精品解析：黑龙江佳木斯市第一中学2025-2026学年高二数学下学期第一次月考试卷

2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第I卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算中，正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】易知，因此A错误； 又，可得B错误； ，即C错误； ，即D正确. 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线斜率小于零 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在区间单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】由可判断A；由图得函数在区间上即可判断B；由图得区间上，区间上即可判断C；由图得函数在区间上，当且仅当时导数值为0可判断D. 【详解】对于A，由图可知，即曲线在点处的切线斜率等于零，故A错误； 对于B，由图可知在区间上，所以函数在区间上单调递减，故B错误； 对于C，由图区间上，区间上， 所以函数在处取不到极大值，故C错误； 对于D，由图可知函数在区间上，当且仅当时导数值为0， 所以函数在区间上单调递减，故D正确. 故选：D 3. 在等比数列中，“”是“数列递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式和充分条件、必要条件的定义分析判断即可. 【详解】当时，设公比为q，则， 若，则，即，此时，显然数列是递减数列， 若，则，即，此时，数列也是递减数列， 反之，当数列是递减数列时，显然． 故“”是“等比数列递减”的充要条件． 故选：C． 4. 下列说法正确的有（ ） A. 在等差数列中，，，则前9项和. B. 已知等比数列的前项和为，若，则. C. 已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则. D. 数列为等比数列，，，则. 【答案】A 【解析】 【详解】易知等差数列的前9项和，即A正确； 等比数列的前项和为，由可知其公比； 所以，可得； 因此，因此B错误； 因为和均为等差数列且，所以，因此C错误； 数列为等比数列，由，可得其公比为； 因此,因此D错误. 5. 已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原式转化为，以此构造函数，由题意得，参变分离后可得，由导数计算的最小值即可求解. 【详解】由题意得，即， 设，则在上单调递增， 即上恒成立， 则恒成立，即， 设，则，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以. 6. 某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，，消去，得. 7. 已知等比数列中各项均为正数，且，记的前项积为，且，则取最小值时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，可知等比数列单调递增，且有，由此得出，结合单调性得出当且时，；当且，，即可得解. 【详解】对任意的，，设等比数列的公比为，则， 因为，则，所以，即， 因为，所以，即，故数列单调递增，所以， 故当且时，；当且，. 所以当时，最小. 故选：C. 8. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，构造函数，求导可得其单调性，可得，再令，求导可得其最小值. 【详解】，即， 构造函数 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 因为，所以，此时， 令，令，解得， 所以当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 所以的最小值为， 综上的最小值为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递减数列 C. 当时， D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和性质来求解判断即可. 【详解】因为，又， 所以数列是首项为9，公差为的等差数列. 记公差为d，则，所以. 选项A：.所以选项A错误. 选项B：因为公差为，所以数列是递减数列.所以选项B正确. 选项C：当，，即.所以选项C正确. 选项D：，所以选项D正确. 10. 对于函数，下列说法正确的是（    ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. C. 设有3个不同的零点，则 D. 过点可作曲线两条切线 【答案】BC 【解析】 【分析】首先确定函数定义域并求导判断出其单调性可得A错误，由并利用单调性可判断B正确，画出函数图象结合函数与方程思想可知需满足，即才能有3个不同的零点，所以C正确；由导数的几何意义并构造函数求出方程根的个数可判断仅可作一条切线，即D错误. 【详解】由函数可知其定义域为， 易知，令可得， 因此当或时，，所以在和上单调递减， 当时，，所以在上单调递增，所以A错误； 易知，又根据单调性可得， 因此，即可得B正确； 结合已有分析可得当时，，其值域为； 当时，，其值域为， 画出函数的图象如下图所示： 令，可得， 由函数有3个不同的零点可得函数与有3个不同的交点， 结合函数图象变换可得函数的图象如下图： 由图可知需满足，即可得，即C正确； 设过点的切线与曲线相切于点， 切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得， 整理可得； 令， 则， 记，则， 令可得； 因此可得当或时，， 所以在和上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 显然当时，又因为，因此，所以； 又，所以时； 因此当时，，即可得， 所以在和上单调递减， 易知当时，，因此在上没有零点， 又因为， 由零点存在定理可知在上仅有一个零点； 综上可得方程仅有一个实数根， 所以过点可作曲线一条切线,即D错误. 11. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列满足，，设，记数列，的前项和分别为，.则（    ） A. 是，的等比中项 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对A：计算出、后验证是否满足即可得；对B：由题意可得，，则，从而可借助分组求和得到；对C：由题意可得，即有，结合，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，即可得数列的通项公式；对D：由数列的通项公式可求出，结合B中所得可求出. 【详解】对A：由题意可得，， 有，故是，的等比中项，故A正确； 对B：，，则， 则 ，故B错误； 对C：， 由，则，故，则， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，即，故C错误； 对D：由，则， 则， 则，故D正确. 第II卷（非选择题共92分 ） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在上的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】对函数的导数，判断函数的单调区间和极值点，从而求出的最小值. 【详解】根据题意可得，令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以是区间上的极小值点，也是最小值点， 则. 13. 设数列满足3．数列的通项公式为________． 【答案】 【解析】 【详解】由可得， 两式相减可得，即可得， 当时可得，所以满足， 因此可得， 即数列的通项公式为. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，对函数求导利用不等式可求出在上单调递增，再由函数奇偶性可得为偶函数，且在上单调递减，解不等式可得结果. 【详解】令，则； 又因为当时，，所以； 因此可得在上单调递增， 又函数是定义在上的偶函数，所以， 因此也是定义在上的偶函数，且在上单调递减； 则不等式可化为, 因此，可得， 解得或. 即不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，满足． （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式： （2）设为数列的前项和，求． 【答案】（1） 由题意，， 则， ， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. 所以，则. （2） 【解析】 【分析】（1）利用构造法将转化为，利用等比数列的通项公式求解. （2）求出，求出，利用裂项相消法求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 则， 所以 即. 16. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式. （2）求曲线在处的切线方程. （3）若时，函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导并根据极值点处的导函数为0联立方程组可解得，可求出解析式； （2）利用导数的几何意义直接求解即可； （3）求出函数在区间上的单调性，结合图象以及零点个数即可求出的取值范围. 【小问1详解】 易知， 所以，解得， 经检验符合题意， 所以函数的解析式为； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以，又， 因此切线方程为，即. 【小问3详解】 易知，令可得或； 因此当时，，当或时，； 所以函数在上单调递减，在或上单调递增， 易知， 画出函数在时的图象如下图所示： 根据函数有三个零点可知函数的图象与有3个交点， 因此可得的取值范围为. 17. 已知公比为正数的等比数列的前n项和为，且，，数列满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列的通项公式及前项和公式求出首项与公比即可求出通项公式，利用累乘法求出的通项公式； （2）根据错位相减法求和即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由，得，又，所以，解得或（舍去）． 又，则，解得， 所以． 由，得， 所以；，，， 以上各式相乘，得， 又，所以，且满足上式，所以． 【小问2详解】 由（1），得， 所以， ， 两式相减，得， 所以， 即． 18. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若对，有恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在 上单调递增 ，当时，函数在上单调递减，在 上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导得，对分类讨论可得函数的单调性; （2）求导可得时函数在上单调递增，将不等式化为恒成立，即对恒成立，令并求出其最小值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 由， ①当时，，则函数在上单调递减； ②当时， ，则函数在上单调递增； ③当时，，令，得，令，得或， 故函数在上单调递减，在 上单调递增； ④当时，，令，可得，令，得或， 故函数在上单调递减，在 上单调递增. 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在 上单调递增 ， 当时，函数在上单调递减，在 上单调递增. 【小问2详解】 当时，可得， 此时恒成立， 所以在上单调递增， 若对，有恒成立， 可得恒成立，且，即； 可等价于对恒成立， 令，则； 因为时，恒成立，因此在上单调递增， 所以即可满足题意， 因此实数m的取值范围为 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求a的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）增区间为，无减区间； （2）； （3）由（2）知当时，，其中a的取值范围为， 令得，，即 令，则， 所以． 【解析】 【分析】（1）利用导数研究的单调区间； （2）对函数求导，讨论、、，结合恒成立求参数范围； （3）根据（2）的结论有得，令，则，即可证结论. 【小问1详解】 当时，，所以， 设，则， 当时，有，所以在区间上单调递减， 当时，有，所以在区间上单调递增， 所以，即， 所以的增区间为，无减区间． 【小问2详解】 ， （i）当时，有，与矛盾； （ii）当时，有，所以， 所以在单调递增，故，满足题意； （iii）当时，设，则， 当时，由得，所以在上单调递减，则， 即，所以在单调递增，故，满足题意； 当时，若，则，所以在上单调递， 所以，即，所以在单调递减，故，与矛盾； 综上所述：a的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第I卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算中，正确的是（    ） A. B. C. D. 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线斜率小于零 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在区间单调递减 3. 在等比数列中，“”是“数列递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列说法正确的有（ ） A. 在等差数列中，，，则前9项和. B. 已知等比数列的前项和为，若，则. C. 已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则. D. 数列为等比数列，，，则. 5. 已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列中各项均为正数，且，记的前项积为，且，则取最小值时，的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递减数列 C. 当时， D. 10. 对于函数，下列说法正确的是（    ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. C. 设有3个不同的零点，则 D. 过点可作曲线两条切线 11. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列满足，，设，记数列，的前项和分别为，.则（    ） A. 是，的等比中项 B. C. D. 第II卷（非选择题共92分 ） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在上的最小值为______． 13. 设数列满足3．数列的通项公式为________． 14. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，满足． （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式： （2）设为数列的前项和，求． 16. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式. （2）求曲线在处的切线方程. （3）若时，函数有三个零点，求的取值范围. 17. 已知公比为正数的等比数列的前n项和为，且，，数列满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前n项和． 18. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若对，有恒成立，求实数m的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求a的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $