第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线与圆、圆与圆的位置关系”核心考点，依据高考评价体系明确判断位置关系、解决实际问题的考查要求，通过梳理几何法（d与r关系）、代数法（Δ）等方法，分析切线方程、弦长计算等高频考点，归纳选择、填空、解答题常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如以2024全国甲卷弦长最小值问题为例，用几何法（2√(r²-d²)）突破，培养学生数学思维（推理能力、运算能力）与数学语言（模型观念）。通过母题变式、易错点分析（如忽略斜率不存在情况），帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，助力高效冲刺。

第四节 第八章　平面解析几何 直线与圆、圆与圆的位置关系 【目标要求】　1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)   相离 相切 相交 图形       量 化 方程观点 Δ_________0 Δ_________0 Δ_________0 几何观点 d_________r d_________r d_________r < = > > = < 2.圆与圆的位置关系(☉O1,☉O2的半径分别为r1,r2,d=|O1O2|)   图形 量的关系 外离   ___________ 外切   ___________ d>r1+r2 d=r1+r2 相交   ___________ 内切   ___________ 内含   ___________ |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| 0≤d<|r1-r2| 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在的直线方程为x0x+y0y=r2. 2.设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0, 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, (1)若两圆相交,两式相减,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,该方程表示圆C1与C2的公共弦所在的直线方程. (2)若两圆相切,两式相减,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,该方程表示圆C1与C2的公共切线所在的直线方程. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)若两圆没有公共点,则两圆一定外离.(　　) (2)若两圆相切,则有且只有一条公切线.(　　) (3)过圆外一点作圆的切线有两条.(　　) (4)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.(　　) 2.若直线l:ax-by-4=0与圆O:x2+y2=4相离,则点P(a,b)(　　) A.在圆O外 B.在圆O内 C.在圆O上 D.与圆O的位置关系不确定 由题意,圆O:x2+y2=4的圆心为(0,0),半径R=2.直线l到圆心的距离为d==,根据相离条件d>R,即>2,整理得a2+b2<4,这表明点P(a,b)到原点的距离的平方小于4,即点P在圆O内部.故选B. 解析 3.(人A选一P98练习T1改编)圆C1:x2+y2-2y=0与圆C2:x2+y2-4=0的位置关系是(　　) A.外切 B.相交 C.外离 D.内切 由题意知,圆C1:x2+y2-2y=0的圆心为C1(0,1),半径r1=1,圆C2:x2+y2-4=0的圆心为C2(0,0),半径r2=2,由于|C1C2|=r2-r1,所以两圆内切. 解析 4.(人A选一P93T3改编)直线2x-y+2=0被圆(x-1)2+(y-2)2=4截得的弦长为_____________. 圆心坐标为(1,2),半径r=2.圆心到直线的距离d===,所以弦长l=2=2=. 解析 5.圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦长为_____________. 2 解析 (1)直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 考点一 直线与圆位置关系的判断………………自练自悟 解析 解析 (2)(2025·全国一卷)若圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有2个,则r的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞) 解法一:直线l:y=x+2的斜率为,其与y轴的交点为(0,2).故圆C:x2+(y+2)2=r2(r>0)的圆心M(0,-2)到l的距离为2,因此当1<r<3时,圆C上到l的距离为1的点有且仅有两个.故选B. 解析 解法二:到直线=y=x+2的距离为1的点均在直线l1:y=x和直线l2:y=x+4上.故l1和l2与圆C:x2+(y+2)2=r2的总交点数为2.因为圆C的圆心M(0,-2)到l1的距离为1,到l2的距离为3,故当r<1时,l1和l2与圆C均没有公共点;当r=1时,l1与圆C恰有1个公共点,l2与圆C没有公共点;当1<r<3时,l1与圆C有2个公共点,l2与圆C没有公共点;当r=3时,l1与圆C有2个公共点,l2与圆C恰有1个公共点;当r>3时,l1和l2与圆C均有2个公共点.故选B. 解析 解法三:如图,记圆x2+(y+2)2=r2(r>0)的圆心 为M(0,-2),半径为r,圆心M(0,-2)到直线y= x+2的距离为d==2.由图 可知,当r=1时,直线与圆外切,圆x2+(y+2)2= r2(r>0)上有且仅有一个点(点A)到直线y=x+2的距离等于1;当r=3时,圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有三个点(点B,C,D)到直线y=x+2的距离等于1;则当r的取值范围为(1,3)时,圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线y=x+2的距离等于1.故选B. 解析 (3)(2026·济南模拟)已知直线l经过点(2,4),则“直线l的斜率为-1”是“直线l与圆C:(x-1)2+(y-3)2=2相切”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 如图,易知点(2,4)在圆C:(x-1)2+(y-3)2=2上,圆心C(1,3)与点(2,4)的连线l'的斜率为=1,若直线l的斜率为-1,则l⊥l',则直线l与圆C相切,反之,若直线l与圆C相切,则l⊥l',则直线l的斜率为-1.故选C. 解析 判断直线与圆的位置关系的常见方法 1.几何法:利用d与r的关系判断. 2.代数法:联立方程之后利用Δ判断. 【例1】　(1)已知点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4,则过点M的圆C的切线方程为_______________________;其切线长l=_____________; 考点二 圆的切线问题 x-3=0或3x-4y-5=0 1 因为(3-1)2+(1-2)2=5>4,所以点M在圆C外.当过点M的直线的斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0.又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,所以直线x=3是圆的切线;当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,由圆心C到切线的距离d'== r=2,解得k=.所以切线方程为y-1=(x-3),即3x-4y-5=0.因为|MC|==,所以过点M的圆C的切线长l===1. 解析 (2)(2026·黄山模拟)过点(0,3)与圆x2+y2-2x-3=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=_____________. 圆x2+y2-2x-3=0的标准方程为(x-1)2+y2=4,圆心为C(1,0),半径为2,记点P(0,3),记切点分别为A,B,如图所示,由切线长定理可得|PA|=|PB|,又因为|PC|=|PC|,|CA|=|CB|,所以△PAC≌△PBC,所以∠APC=∠BPC,设∠APC=∠BPC=θ,由圆的几何性质可得AC⊥PA,则|PC|= 解析 =,所以sin θ===,由图可知,θ为锐角,则cos θ===, 所以sin∠APB=sin 2θ= 2sin θcos θ=2×× =,故sin α=. 解析 当切线方程斜率存在时,圆的切线方程的求法 1.几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k. 2.代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k. 注意验证斜率不存在的情况. 【训练1】　(2026·重庆模拟)已知P(x0,y0)是直线l:x-y+4=0上一点,过点P作圆O:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,当直线AB与l平行时, |AB|=(　　) A. B. C. D.4 在平面直角坐标系中画出直线l与圆O的图象,如图所示.连接OA,OB,OP,由PA,PB切圆O于A,B知,OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB.因为直线AB与l平行,所以OP⊥l,又|OP|== 2,且圆O半径为1,所以|PA|==.由四 边形OAPB面积S=2S△OPA,得|AB||OP|=2× |OA||AP|,所以|AB|===.故选A. 解析 【例2】　(1)(2024·全国甲卷)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为(　　) A.1 B.2 C.4 D.2 考点三 圆的弦长问题 解析 (2)(2025·天津高考)l1:x-y+6=0,与x轴交于点A,与y轴交于点B,与圆(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C,D两点,|AB|=3|CD|,则r=_____________. 因为直线l1:x-y+6=0与x轴交于A(-6,0),与y轴交于B(0,6),所以|AB|==6,所以|CD|=2,圆(x+1)2+ (y-3)2=r2的半径为r,圆心(-1,3)到直线l1:x- y+6=0的距离为d==,故|CD|= 2=2=2,解得r=2. 解析 2 弦长的两种求法 1.代数法:将直线和圆的方程联立方程组,根据弦长公式求弦长. 2.几何法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2. 【训练2】　(2026·青岛模拟)(多选题)已知直线l:x-my+3=0和圆C:x2+y2-6x+5=0,则下列结论成立的是(　　) A.直线l:x-my+3=0过定点(-3,0) B.当直线l与圆C相交时,直线l:x-my+3=0被圆所截的弦长最大值为4 C.当直线l与圆C相切时,实数m=2 D.当实数m的值为3时,直线l与圆C相交,且所得弦长为 将圆C:x2+y2-6x+5=0化为(x-3)2+y2=4,可得其圆心C(3,0),半径r=2.对于A,对于任意实数m,当y=0时,恒有x=-3,即直线l过定点(-3,0),A正确;对于B,显然圆心C(3,0)不满足直线l的方程,即直线l不过圆心C,因此,当直线l与圆C相交时,直线l被圆所截的弦长小于4,B错误;对于C,当直线l与圆C相切时,圆心C到直线l的距离d1==2,解得m=±2,C错误;对于D,当m=3时,由C知,圆心C到直线l的距离d2=<2,所以直线l与圆C相交,所得弦长为2=2=,D正确.故选AD. 解析 【例3】　(1)(2026·石家庄模拟)已知圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0,则两圆公切线的条数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 考点四 圆与圆的位置关系 解析 (2)圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程为_______________,公共弦长为_____________. x-2y+4=0 2 解析 两圆公共弦长的求法 求两圆公共弦长,先求出公共弦所在直线的方程,在其中一圆中,由弦心距d,半弦长,半径r所在线段构成直角三角形,利用勾股定理求解. 【训练3】　(1)(多选题)已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=25,圆C2:(x+1)2+(y+a)2=4,若圆C1与圆C2内切,则实数a的值是(　　) A.-2 B.2 C.-1 D.1 解析 (2)(2026·长沙模拟)已知A(4,1),B(2,2),C(0,3),若在圆x2+y2=r2(r>0)上存在点P满足|PA|2+|PB|2+|PC|2=13,则实数r的取值范围是_____________. 设P(x,y),由|PA|2+|PB|2+|PC|2=13,得(x-4)2+(y-1)2+(x-2)2+(y-2)2+x2+(y-3)2=13,得x2+y2-4x-4y+7=0,即(x-2)2+(y-2)2=1,所以点P的轨迹是以(2,2)为圆心,1为半径的圆,记该圆为圆E,E(2,2).记圆x2+y2=r2(r>0)为圆O,O(0,0),若在圆x2+y2=r2(r>0)上存在点P满足|PA|2+|PB|2+|PC|2=13,则圆E和圆O有公共点.连接OE,则|OE|-1≤r≤|OE|+1,解得2-1≤r≤2+1. 解析 [2-1,2+1] 1.(2024·北京高考)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为 (　　) A. B.2 C.3 D.3 解析 2.(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=(　　) A.1 B. C. D. 圆的方程可化为(x-2)2+y2=5,圆心C(2,0),半径r=,M(0,-2)与C(2,0)之间的距离d=2,所以sin==,cos=,sin α=2sincos=2× ×=.故选B. 解析 3.(2021·新高考Ⅰ卷)(多选题)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(　　) A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时,|PB|=3 D.当∠PBA最大时,|PB|=3 由题意可知直线AB的方程为+=1,即x+2y-4=0,则圆心(5,5)到直线AB的距离d==>4,所以直线AB与圆(x-5)2+(y-5)2=16相 离,所以点P到直线AB的距离的取值范围为,因为-4∈(0,1),+4∈(8,9),所以选项A正确,选项 B错误.过点B作圆的两条切线,切点分别为P1,P2, 如图,当点P在切点P1的位置时,∠PBA 解析 最小,当点P在切点P2的位置时,∠PBA最大,易知|P1B|=|P2B|,圆心(5,5)到点B的距离为,圆的半径为4,所以|P1B|=|P2B|== =3,故选项C,D均正确.故选ACD. 解析 4.(2021·新高考Ⅱ卷)(多选题)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　　) A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切 圆心C(0,0)到直线l的距离d=,若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以d==|r|,所以直线l与圆C相切,故A正确.若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以d=>|r|,所以直线l与圆C相离,故B正确.若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=<|r|,所以直线l与圆C相交,故C错误.若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d==|r|,所以直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD. 解析 5.(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线l:x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值___________________________________. 2 解析 6.(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于直线y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是_____________. 解析 由得两圆公共弦所在直线方程x-y+2=0.又圆x2+y2=4的圆心到直线x-y+2=0的距离为=.由勾股定理得弦长为2=2. 解法一(代数法):由消去y,整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,因为Δ=16m2+20>0,所以直线l与圆相交. 解法二(几何法):由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离d=<1<,故直线l与圆相交. 解法三(点与圆的位置关系法):直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,所以直线l与圆相交. 根据题意有2b=a+c,即a-2b+c=0,所以直线ax+by+c=0过点M(1,-2).设圆x2+y2+4y-1=0的圆心为C,连接CM,则AB⊥CM时,|AB|最小,将圆的方程化为x2+(y+2)2=5,则C(0,-2),所以|MC|=1,所以|AB|的最小值为2=4,故选C. 圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0的圆心为C2(3,4),半径r2=4,则|C1C2|==5=r1+r2,故两圆外切,则两圆公切线的条数为3. 联立两式相减并化简,得两圆公共弦所在直线的方程为x-2y+4=0.设两圆相交于A,B两点,则A,B两点的坐标满足方程组所以|AB|==2,即公共弦长为2. 由题可知圆心C1(a,-2),半径r1=5,圆心C2(-1,-a),半径r2=2,因为圆C1与圆C2内切,所以|C1C2|==|r1-r2|=3,解得a=-1或a=2. 化圆的方程为标准方程,得(x-1)2+(y+3)2=10,所以该圆的圆心(1,-3)到直线x-y+2=0的距离为==3.故选D. 设点C到直线AB的距离为d,由弦长公式,得|AB|=2,所以S△ABC=×d×2=,解得d=或d=,又d==,所以==,解得m=±2或m=±. 因为kAB=,所以直线AB关于直线y=a对称的直线方程为(3-a)x-2y+2a=0.由题意可知圆心为(-3,-2),且圆心到对称直线的距离小于或等于1,所以≤1.整理,得6a2-11a+3≤0,解得≤a≤. $