河南南阳市方城县第一高级中学2026届高三下学期模拟预测数学试题

**基本信息** 高中数学三模试卷，覆盖复数、椭圆、立体几何等核心模块，通过折叠问题、存在性探究等设计，考查空间观念、推理能力与创新意识，适配高考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数、集合、椭圆、正态分布|注重基础辨析，如向量数量积结合方程思想| |填空题|3/15|导数极值、函数对称|突出抽象能力，如双函数对称点问题| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、数列、双曲线、函数综合|综合性强，如立体几何折叠（空间观念）、函数与概率结合（模型意识）|

数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数 则|z|= A.29 B.5 C. D. 2.已知集合A={0,1,2,3,8,9}, 则A∩B= A.{1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{3,8,9} D.{0,3,8,9} 3.已知F₁,F₂为椭圆 的两个焦点，过F₁ 的直线交椭圆于A，B两点，若 则|AB|= A.8 B.7 C.5 D.3 4.已知函数 则 是“f(x)的图象关于点(x₀,0)对称”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知平面向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=|c|=4,则a·b+a·c+b·c= A.-36 B.-24 C.-18 D.-12 6.已知m>0,n>0,且m+n=1,则 的最小值为 A.12 B.11 C.10 D.9 7.对一排7个相邻的格子进行染色.每个格子均可从红、绿两种颜色中选择一种，要求不能有相邻的格子都染绿色，则满足要求的染色方法共有 A.33种 B.34种 C.68种 D.72种 8.在棱长为2的正方体 中，点P 是棱 C₁D₁的一点，则三棱锥 P-ABD 外接球的表面积的最小值为 A.12π B.11π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.若随机变量X 服从正态分布X(3,σ²),且P(X≤4)=0.65,则P(2<X≤3)=0.15 B.一组数据8,10,11,12,13,16,18,19,20,24的60%分位数为16 C.对具有线性相关关系的变量x，y，利用最小二乘法得到的经验回归方程为 若样本点的中心为(m,2.8),则实数m的值是-4 D.已知一组数据x₁,x₂,…,x₁₀的方差为3,则 的方差也为3 10.已知函数f(x)与g(x)及其导函数f'(x)与g'(x)的定义域均为R,f(x)是偶函数,g(x)的图象关于点(-1，0)对称，则下列说法正确的是 B. C.g(f'(x))=-g(2+f'(-x)) D. f(g'(-2-x))=f(g'(x)) 11.已知抛物线 的焦点为F，过点 P(-2，0)且斜率为k的直线与C交于M，N两点，则下列说法正确的是 A. k的取值范围为(-1,0)∪(0,1) B. C.若|NF|=2|MF|,则 或 D.若∠PFM=∠NFM,则 或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若 则 13.已知函数 在x=2处取得极值，则 f(x)的极小值为 . 14.已知函数 的图象上有且仅有两个不同的点关于直线 y=2的对称点在 y=kx+2的图象上，则k的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为 且 tan Btan C=2. (1)求 cos A 的值; (2)若△ABC的外接圆的半径为 求△ABC的周长. 16.(本小题满分15分) 如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=3,BC=DC=1,点E是边AB上的一点,且AE=2EB,沿DE将△ADE折起,使得点A 到达点 P 的位置,且 如图2所示，点 F，G分别为线段BC，PC的中点. (1)求证:PD⊥EB; (2)求平面 EFG 和平面 PCD 的夹角的正弦值. 17.(本小题满分15分) 在数列{}中, 且 (1)求证：数列 为等比数列； (2)记数列{}的前n项和为 ,是否存在正整数p,q(p<6<q),使得,,成等差数列?若存在，求 p，q的值；若不存在，说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 18.(本小题满分17分) 已知双曲线 的右顶点为A(2，0)，离心率为 (1)求 E 的方程; (2)过点 P(2,1)的直线l与E 交于B,C 两点. (i)若△ABC 的面积为 求直线l的方程； ( ii)已知直线AB,AC分别与y轴交于M,N两点,求△AMN 的重心的坐标. 19.(本小题满分17分) 已知函数 (1)若a=3,求 f(x)的图象在x=1处的切线方程; (2)若f(x)≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求a的取值范围; (3)不透明的口袋中装有编号分别为1,2,…,n(n≥2,n∈N*)的n个小球，小球除编号外完全相同.现从中不放回地任取2次，每次取1个球，记取出的2个球的最大编号的倒数为随机变量X， 求证:∀n≥2且 学科网（北京）股份有限公司 $数学参考答案 1D年效己382i则1e=VF-5,故选D 2A依题意B={女3≥0=(03]，又A=01,238,9).所以AnB=1,23).放选人 3B由亏+若=1，即若+号=1，可得a=4,根据简明的定义RA+BRA+F,Bl+R,B引=a=16,所以 IAB引=|F1A|+|F,B引=7.故选B 4A令分x一竞=受k∈Z,解得x=音+k∈乙即/x)的对#称中心（晋+x0)kEZ.所以"0=2x+吾k∈Z 是“∫(x)的图象关于点（心，0）对称"的充分不必要条件.故选A 5.C因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,即a2++2+2(a·b+a·c十b·c)=2+4+4+ 2(a·b十a·c十b·c)=0,解得a·b叶a·c十b·c=-l8.故选C 6c由题意知+叶2_1业++2=+丹+≥2√-·受+6=10，当组仅当0-兴即m=号n=宁 n n n 时等号成立，故4+m十2的最小值为10.故选C 7.B7个格子涂色，相邻都不涂绿色，包合的情形如下：第一类：7个格子都涂红色，共1种，第二类：7个格子有6个格子 涂红色有C}=7种：第三类：7个格子有5个格子涂红色有CG=15种：第四类：7个格子有4个格子涂红色有C心=10种： 第五类：7个格子有3个格子涂红色有1种.综上，共有1十7十15十10十1=34种.故选B. 8.C如图，连接AC,交BD于点E,易得E为△ABD的外心，连接A,C,B,D,交于点F,易知 D EF⊥平面ABD.则三楼锥P·ABD的外接球球心O在EF上设△PCD的外接圆圆心为 O',故OW⊥平面PCD,又BC⊥平面CCDD.得O)∥BC,又易得E,F分别是BD,B,D, 的中点，所以)=L设△PCD的外接圆半径为r,三梭惟P~ABD的外接球半径为R.则 R=1tP,设PG=xe[0.2],所以5am-=2号P,PDinCPD.所以3ZC 0 心P-压五.又，=2m-n放- 4 -4x+8)+4设x)=(-4x+8(2+40.则/(x)=4(2-32+6x-4),设g(x)=∫(x).则g(x) 16 =12(x2-2x十2)>0.所以了(x)在[0,2]上单递增，又/(1)=0，所以∫(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单 调递地，所以x)=I)=2,所以()m=瓷故《R)=错所以三接维P-BD外接球的表面积的最小值 为标×号-故选C 9.AC因为随机变量X服从正态分布X(3.d),P(X≤4)=0.65，所以P(2<X≤3)=P(X≤3)-P(X≤2)=P(X≤4) 一P(0X<3)=0.65-0.5=0.15,故A正确：这组数据总共有10个数，由于10X60%=6,因此60%分位数为16十18 2 17,故B错误因为经验回归方程为y=0.3x一m,样本中心为(m,2.8),所以2.8=0.3m一m,解得m=一4，故C正确： 设，m的平均数为，方差为子，则x=t十子=[幻-)1+(。-z1十…十 (红0一门=3所以宁1+2宁+2分m+2的平均数为号+2，所以方差为（分1+2-宁7-2）'十 (宁t2-方-2)八++（分+2-3-2门=寸x[a-+(n-z++m-)1=日 子，放D结误故选AC 10.ABD因为g9=一log3,又∫(x)是偶函数，所以∫(log3)=/(lg49),放Λ正确，因为g(.x)的图象关于点 (-1,0)对称，所以g(-2-x)=-g(x),又1g12=-lo8z12=-log3-2,所以g(-2-log3)=-g(lDk3).即 g(log3)十g(l8512)=0,故B正确；若∫(x)=2,g(x)=x十1，此时(.x)=2,所以g(（x))=2x十1， g(2十∫'(-x))=2-2x十1=-2x十3，故C错误：g(-2-x)=一g(x)两边求导得-8（-2-r)=一g(x),即 g'(-2-x)=g'(x),所以八8(-2-x)=f八g(x),故D正确.故选ABD 【韵学参考答察 第1页（共4页）】 1.ABC直线MN的方程为y=A(x+21.由=8T2得y-8y+1=0.所以{6F”60. 解得-1<k<1且 k≠0，因此k的取值范图为（一1,0）U(0,1),故A正确：易得点P(一2,0)在C的惟线上，过M,N作准线的垂线，垂足 分别为D.E则MD/NE.MD1-MF1,NE=N时，因此别=架-，即沿=别放B正确： 1NF=2MF10儡=品-=宁设Mn).am.则为-2面+%=是 ,为=16，联 立解得女=士三，故C正确：由盟意知点M在点N的左侧，直线MF的斜率w一产2直线NF的斜串0一 r+如高+产空+ 2y业-4(n十） （0-2)(-2) (-2)(-2)=0,所以∠MFP=∠NFx,又 43 -4⑤ ∠PFM=NM,所以∠P=子所以点M()成M(景，-9)所以=兰-皮 3= 号+ 2 -咨放D错枚法ABC l2.-2 由题意知m(0+)=巴础》=2解得1a0=宁所以0 cos0 2 2 sim(g-平） 号(sn0-cos0y an0-= -32 2 13.一3由题恋知了(x)=2.x(x一a)十2=x(3.x一2a),因为函数∫(.x)在x=2处取得极值，所以∫(2)= 2(3X2-2a)=0.解得a=3.所以当<0或2>2时，(x)>0,当0<z<2,(.x)<0,所以∫(x)在(-∞，0)上单 阴逆增，在(02)上单测递减.在(2，十∞)上单胸递增，所以∫(x)=∫(2)=22×(2-3)+1=一3. 14.(-是-] y=kx十2关于直线y=2的对称直线为y=一kx十2，则题设等价于函数∫(x)=√一(.x一3)产十3 的图象和y=一k.x十2的阳象有两个交点.易得y=∫(x)=√一（一3）F+十3夺价于(2一3)7十(y一3)=1（≥3），由 1一士2=1，解得及=-是或长=0以含》.又当直线y=-:+2过点(2.3)时，A=-合所以长的取位范图 +1 是(-子-] 15.解，山由三角形的面积公式可彩S=宁csnA=入则ciA=2, 由正弦定理得3 sin Bsin Csin2A=2siA.又sinA≠0.所以sin Bsin C=号 31 2分 因为n n C=2.所以温8o名-2所以BosC=寸 4分 所以cosA=-cos(B+O=-(ososC--sin Bsin)C=子 …6分 (2)因为c0sA=号，A∈(0.x),所以inA=-cosn=22 由正孜定理得品A产品=C=2×=8 8 4 所以u=2nA=36=nBc=4nC …7分 所以k=ynB,mG=sin Bin C=×号= 8 34 …9分 由余弦定理得a2=B十2-2 xcos A,则9=(b十c)2-2c一2 bccos A, -2X2-2X22义解得b+c=33,… 12分 所以△BC的周长为a十b十c=3十35.… 13分 16.(1)证明：在梯形ABCD中，AB∥CD,∠ABC=90°，AB=3,BC=DC=1,点E是边AB上的一点，且AE=2EB,所以 DC∥EB.DC=EB.所以四边形EBCD是正方形，所以DELAB,故DE⊥EB.DE⊥EP,… 1分 连接EC,易科EC=√2，又EP=2,PC=√6，所以EP十EC=PC,故EP⊥EC,… 2分 又ED∩EC=E,ED,ECC平面EBCD,所以EP⊥平面EBCD.… 3分 又EBC平面EBCD,所以EP⊥EB,… 4分 又EP∩ED=E.EP,EDC平面EPD,所以EB⊥平面EPD, 5分 又PDC平面EPD,所以PD⊥EB. 6分 【数学参考答索 第2所（共4）】 (2)解：以E为坐标原点，以EB,ED,EP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图 所示， 则E(0,0,0),B(10,0),P(0,0,2),D0.1.0),C(1,1,0),又点F,G分别为线段BC,P℃的中 点，所以F(1,合0）.G(分，，).设平面EG的法向量为m=(x,y,z),又示- (1分0）武=（分 扇·m=计=0， 所以 成m-+计=0 1 令x=2,解得y=一42=1， 所以平面EFG的法向量为m=(2,一4,1). …8分 设平面PCD的法向量为n=(a,b,c),又D心=(1,0.0)，D=(0,-1,2), DC·n=a=0. 所以 D·n=-b+2c=0, 令b=2,解得a=0,c=1,所以平面PCD的法向量为n=(0,2.1).…10分 设平面EG和平面PCD的夹角为0，所以cos0=los(m,m=2X-4)+1X=o5 5X√2I 15 13分 所以血=V个而=2酒平面R和平面P0D的夹角的正孩值为 15分 17.(1)证明：因为a1=-1a=子且4ut:=4t1-a,0nEN),所以4a=4如：-4解得=0， 因为4t:=4aa+1-an(n∈N),所以2(2an-aa+1）=2u+1一4n,又2az一a=l≠0， 所以数列(2at1一Q)是以1为首项，分为公比的等比数列.…5分 1 (2)解：由(1)得2a+1一a,=2,则2"a+1-2'am=1.所以数列(2an)是等若数列， 所以2r0,=1-2每=多是。 …7分 所以=号24学+学+…+异所以8-号+2学+学+叶号 2 24 5知-中+实学中门学音as-六-分 1-7 24 由SSS成等差数列，科一号=一品一品整理得分+是=最 I11分 5+号=品铅<是又1s6,pEN·,日-是>>>p=5不等式成立。 因此+= 13分 即号=克令d=会则d+1-d=公号≤0从面小=6>h>>6>…,最然h=克 即g=8,所以存在p=5,9=8,使得SS.S,成等差数列. 15分 (a=2, 18.解：(1)由题意知C=5 a 2 1分 (c2=a2+b2. 解得a=2,b=1,c三5， 2分 所以C的方程为号-y2=1 3分 (2)(1)显然直线1的斜率存在，设直线1的方程为y=k(x一2)十1. 发1. 得（子-）2-(2k-4级)x一4+级-2=0， (y=k(.x-2)十1 所以子-≠0.△=(2处-42)-4（号-）-4+状-2)=2-4>0， 设B).C(),则x1十=2张-坐.，=二4+4-2 …5分 寻- - 所以4=Va+a-药-得。 所以5=古×P川X1a-a=合×1×爵=2得， …8分 科(k十2)(4一6k十11)=0，解得=一2，满足题意，故直线l的方程为2x十y5=0.…10分 (I)设M(0,m),V(0,m),不妨设m>,则直线AM:y=-受（x一2)， =-受(x-2) 由K 得(1-m)x2+4n2x-4m2-4=0. - 则A=(4mr)2+4(1-m2)(4m2+4)=16,xx=4+1) m2-1 则m=2出，8=2 m2-1 m2-1 11分 同理x=2+1业 史加 12分 所-(-出1).市--2告出1-) 又P,B,C三点共线，则有P币∥P元， 则-2出)1-)--2Ψ-兴】 得m十n十2=0，所以MN的中点为定点H(0,一1)，… 15分 记△MN的或心为6.所以衣-号不i.即C-2)=号（-2，-1).解科6=号%=-号， 即△AMN的心的坐标为（号，-号）。 17分 19.(1)解：若a=3,则f(x)=3c-1-x2,所以∫(1)=3-1=2，了(x)=3c-J-3.x2, 所以」(1)=3-3=0，所以∫(.x)的图象在.x=1处的切线方程为y一2=0.…3分 (2)解：当a≤0时c一≤0，>0，此时∫(.x)<0,不符合题意；… 4分 当a>0时，由∫(.x)≥0，得ac-1≥z,所以ln(ac)≥ln,即x-l十lna≥alnx,即x-1+lna-alnx≥0，故 f(.x)≥0对任意的x∈(0，十o)恒成立，即x一1十lna一lnx≥0对任意的.r∈(0，十∞)恒成立.…6分 令g(x)=x-1+lna--alnz,所以g'(x)=1-9=二4，当x∈(0，a)时，g'(x)<0.当.x∈(a,+o)时g(x)> 0,所以g(.x)在(0a)上单递减，在(a,十o∞）上单测逆增，所以g(.x)=g(a)=a一1十lna一alna= a-1)1-na)≥0.即-120或a-1≤0， 1-lna≥0l-lna≤0. …8分 解得l≤≤c,所以a的取值花图处[1，c].… …上9分 （3)证明：P(X=大)=已k=2…,.… 11分 所以()=含P(x=安)=古×得+片×岩+…+×"号=(2分+号++)= [-1-(合+宁++川 13分 由(2)可知当a=1时，x)=e1-≥0，当组仅当=1时答号成立，令x=1+大（从=2.3…，m). 则c>1+,即>n生k=2.3…… 14分 所以2+}+…+}>h2岁+h牛++h中=n史 片专-等 …16分 放yo22且aEN,EX<22空 n(n-1) 17分 【数学参考答案 第4页（共4页）】