精品解析：2026年湖南省岳阳市中考二模考试数学试题

2026年初中学业水平考试适应性测试（二） 数学 温馨提示： 1．本试卷共三大题，24小题，满分120分，考试时量120分钟； 2．本考试分试题卷和答题卡，所有答案都必须填涂或填写在答题卡规定的答题区域内； 3．考试结束，考生不得将试题卷、答题卡、草稿纸带出考场． 一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，满分30分．在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列精美的剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 试估算在哪两个整数之间（ ） A. 1与2 B. 2与3 C. 3与4 D. 4与5 6. 湖南境内主要河流有湘江、资水、沅江和澧水，这四条河流构成了湖南水系的骨架，并最终都汇入洞庭湖．如右图所示，图中阴影部分表示常德市，有两条河流经过该市汇入洞庭湖．现有一艘游轮从洞庭湖出发，随机进入一条河流，则游轮经过常德市的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放置在直尺的对边上，若，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为（ ） A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 21 9. 《九章算术》卷七“盈不足”中记载：今有童子分桃，人得四桃，则余二桃；人得六桃，则缺八桃，问童子与桃各几何？翻译为：现在有一群儿童分桃子，如果每人分4个桃子，就会多出2个桃子；如果每人分6个桃子，就还差8个桃子，求儿童和桃子分别有多少．设儿童有人，根据桃子总数不变，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 点到的距离为4 D. 二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分．） 11. 某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为（单位：个）：5，6，7，8，8，9，10．则这组数据的中位数是________． 12. 平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为______． 13. 如图，要测算池塘两端，之间的距离，先在地面上取一点，然后通过测量分别找到和的中点，，并测得的长，就可测算池塘两端，之间的距离．若的长为10米，则池塘两端，之间的距离是________米． 14. 已知，则代数式的值为______． 15. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝5，BD＝6，则菱形ABCD的面积是_____． 16. 令，其中为整数，为常数且． （1）若时，是关于的反比例函数，则________． （2）下列结论正确的是________．（填写正确结论的序号） ①若是关于的一次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ②若是关于的二次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ③若是关于的二次函数，则其与一次函数的图象一定有两个不同的交点． 三、解答题（本题共8道小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 每年4月23日是世界读书日．为传承先贤文脉，厚植校园读书氛围，引导全体师生“爱读书、读好书、善读书”，某校开展了“书香阅读周”的活动，王老师针对学生的阅读打卡积分进行了调查，他分别从A班和B班各随机抽取10名学生，收集了他们的打卡积分数据： A班：10名学生的积分通过条形统计图展示（见下图） B班：10名学生的积分直接以数据形式给出（单位：分）：7，8，8，8，8，9，9，9，10，10 王老师对所抽取学生成绩进行了整理与分析，并汇总得到了如下表所示的相关数据： A班 B班 平均数 8.2 中位数 8 8.5 众数 8 方差 1.56 0.84 根据以上信息，解答下列问题． （1）补全条形统计图，并直接写出表中，的值：________，________； （2）若9分及9分以上为班级“阅读小达人”，若B班共50人，请估计B班的“阅读小达人”有多少人？ （3）为了让更多同学坚持阅读、爱上阅读，学校将给阅读氛围更好的班级颁发奖状，请根据统计结果，说明A班与B班哪个班级阅读氛围更好．（写出一条理由即可） 20. 为弘扬传统文化，某中学计划开展“戏曲广播体操”活动，为此采购了A、B两种花鼓戏风格的表演服．已知采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元． （1）求A、B两款服装的单价． （2）学校计划用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件．问：最多能采购A款服装多少件？ 21. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，使． （1）求证：是的切线． （2）过点作，垂足为，若，，求的长． 22. 综合与实践：岳阳文庙历史悠久，是传承中华优秀传统文化的重要场所．庙前古银杏挺拔苍劲，孔子像庄严肃穆，承载着深厚的人文内涵．为了在真实情境中运用数学知识解决实际问题感受数学与生活、数学与文化的紧密联系，某校数学社团的同学们想要利用所学的知识测量文庙前银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表． 课题 测量银杏树的高度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图 说明 点，在点的正西方向，． 是银杏树旁的房屋，，，． 是银杏树正西方向的孔子像，借助进行测量，使，，三点在一条直线上，点，在点的正西方向，，． 测量数据 ，，． ，，． ，． （1）第______小组的数据无法计算出银杏树的高度； （2）请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 23. 【问题情境】 在矩形中，点为线段上一点，连接，将沿所在的直线翻折，得到，延长交线段边于点，射线与射线交于点，如图（1）． （1）【问题解决】若，． ①当点是的中点时，求的长； ②当时，求的长； （2）【问题探究】连接，如图（2）．若为直角三角形，且满足，试探究线段与线段的数量关系． 24. 如图：已知抛物线与轴交于原点、点，其顶点为点，抛物线过点，与轴交于点，点与点是轴上的两个动点，且，过点作直线轴，分别交，于点与点，过点作直线轴，分别交，于点与点； （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图（1），请证明：若，则； （3）如图（2），连接，交于点，设面积为，连接，，设，面积分别为，，当且时，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试适应性测试（二） 数学 温馨提示： 1．本试卷共三大题，24小题，满分120分，考试时量120分钟； 2．本考试分试题卷和答题卡，所有答案都必须填涂或填写在答题卡规定的答题区域内； 3．考试结束，考生不得将试题卷、答题卡、草稿纸带出考场． 一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，满分30分．在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列精美的剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式组的解集，再把不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：． 5. 试估算在哪两个整数之间（ ） A. 1与2 B. 2与3 C. 3与4 D. 4与5 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴，即， ∴在3与4之间． 6. 湖南境内主要河流有湘江、资水、沅江和澧水，这四条河流构成了湖南水系的骨架，并最终都汇入洞庭湖．如右图所示，图中阴影部分表示常德市，有两条河流经过该市汇入洞庭湖．现有一艘游轮从洞庭湖出发，随机进入一条河流，则游轮经过常德市的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定总共有4条河流，其中经过常德市的河流有2条；再根据概率公式，用经过常德市的河流数除以河流总数，即可得到所求概率． 【详解】解：由题意可知，共有湘江、资水、沅江、澧水4条河流，其中经过常德市的河流有2条． 根据概率公式，P（游轮经过常德市） 故选：A． 7. 如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放置在直尺的对边上，若，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图， ， 直尺的两边平行， ． 8. 等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为（ ） A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算符合条件的周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当为腰长时，三角形三边长为3，3，7， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 情况2：当为腰长时，三角形三边长为3，7，7， ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴三角形的周长为． 9. 《九章算术》卷七“盈不足”中记载：今有童子分桃，人得四桃，则余二桃；人得六桃，则缺八桃，问童子与桃各几何？翻译为：现在有一群儿童分桃子，如果每人分4个桃子，就会多出2个桃子；如果每人分6个桃子，就还差8个桃子，求儿童和桃子分别有多少．设儿童有人，根据桃子总数不变，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设儿童有人， 根据题意得，． 10. 如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 点到的距离为4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由作图得，平分 ∵， ∴点到的距离，故C正确； 根据题意无法得到，，，故A，B，D错误． 二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分．） 11. 某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为（单位：个）：5，6，7，8，8，9，10．则这组数据的中位数是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，，，， 这组数据共有个，为奇数个，位于最中间的数为第个数， 因此这组数据的中位数是． 12. 平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴的对称点的坐标为． 13. 如图，要测算池塘两端，之间的距离，先在地面上取一点，然后通过测量分别找到和的中点，，并测得的长，就可测算池塘两端，之间的距离．若的长为10米，则池塘两端，之间的距离是________米． 【答案】20 【解析】 【详解】解：∵和的中点分别为点，， ∴是的中位线 ∴（米）． 14. 已知，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键． 将已知代数式的值整体代入求解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝5，BD＝6，则菱形ABCD的面积是_____． 【答案】24 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OA，再根据菱形的对角线互相平分求出AC，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD＝3，OA＝OC，AC⊥BD， 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°， 根据勾股定理，得：, ∴AC＝2OA＝8， ∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝×6×8＝24. 故答案为：24. 【点睛】此题考查菱形的性质，勾股定理求线段，菱形的面积有两种求法：①底乘以高；②对角线乘积的一半，解题中根据题中的已知条件选择合适的方法. 16. 令，其中为整数，为常数且． （1）若时，是关于的反比例函数，则________． （2）下列结论正确的是________．（填写正确结论的序号） ①若是关于的一次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ②若是关于的二次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ③若是关于的二次函数，则其与一次函数的图象一定有两个不同的交点． 【答案】 ①. ②. ①②##②① 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数定义列方程求解即可； （2）分别结合一次函数、二次函数的定义，利用函数性质和联立方程判断各结论是否成立． 【详解】解：（1）当时，， ∵是反比例函数， ∴， 解得； （2）①若是关于的一次函数， ∵， ∴， ∴， 当时，即时，， ∴函数恒过定点，该点在第二象限， ∴函数图象一定经过第二象限，故①正确； ②若是关于的二次函数， ∴， ∴， 当时，， ∴函数过点， ∴函数图象一定经过第二象限，故②正确； ③联立得，， 整理得：， ∴当时，，此时方程有两个相同的实数根 ∴此时只有一个交点，故③错误． 综上所述，正确的结论是①②． 三、解答题（本题共8道小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【详解】解： ， ∵ ∴原式． 19. 每年4月23日是世界读书日．为传承先贤文脉，厚植校园读书氛围，引导全体师生“爱读书、读好书、善读书”，某校开展了“书香阅读周”的活动，王老师针对学生的阅读打卡积分进行了调查，他分别从A班和B班各随机抽取10名学生，收集了他们的打卡积分数据： A班：10名学生的积分通过条形统计图展示（见下图） B班：10名学生的积分直接以数据形式给出（单位：分）：7，8，8，8，8，9，9，9，10，10 王老师对所抽取学生成绩进行了整理与分析，并汇总得到了如下表所示的相关数据： A班 B班 平均数 8.2 中位数 8 8.5 众数 8 方差 1.56 0.84 根据以上信息，解答下列问题． （1）补全条形统计图，并直接写出表中，的值：________，________； （2）若9分及9分以上为班级“阅读小达人”，若B班共50人，请估计B班的“阅读小达人”有多少人？ （3）为了让更多同学坚持阅读、爱上阅读，学校将给阅读氛围更好的班级颁发奖状，请根据统计结果，说明A班与B班哪个班级阅读氛围更好．（写出一条理由即可） 【答案】（1）图见解析，， （2）25名 （3）B班阅读氛围更好．理由：B班的平均分高于A班（答案不唯一，合理即可）． 【解析】 【分析】（1）先求出成绩为10分的人数，再补画出条形统计图即可； （2）用样本估算总体方法求解即可； （3）比较两班平均分或中位数大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：成绩为10分的人数， 补全条形统计图如图所示： 由图可知，得8分的学生最多，故众数为8分，即， ． 【小问2详解】 解：（名）． 【小问3详解】 解：B班阅读氛围更好． 理由：B班的平均分高于A班（答案不唯一，合理即可）． 20. 为弘扬传统文化，某中学计划开展“戏曲广播体操”活动，为此采购了A、B两种花鼓戏风格的表演服．已知采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元． （1）求A、B两款服装的单价． （2）学校计划用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件．问：最多能采购A款服装多少件？ 【答案】（1）A款服装单价为70元，B款服装单价为60元 （2）最多能采购A款服装150件 【解析】 【分析】（1）设A款服装单价为x元，B款服装单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设采购A款服装a件，则采购B款服装件，根据题意列出一元一次不等式求解． 【小问1详解】 解：设A款服装单价为x元，B款服装单价为y元， 根据题意得， 解得 ∴A款服装单价为70元，B款服装单价为60元； 【小问2详解】 解：设采购A款服装a件，则采购B款服装件， 根据题意得， 解得 ∴最多能采购A款服装150件． 21. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，使． （1）求证：是的切线． （2）过点作，垂足为，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数、切线的判定、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，根据直径得到求得，根据等腰三角形的性质得出，推出，根据切线的判定定理即可得出结论； （2）由勾股定理可得，即可得出． 【小问1详解】 证明：连接 是 的直径， 即： 又 是的切线． 【小问2详解】 解：， 即 22. 综合与实践：岳阳文庙历史悠久，是传承中华优秀传统文化的重要场所．庙前古银杏挺拔苍劲，孔子像庄严肃穆，承载着深厚的人文内涵．为了在真实情境中运用数学知识解决实际问题感受数学与生活、数学与文化的紧密联系，某校数学社团的同学们想要利用所学的知识测量文庙前银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表． 课题 测量银杏树的高度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图 说明 点，在点的正西方向，． 是银杏树旁的房屋，，，． 是银杏树正西方向的孔子像，借助进行测量，使，，三点在一条直线上，点，在点的正西方向，，． 测量数据 ，，． ，，． ，． （1）第______小组的数据无法计算出银杏树的高度； （2）请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）三 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知数据判断即可； （2）对于一：先解，设，则，再解即可；选择二：：延长交于点，先解，求出，再即可． 【小问1详解】 解：第三小组的数据无法计算出银杏树的高度，因为数据中只给出了的度数，虽然能证明，但还缺少如的度数，的长度等信息； 【小问2详解】 解：选择一： ∵，， ∴在中， 设，则， ∴， 在中， ∴ ∴ 解得 ∴ 答：银杏树的高度为； 选择二：延长交于点， ∵，， ∴ ∵． ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 在中， ∴ 在中，， ∴ ∴ 答：银杏树的高度为． 23. 【问题情境】 在矩形中，点为线段上一点，连接，将沿所在的直线翻折，得到，延长交线段边于点，射线与射线交于点，如图（1）． （1）【问题解决】若，． ①当点是的中点时，求的长； ②当时，求的长； （2）【问题探究】连接，如图（2）．若为直角三角形，且满足，试探究线段与线段的数量关系． 【答案】（1）①；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据折叠的性质，直接得出答案即可； ②证明，得出，求出，证明，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）分两种情况：当，当，分别画出图形进行求解即可． 【小问1详解】 解：①∵四边形为矩形， ∴，，，， ∵点O是的中点， ∴， 根据折叠可得：； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 【小问2详解】 解：当，点E与C重合时，为直角三角形，如图所示： 根据（1）可得：， ∵， ∴， 设，则，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 即， 整理得：， 解得：或（舍去）， ， ∴； 当，如图所示： ∵， ∴， 设，则，设， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上，或． 24. 如图：已知抛物线与轴交于原点、点，其顶点为点，抛物线过点，与轴交于点，点与点是轴上的两个动点，且，过点作直线轴，分别交，于点与点，过点作直线轴，分别交，于点与点； （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图（1），请证明：若，则； （3）如图（2），连接，交于点，设面积为，连接，，设，面积分别为，，当且时，请求出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据顶点式直接得到顶点，把代入求出b的值即可； （2）先求出，，，，从而求得，，则，再根据，则，所以，由，可得，从而得出结论； （3）先求出直线解析式为，当时，则，则，再求出直线的解析式为，联立，解得：，得到，过点作交x轴于点，得到，得到，，，代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴其顶点， 把代入得， ∴ ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 证明：∵点与点，且，轴，轴， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴，即． 【小问3详解】 解：设直线解析式为， 把代入，得， ∴直线解析式为， ∵， 当时，则， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 如图，过点作交x轴于点 ∵直线解析式为， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ 解得：． 经检验，是方程的解，也符合题意． ∴的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $