第四节 随机事件、古典概型 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“随机事件、古典概型”专题，依据高考评价体系梳理了随机事件的关系与运算、概率的性质、古典概型三大核心考点，通过教材回顾系统整合样本空间、事件关系及概率公式，结合近三年高考真题分析明确古典概型计算占比达60%的高频考点，归纳出辨析判断、概率运算、古典概型应用等常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+技巧建模+素养提升”的备考路径，如以2024全国甲卷四人排列题为例，示范古典概型“定型-定量-求值”三步法，培养学生的数学思维和运算能力。特设“易错警示”（如互斥与对立事件辨析）和“母题变式”训练，助力学生熟练掌握答题技巧，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

第四节 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 随机事件、古典概型 【目标要求】　1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算. 3.掌握古典概型及其计算公式,能计算古典概型中简单随机事件的概率. 1.有限样本空间与随机事件 (1)样本点:随机试验的每个可能的基本结果. (2)样本空间:全体样本点的集合,一般用Ω表示. (3)有限样本空间:样本空间Ω={w1,w2,…,wn}. (4)随机事件(事件):样本空间Ω的子集. (5)基本事件:只包含一个样本点的事件. 2.事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含关系 若事件A发生,则事件B一定发生 B⊇A或A⊆B 相等关系 B⊇A且A⊇B A=B 并事件 (和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B或A+B 交事件 (积事件) 事件A与事件B同时发生 A∩B或AB 互斥(互 不相容) 事件A与事件B不能同时发生 A∩B=⌀ 互为对 立事件 事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生 A∪B=Ω且 A∩B=⌀ 3.概率与频率 (1)频率的稳定性:一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的___________.我们称频率的这个性质为频率的稳定性. (2)频率稳定性的作用:可以用频率fn(A)估计_____________. 概率P(A) 概率P(A) 4.概率的基本性质 性质1　对任意的事件A,都有0≤P(A)≤1. 性质2　必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=_______, P(⌀)=_______. 性质3　如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=_______________. 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=____________, P(A)=_____________. 性质5　如果A⊆B,那么P(A)_____________P(B). 性质6　设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)= ________________________. 1 0 P(A)+P(B) 1-P(A) 1-P(B) ≤ P(A)+P(B)-P(A∩B) 1.互斥事件与对立事件的关系 互斥与对立都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之中必有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件. 2.概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时,要用到概率加法公式的推广 ,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 3.古典概型 一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征,即有限性和等可能性,只有同时具备这两个特征的试验才是古典概型. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的.(　　) (2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.(　　) 频率是概率的近似值,概率是频率的期望值. 解析 (3)若事件A,B,C两两互斥,则事件A与B∪C互斥.(　　) (4)若事件A与B对立,则P(A∪B)=1.(　　) 若事件A,B,C两两互斥,则事件A,B,C不可能同时发生,则事件A与B∪C也不可能同时发生,则事件A与B∪C互斥,故正确. 解析 若事件A与B对立,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,故正确. 解析 2.(人A必二P235练习1题改编)一个人打靶时连续射击两次,与事件“至多有一次中靶”互斥的事件是(　　) A.至少有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶 射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”,与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”. 解析 3.(人A必二P237例8改编)从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a,从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(2,-1)垂直的概率为(　　) A. B. C. D. 解析 4.从3名男生和2名女生中,任选3人参加社区志愿服务,其中男生、女生 都入选的概率为_______________. 依题意,男生、女生都入选的概率为=. 解析 5.(人A必二P245练习T1改编)已知P(A)=0.5,P(B)=0.3且B⊆A,则P(A∪B)=_____________,P(AB)=_____________. 解析 0.5 0.3 (1)(2026·贵阳模拟)(多选题)抛掷一枚质地均匀的骰子,定义以下事 件:D1=“点数大于2”,D2=“点数不大于2”,D3=“点数大于3”,D4=“点数为4”,则下列结论正确的是(　　) A.D3⊆D1 B.D4⊆D3 C.D1∪D3=D3 D.D1∩D2=⌀ 考点一 事件的关系与运算………………自练自悟 对于A,D3=“点数大于3”,D1=“点数大于2”,显然D3⊆D1,故正确;对于B,D4=“点数为4”,D3=“点数大于3”,D4⊆D3,故正确;对于C,由A知, D3⊆D1,则D1∪D3=D1,故错误;对于D,D1=“点数大于2”,D2=“点数不大于2”,显然不能同时发生,则D1∩D2=⌀,故正确.故选ABD. 解析 (2)从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球,则下列选项中事件A与事件B互斥却不互为对立的是(　　) A.事件A:3个球中至少有1个红球;事件B:3个球中至少有1个白球 B.事件A:3个球中恰有1个红球;事件B:3个球中恰有1个白球 C.事件A:3个球中至多有2个红球;事件B:3个球中至少有2个白球 D.事件A:3个球中至多有1个红球;事件B:3个球中至多有1个白球 事件A与事件B可能同时发生,例如摸出2个白球和1个红球,所以事件A与事件B不是互斥事件,故A错误;事件A与事件B不可能同时发生,但不是一定有一个发生,还有可能是3个白球或3个红球,所以事件A与事件B互斥却不互为对立,故B正确;事件A与事件B可能同时发生,例如摸出2个白球和1个红球,所以事件A与事件B不是互斥事件,故C错误;事件A与事件B不可能同时发生,且必有一个发生,所以事件A与事件B是互斥事件也是对立事件,故D错误. 解析 1.进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件. 2.准确把握互斥事件与对立事件的概念:①互斥事件是不可能同时发生的事件,但也可以同时不发生;②对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生. 考点二 概率的性质应用 【例1】　(多选题)已知事件A,B,C两两互斥,若P(A)=,P(A∪B)=, P(A∪C)=,则(　　) A.P(B)= B. P(C)= C.P(B∪C)= D. P(B∩C)=0 因为事件A,B,C两两互斥,所以P(B∩C)=0,故D正确;P(A∪B)=P(A)+ P(B)=+P(B)=,则P(B)=,故A正确;P(A∪C)=P(A)+P(C)=+P(C)= ,则P(C)=,故B错误;P(B∪C)=P(B)+P(C)=+=,故C正确. 解析 注意以下几条性质的应用 1.若A⊆B,则P(AB)=P(A),P(A∪B)=P(B). 2.P(+)=P()=1-P(AB). 由题意可知P(A)==0.55,P(B)==0.18,因为事件A∪B为事件C的对立事件,且事件A,B,C两两互斥,所以P(C)=1-P(A∪B)=1-P(A)-P(B)=0.27,所以P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.45. 解析 (2)设随机事件A,B满足P(A)=P(B)=0.75,P(AB)=0.6,则P()=(　　) A.0.4 B.0.35 C.0.25 D.0.1 随机事件A,B满足P(A)=P(B)=0.75,P(AB)=0.6,则P(A∪B)=P(A)+P(B) -P(AB)=0.75+0.75-0.6=0.9,故P()=1-P(A∪B)=1-0.9=0.1.故选D. 解析 求复杂互斥事件的概率的两种方法 (1)直接法   (2)间接法:正难则反,特别是“至多”“至少”型题目,一般用间接法求解更简单. 【典例】　某次联欢会上设有一个抽奖游戏,抽奖箱中共有16个四种不同颜色,但形状、大小完全相同的小球,分别代表一等奖、二等奖、三等奖、不中奖.其中红球代表一等奖且只有1个,黄球代表三等奖.从中任取一个小球,若中二等奖或三等奖的概率为.现小华同学获得一次抽奖机会. (1)求小华不能中奖的概率; 设“小华同学任取一个小球,抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖”的事件分别为A,B,C,D,它们彼此是互斥事件,由题意得P(A)=,P(B+C)=P(B)+P(C)=,由对立事件的概率公式得P(D)=1-P(A+B+C)=1-P(B+C)-P(A)=1--=,所以小华不能中奖的概率为. 解 (2) 若小华中一等奖或二等奖的概率是,试计算黄球的个数. 因为P(A+B)=,又P(A+B)=P(A)+P(B),所以P(B)=-=.因为P(B+C)=P(B)+P(C)=,所以P(C)=-=,所以小华中三等奖的概率为,所以黄球的个数为16×=5. 解 【微练】　围棋起源于中国,是一种策略型两人棋类游戏,中国古时称“弈”,属“琴棋书画”四艺之一.现有一围棋盒子中有多枚黑子和白子,若从中取出的2枚都是黑子的概率是0.1,都是白子的概率是0.3,则从盒中任意取出2枚恰好是一黑一白的概率是(　　) A.0.4　　　 B.0.6 C.0.1　 　　 D.0.3 取出的2枚都是黑子的事件记为A1,取出的2枚都是白子的事件记为A2,显然A1与A2互斥,P(A1)=0.1,P(A2)=0.3,从盒中任意取出2枚恰好是一黑一白的事件记为A,其对立事件是A1+A2,所以从盒中任意取出2枚恰好是一黑一白的概率P(A)=1-P(A1+A2)=1-P(A1)-P(A2)=0.6.故 选B. 解析 【例2】　(1)(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是(　　) A. B. C. D. 考点三 古典概型 画出树状图:   甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法,其中丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有8种,所以所求概率为=,故选B. 解析 (2)(2025·八省联考)有8张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,现从这8张卡片中随机抽出3张,则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为_____________. 从8张卡片中随机抽出3张,则样本空间中总的样本点数为= =56,因为1+2+3+4+5+6+7+8=36,所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等,则抽出的3张卡片上的数字之和应为18,则抽出的3张卡片上的数字的组合有8,7,3或8,6,4或7,6,5共3种,所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为. 解析 利用公式法求解古典概型问题的步骤 【训练2】　(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为(　　) A. B. C. D. 从2,3,4,5,6,7,8中随机取2个不同的数有=21种结果,其中这2个数互质的结果有(2,3),(2,5),(2,7),(3,4),(3,5),(3,7),(3,8),(4,5),(4,7),(5,6), (5,7),(5,8),(6,7),(7,8),共14种,所以所求概率为=.故选D. 解析 5.古典概型 (1)古典概型的特点 (2)古典概型的概率公式 P(A)=. 从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a,从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b,可以组成向量m=(a,b)的个数是3×3=9,其中与向量n=(2,-1)垂直的向量是m=(1,2)和m=(2,4),共2个,故所求的概率为P=. P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(B)=0.3. 【训练1】　(1)(2026·石家庄模拟)(多选题)中国篮球职业联赛中,某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表: 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 记该运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,则(　　) A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18 C.P(C)=0.27 D.P(B∪C)=0.55 $