陕西省洛南中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题

**基本信息** 以“名师工作室布置”“村BA知识竞赛”等真实情境为载体，融合排列组合、概率统计、函数导数等知识，注重数学应用与文化传承，体现用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|排列组合（1题）、条件概率（3题）、正态分布（9题）|杨辉三角（11题）渗透数学文化，多选第10题综合函数极值与切线| |填空题|3题15分|组合数计算（12题）、分组分配（13题）|14题二项式系数考查逆向思维| |解答题|5题77分|二项式定理（15题）、导数应用（16题）、概率期望（17题）、分布列（18题）、不等式证明（19题）|17题以知识竞赛为情境，19题（3）问体现创新应用，呼应高考导数压轴题命题趋势|

2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 6 选项 A B D D B B 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 选项 ABD AC ABC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 13.36 14.-144(2分)，0(3分) 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.（本题满分13分) 解：(1)因为二项式系数的和为64，所以2”=64，解得n=6.4分 (2)由(1)知n=6,则二项式变为(x+3, 12 由二项式定理可得展开式的通项为工，1=Cx(白=2C5x” …….6分 令6-2r=2,得r=2,故含x2的项为2Cx2=60x2 (3)令x=1,则各项系数和为(1+2)°=36=729 ..13分 16.(本题满分15分) 解(1)当a=3时，e)=-子+2+12x+3, f-3到=-3+(-3+12x(-3+3=-6 .2分 因为f"(x)=-2x2+2x+12,则f'(-3)=-2×(-3)2+2×(-3)+12=-12, ..4分 所以曲线y=f()在x=-3处的切线方程为y-(-6)=-12(x+3),即12x+y+42=0...6分 第1页共4页 (2)f(x)的定义域为R,因f'(x)=-2x2+2x+12=-2(x+2)(x-3), 令f(y)=0,得x=-2或x=3,列表如下： （-0,-2) 2 (-2,3) 3 (3,+w) f'(x) 0 0 f(x) 单调递减 a、4 单调递增 a+27 单调递减 3 。。。。。。。。。。。 ......9分 因此，当x=-2时，有极小值，并且极小值为(-2=a-,…1分 当x=3时，f(x有极大值，并且极大值为f(3)=a+27,.…….….….13分 因为f(x)的极大值与极小值之和为16， a+27-2a号16，解得a- 所以a-4 6………… ……………….15分 17.(本题满分15分) 解：(1)由题知，令“乙回答问题的正确个数”为，则了~3)， 则乙恰好答对两个问题的概率为P=心〔)兮专 14 ...5分 (2)令“甲回答问题的正确个数”为X,“乙回答问题的正确个数”为Y, 则X所有可能的取值为1,2,3，.…………6分 Cg=2059分 所以(x)=1写2*+3 3 1 52, ...10分 由恩意，随机变量？A3引所以)=3子2， 3 ………….12分 又Dx)=1-2*+(2-23(629x兮号D)=3x子×} 212 33-3’ …….14分 所以E(X)=E(Y),D(X)<D(), 可见乙与甲的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，所以选择甲去参赛更合理..…15分 第2页共4页 18.(本题满分17分) 解(1)设B=“甲同学所选的题目回答正确”，设A,A4,A分别表示事件“所选的题目为篮球相 关知识的题目”、“所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”， 根据题意得P4)P(4)-P(4)广 PA)-,P(4)-子，P(B4)-3； ..3分 所以P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)+P(A)P(B4) 1312,3119 =5×4+2×3+10230… …….7分 (2)由题意可知，X的可能取值为6,1,8,15...………………8分 则x。引) P(x--引+1到1 x=8刚=升-分-》分， P(x=15)=3x2x1-1 43241 ...12分 所以X的分布列为： X -6 1 8 15 1 4 2 ………….……………………………………….…..15分 所以财x)=(-0+1k+贵+1片器 4 24 ….17分 19.(本题满分17分) 解(1D当a=0时，函数闭-x+x+1,定义城为Q+,=1,2分 所以当x∈(0，)时f'(x)<0,当x∈(1，+o)时，f'(x)>0, 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， ………3分 所以f()在x=1处取得最小值，且最小值为f()=2,…….4分 第3页共4页 (2)当x>0时，f(x)≥1恒成立等价于a≥-C恒成立，5分 2x 令()求导得A'6)--g-少 2x2 .7分 令p()=lmr-x-1,则p(x)=1- 当x∈(0,1)时，p(x)>0,p(x)单调递增，当x∈(1，+o)时，p(x)<0,p(x)单调递减， 则p(x)≤p()=-2,即1nr-x-1<0恒成立，.... ……9分 所以当x∈(0,1)时，1(x)>0,当x∈(1，+o)时，1(x)<0, 即h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+)上单调递减， 前以()<返()-分所以a的以信教国为号-】 ....11分 3)由(2)知，en-e≤90，即e-e≤ex>0,所以。之lnx右13分 则≤1女，当且仅当x-1时取等号。 ...14分 所以竖<1-号<1-立贤<1-点 .15分 将以上-1个不等式左右两边分别相加得 竖g+<a-)(伯+2) 即<n-ee22neN） …….17分 第4页共4页 陕西省洛南中学 2025—2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．李老师要从3幅不同的油画、2幅不同的国画和2幅不同的水彩画中各选取1幅布置自己的名师工作室，则不同的布置方案有（ ） A．12种 B．10种 C．7种 D．5种 2.已知随机变量，若，则（ ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 3．在一次跳远决赛中，甲、乙两名运动员打破赛会纪录的概率分别为0.2和0.3，且两人同时打破纪录的概率为0.1，则在乙打破纪录的条件下，甲也打破纪录的概率为（ ） A． B． C． D． 4. 从2所中学、5所小学中选3所学校参加文明卫生学校评比，且至少有1所中学入选，则不同的选法种数为（ ） A.5 B.15 C.20 D.25 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数是（ ） A.5 B.10 C.15 D.20 7. 已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球(取到每个球都等可 能的)，用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（ ） 1 2 3 0.2 A．4 B．5 C．6 D．9 8. 信道中可传输的数字信号为三种之一，传输000的概率为，传输111的概率为，传输222的概率为．由于信道噪声干扰，每个数字被正确接收的概率为，被误收为另外两种数字的概率均为，且每个数字的传输与接收相互独立，则接收的数字序列为012的概率是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．某市为了解高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，则下列说法正确的是（   ） 参考数据：若随机变量，则，，. A. B． C． D． 10. 已知函数，则（   ） A.有两个极值点 B.有3个零点 C.点是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线 11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的，以下关于杨辉三角的叙述正确的是（  ） A．在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数是120 B．第2026行的第1014个数最大 C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．在“杨辉三角”中，当时，从第3行起，每一行的第3列的数字之和为220 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，且，则________. 13. 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种(用数字作答) 14. 已知，则______, ______.(第一个空2分，第二个空3分) 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知的展开式中，二项式系数的和为64，求： （1） ； （2） 含的项； （3） 各项系数和. 16.（15分）已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若的极大值与极小值之和为16.求实数的值. 17．（15分）某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生．该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答，已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的． （1）求乙恰好答对两个问题的概率； （2）请从期望和方差两个数字特征的角度考虑选择哪名同学去参赛更合理? 18.（17分）“村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、. （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得-2分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 19.(17分)已知函数. （1） 当时，求的最小值； （2） 若恒成立，求实数的取值范围； （3） 证明： 1 学科网（北京）股份有限公司 $