精品解析：陕西宝鸡市姜谭高级中学2025-2026学年第二学期期中质量检测高一数学试题

姜谭高中2025-2026学年第二学期期中质量检测试题 高一数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：高敏 审题人：曾淑萍 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 复数的虚部是（ ） A. 1 B. C. -1 D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 3. 已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱 B. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C. 棱柱的侧棱相互平行 D. 正棱柱的高与侧棱长相等 5. 如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角的对边分别为，若，，，则此三角形（ ） A. 无解 B. 有两解 C. 有一解 D. 解的个数不确定 7. 已知，为两个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，，且，，则 8. 设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 二、多选题：本题共3小题，每小题6分.共18分. 9. 已知复数，，则（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设向量，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 与共线的单位向量是 B. 的最小值为3 C. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是 D. 若，则 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点是棱上的一个动点（异于点，），若平面与棱交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 延长与直线交于点，延长与直线交于点，则、、三点共线 C. 当平面时，点的位置不唯一 D. 四棱锥的体积恒为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，点在线段上，点在线段上，且满足，．若（，），则的值为_____． 13. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为_____． 14. 用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做的冷水塔塔顶（铁皮的正反面都要涂漆），其高是，底面的边长是，已知每平方米需用油漆，共需用油漆__________kg.（精确到） 四、解答题：本题共6小题.共77分. 15. 已知复数，. （1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围； （2）若复数为纯虚数，求的虚部. 16. 已知的周长为18，，. （1）求； （2）求的面积. 17. 如图，△ABC是正三角形，在等腰梯形ABEF中，，.平面ABC⊥平面ABEF，M，N分别是AF，CE的中点，. （1）证明：平面ABC； （2）求三棱锥N－ABC的体积. 18. 如图，在中，，，．设，. （1）用，表示： （2）求证：，，三点共线； （3）若，，，求的余弦值． 19. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且 （1）求证：D，B，F，E四点共面； （2）求证：平面； （3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 姜谭高中2025-2026学年第二学期期中质量检测试题 高一数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：高敏 审题人：曾淑萍 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 复数的虚部是（ ） A. 1 B. C. -1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的虚部的定义求解. 【详解】由复数虚部的定义得复数的虚部是. 故选：C 【点睛】本题主要考查虚部的概念，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以. 所以，故. 3. 已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简得到，利用投影向量的公式进行求解. 【详解】因为，所以，化简得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱 B. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C. 棱柱的侧棱相互平行 D. 正棱柱的高与侧棱长相等 【答案】B 【解析】 【详解】A选项：底面是正多边形的直棱柱，侧棱垂直底面，符合正棱柱定义，说法正确； B选项：正棱锥要求底面是正多边形，且顶点在底面的投影为底面中心，仅底面是正多边形不能判定为正棱锥，说法不正确； C选项：棱柱的侧棱相互平行且相等，是棱柱基本性质，说法正确； D选项：正棱柱属于直棱柱，侧棱垂直底面，高与侧棱长相等，说法正确. 5. 如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，由正弦定理可得，然后在中，由，即可得到结果. 【详解】在中，， 由正弦定理可得，，则， 在中，. 故选：C 6. 在中，角的对边分别为，若，，，则此三角形（ ） A. 无解 B. 有两解 C. 有一解 D. 解的个数不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理，即可判断. 【详解】由正弦定理可知，，即，得， 因为，所以或， 所以此三角形有两解. 故选：B 7. 已知，为两个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，，且，，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面位置关系中平行的有关判定和性质逐一判断即可. 【详解】对于A，由面面平行的定义可知，若两个平面平行，则其中一个面内的任意一条直线平行于另一个平面，故A正确； 对于B，若则或，故B错误； 对于C，若，，则或异面或 相交，故C错误； 对于D，若，且，则，或，故D错误， 故选：A. 8. 设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理可得出的值，由平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式化简得出的值，结合三角形内角的取值范围得出、的值，进而可得出角的值，即可得出结论. 【详解】因为，所以， 因为，故， 因为，即， 即，化简得， 因为，故，可得，则，故， 因此，为直角三角形， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分.共18分. 9. 已知复数，，则（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】应用特殊值判断A、D；由判断B；若，且，得，分类讨论判断C. 【详解】对于A、D：当时，，但，故A错误； 又，故D错误； 对于B：由，可得，故B正确； 对于C：设，且， 由，可得，则， 若，则或；若，则， 当，则， 当，则， 当，，则， 综上，，故D正确. 故选：BC. 10. 设向量，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 与共线的单位向量是 B. 的最小值为3 C. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A：与共线的单位向量有两个，为，故A错误； 对于B：，当且仅当时取到等号，即最小值为3，故B正确； 对于C：若与的夹角为锐角，则，即且，故C错误； 对于D：若，则，即，故D正确. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点是棱上的一个动点（异于点，），若平面与棱交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 延长与直线交于点，延长与直线交于点，则、、三点共线 C. 当平面时，点的位置不唯一 D. 四棱锥的体积恒为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】使用点、线、面的位置关系判断选项，等体积法，线面平行的性质定理判断选项. 【详解】因为平面平面，平面，但点不在直线上，故平面， 所以直线与直线是异面直线，选项正确； 延长与直线交于点，则点在平面内，也在平面内， 同理点在平面内，也在平面内，点在平面内，也在平面内， 故点、、在平面和平面的交线上，故、、三点共线，选项正确； 若平面，又平面，平面平面， 则，又因为，则四边形是平行四边形，所以， 由正方体的对称性，此时平面与棱、交于点、， ，，故点是的中点，选项C错误； ，因为三棱锥和三棱锥的底面积是定值（的面积），高等于点或点C到平面的距离为定值， 所以是定值，所以四棱锥的体积恒为定值，选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，点在线段上，点在线段上，且满足，．若（，），则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由向量的线性运算求解. 【详解】 所以（的系数），（的系数） 则 13. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原规则，将直观图中相关线段长度按“平行于轴长度不变，平行于轴长度加倍”还原，再通过勾股定理计算出原四边形各边长度，即可求得最长边. 【详解】将直观图还原为原图，如图： 在直观图中，，则， 故在原图中，，， 所以， 而，所以原四边形中最长边的长度为9. 14. 用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做的冷水塔塔顶（铁皮的正反面都要涂漆），其高是，底面的边长是，已知每平方米需用油漆，共需用油漆__________kg.（精确到） 【答案】## 【解析】 【分析】求出正四棱锥的侧面积，因为铁皮的正反面都要涂漆，所以共需用油漆，算出即可. 【详解】 如图，正四棱锥表示冷水塔塔顶，表示底面中心，是高，是斜高， 则，底面的边长是，在中，由勾股定理得，， 所以， 因为铁皮的正反面都要涂漆，所以共需用油漆， 由精确到，实际问题向上取整，可得共需用油漆. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题.共77分. 15. 已知复数，. （1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围； （2）若复数为纯虚数，求的虚部. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据复数的运算公式和复数的几何意义确定数在复平面内对应的点的坐标，由条件列不等式求的取值范围；(2)根据纯虚数的定义列方程求，由此可求的虚部. 【小问1详解】 ， 在复平面内对应的点在第二象限，则 . 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 . 为纯虚数，则且， 所以， 此时，所以的虚部为. 16. 已知的周长为18，，. （1）求； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为周长为，. 所以，即. 由余弦定理可得. 所以，，解得. 【小问2详解】 因为， 所以 由（1）可知 所以. 17. 如图，△ABC是正三角形，在等腰梯形ABEF中，，.平面ABC⊥平面ABEF，M，N分别是AF，CE的中点，. （1）证明：平面ABC； （2）求三棱锥N－ABC的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，证明平面平面，原题即得证； （2）取AB的中点O，连接OC，OE，设，由勾股定理即可求出，进而可求解三棱锥N－ABC的体积. 【小问1详解】 取CF的中点D，连接DM，DN， ∵M，N分别是AF，CE的中点，∴，， 又∵平面ABC，平面ABC，∴平面ABC. 又，∴，同理可得， 平面ABC. ∵平面MND，平面MND，， ∴平面平面ABC. ∵平面MND，∴平面ABC. 【小问2详解】 取AB的中点O，连接OC，OE. 由已知得OAEF且OA=EF，∴OAFE是平行四边形，∴OEAF且OE=AF ∵△ABC是正三角形，∴OC⊥AB， ∵平面ABC⊥平面ABEF，平面平面ABEF＝AB，∴OC⊥平面ABEF， 又平面ABEF，∴OC⊥OE. 设，， 在Rt△COE中，由，解得，即. 由题意∠FAB＝60°，M到AB的距离即为M到平面ABC的距离 又平面ABC，∴. 18. 如图，在中，，，．设，. （1）用，表示： （2）求证：，，三点共线； （3）若，，，求的余弦值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算法则进行运算即可； （2）计算可得，从而得证； （3）根据公式及向量数量积的运算律，计算即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， ， 所以. 【小问2详解】 因为，所以是中点，所以. 由（1）知，， 又与有公共点，所以，，三点共线. 【小问3详解】 已知，，，则，， 所以. ， . ， ， . 又 . 所以. 19. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且 （1）求证：D，B，F，E四点共面； （2）求证：平面； （3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，进而可证即可证明； （2）连接、分别交于点H、O，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可； （3）根据题意，首先,则，再由时，根据面面平行的判定证明即可． 【小问1详解】 连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以， 又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以D，B，F，E四点共面； 【小问2详解】 连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； 【小问3详解】 存在，且，理由如下： 因为， 所以， ， 又， ， 平面，平面， 平面， 延长交于，延长交于，连接， 为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，， ，又，即， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 平面平面， 所以时，平面平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $