. 已知函数对于任意实数满足条件，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用可计算出的周期，利用周期性计算即可得. 【详解】由，则， 故是以为周期的周期函数，则， 由，可得 . 14. 已知正实数x，y满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】化简题目条件得，构建函数，因为是正实数，故此函数单调递增，得到，代入，求导分析其最值. 【详解】由， 整理得， 化简得：， 设函数，可知函数在内单调递增， 由可得，即，代入得， 令， 令，解得， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 故当  时， 取得最小值，此时 ，最小值为. 故答案为： 四、解答题(共5道小题，共77分.) 15. 数列的前n项和为，满足 ，若. （1）证明：数列为等比数列； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出，再根据等比数列的定义可证明数列为等比数列； （2）利用分组求和可取. 【小问1详解】 因为，故， 而， 故， 整理得，即， 故，所以 ，故数列为等比数列； 【小问2详解】 由（1）可得， 故 . 16. 已知函数 ，， （1）当时，求关于不等式的解集 （2）当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 （3）若对任意 恒成立，则实数的取值范围 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)对进行分类讨论求解不等式； (2)利用分离参数法求k的取值范围； (3)把看作自变量，构造函数，求解实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，，不等式可化为，解集为； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【小问2详解】 当时，， 知不等式对任意恒成立，只需 ． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，， 故实数的取值范围为 【小问3详解】 设，则若对任意，恒成立， 即，解得. 17. 已知函数. （1）求函数的极大值； （2）若函数 ，且满足，求实数的取值范围； （3）设在在点，处切线的轴截距为，求数列的前n项和为. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数与函数单调性之间的关系，结合极值定义，求解即可； （2）根据本身单调性，将函数不等式转化为，求解即可； （3）根据导数的几何意义，表示出的通项公式，求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 故为的极大值点，的极大值为 . 【小问2详解】 因为 ，所以定义域为， 由（1）得，时，函数单调递增， 单调递增，故单调递增， 则等价于， 解得. 【小问3详解】 由题意得，， 则切线方程为， 令，得，即，， 则. 18. 已知函数 （1）若对任意的，且，总存在，使得 成立，求实数的取值范围 （2）若为整数，当时，恒成立，求的最大值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得最小值为2，转化为 ，即，设，转化为恒成立，结合一次函数的性质，即可求解； （2）先转化为恒成立，令，利用导数得出的单调性和最小值，进而求得整数的最大值. 【小问1详解】 解：设函数，可得函数在区间上单调递增， 所以， 不妨设，可得， 因为总存在，使得 成立， 即 ，可得， 设，则，即函数单调递增， 又由，可得， 则，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令 ，则满足 ，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 解：当时，，不等式 ，即为， 不等式即为在上恒成立， 令，则， 再令，可得，所以单调递增， 又由，，所以在上存在唯一的零点， 故在上存在唯一的零点，设此零点为，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为， 由，可得，所以 ， 因为恒成立，即为，所以 所以整数的最大值为． 19. 已知函数 （1）证明：对任意两个正实数，且，若，则+ （2）设函数 （I）若，求函数的单调区间； （II）若，设数列的前n项和为，且，求证：当时，有. 【答案】（1）证明见解析； （2）(I)单调递增区间为，单调递减区间为；(II)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求的导函数，分析的单调性与极值点，根据，确定，的取值范围；采用对称构造法，令，，将转化为关于的函数，证明该函数大于4； （2）（I）先化简时的表达式，求的导函数，分区间讨论的正负，确定的单调区间； （II）先化简时的表达式，得到的通项，明确是数列从第项到第项的和，利用对数函数的单调性或常见的不等式放缩，对通项进行放缩后累加，证明不等式. 【小问1详解】 由，得函数的定义域为. . 令，解得； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，取得最小值. ，，设. 由，得，即. 令，则，. 由，得，解得； ，. 要证，即证； ，，得； 即证. 令，则； 令，则，得在上单调递增，即，则； 在上单调递增，即； ，，即. 【小问2详解】 （I）当时，； 的定义域为. . 令，则. ； 当时，，在上单调递增； ，在上单调递减； 又，当时，，即，在上单调递增； 当时，，，，即，在上单调递减； 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为. （Ⅱ）当时，； 由（I）知，当时，，即. . 是数列的前n项和， . 当时，. 取，则，即； ； . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $