精品解析：2025年湖南省汨罗市中考二模数学试题

汨罗市2024—2025学年度第二学期质量监测（二） 九年级数学科 时量：120分钟 总分：120分 温馨提示： 1.本试卷共三道大题，26道小题，满分120分，考试时量120分钟； 2.本试卷分为试题卷和答题卡两部分,所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区内； 3.考试结束后，考生不得将答题卡、草稿纸带出考场. 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动米记作米，则向南运动米可记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应（ ） A. B. C. D. 3. 2025年春晚涉及众多“非遗”元素，让“非遗”被更多人了解．如图是一个正方体的展开图，则与“传”字所在面相对的面上的字是（ ） A. 非 B. 遗 C. 文 D. 化 4. 在实数，，，中，有理数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同旁内角互补 B. 两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等 C. 三角形的外角大于三角形的内角 D. 对顶角相等 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 长沙市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中错误的是（　　） A. 这周最高气温是32℃ B. 这组数据的中位数是30 C. 这组数据众数是24 D. 周四与周五的最高气温相差8℃ 9. 如图，是直径，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 11. 计算：________． 12. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 13. 方程的解为___________. 14. 如图，在正五边形中，连接，则的度数为__________． 15. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________． 16. 某蓄电池电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为_______． 17. 如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约______m（结果取整数）．（参考数据：，，） 18. 如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为___________． 三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中. 21. 文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的师生共有___________人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数： （3）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数． 22 如图，已知，延长到E，使，连接，，，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 23. 低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．低碳环保，绿色出行成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台元，乙型自行车进货价格为每台元．该公司销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共台，且资金不超过元，最少需要购买甲型自行车多少台？ 24. 如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） （1）求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 25. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图①，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标； （3）如图②，连接是线段上的两个动点，且，连接，求的最小值． 26. 如图①，在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆，交x轴于B，C两点（B在C的左侧），交y轴于A，D两点（A在D的下方）． 【问题提出】 （1）直接写出B、C两点的坐标； 【问题探究】 （2）如图②，将绕点P旋转得到，试说明四边形的形状，并求出点M的坐标； 【问题解决】 （3）在一次数学建模设计大赛上，智慧组操作的四个电子机器人A，B，M，C一开始均在如图③所示的上，其中是的直径，四边形是矩形．表演开始后，机器人B先从点B出发，沿直线与直线之间的某个直线方向运动到上的点E处，然后立即调整方向，沿垂直的方向运动到上的点G处停止；机器人M沿直线先运动到的中点Q处，再沿方向运动到点G处和机器人B汇合．请你通过计算分析，机器人M的两次运动路线形成的的大小是否为定值？若是定值，请计算这个定值；若不是定值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 汨罗市2024—2025学年度第二学期质量监测（二） 九年级数学科 时量：120分钟 总分：120分 温馨提示： 1.本试卷共三道大题，26道小题，满分120分，考试时量120分钟； 2.本试卷分为试题卷和答题卡两部分,所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区内； 3.考试结束后，考生不得将答题卡、草稿纸带出考场. 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动米记作米，则向南运动米可记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义即可求解，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：若向北运动米记作米，则向南运动米可记作米， 故选：． 2. 据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数据800000用科学记数法表示应为． 故选：C． 3. 2025年春晚涉及众多“非遗”元素，让“非遗”被更多人了解．如图是一个正方体的展开图，则与“传”字所在面相对的面上的字是（ ） A. 非 B. 遗 C. 文 D. 化 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图形，正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． 【详解】解：在此正方体上与“传”字相对的面上的汉字是“文”． 故选：C． 4. 在实数，，，中，有理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的定义进行求解即可． 【详解】解：在实数，，，中，有理数为，其他都是无理数， 故选C． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟知有理数和无理数的定义是解题的关键． 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同旁内角互补 B. 两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等 C. 三角形的外角大于三角形的内角 D. 对顶角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，根据平行线的性质即可判断A、B；根据三角形外角的性质即可判断C；根据对顶角相等即可判断D． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意； B、两平行直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，原命题是假命题，不符合题意； C、三角形的外角大于与其不相邻的三角形的内角，原命题是假命题，不符合题意； D、对顶角相等，原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 7. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 8. 长沙市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中错误的是（　　） A. 这周最高气温是32℃ B. 这组数据的中位数是30 C. 这组数据的众数是24 D. 周四与周五的最高气温相差8℃ 【答案】B 【解析】 【分析】根据折线统计图，可得答案． 【详解】解：A、由纵坐标看出，这一天中最高气温是32℃，说法正确，故A不符合题意； B、这组数据的中位数是27，原说法错误，故B符合题意； C、这组数据的众数是24，说法正确，故C不符合题意； D、周四与周五的最高气温相差8℃，由图，周四、周五最高温度分别为32℃，24℃，故温差为（℃），说法正确，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了折线统计图，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题的关键． 9. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键． 10. 已知是抛物线（a是常数，上点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称轴公式可判断①；当时，，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到，可以判断④． 【详解】解：∵抛物线（a是常数，， ∴， 故①正确； 当时，， ∴点在抛物线上， 故②正确； 当时，， 当时，， 故③错误； 根据对称点的坐标得到， ， 故④错误． 故选B． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，先计算零指数幂和绝对值，再计算加法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 本题考查几何概率求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 13. 方程的解为___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为， 故答案为：． 14. 如图，在正五边形中，连接，则的度数为__________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，掌握正多边形的各边相等，各角也相等是解题的关键． 【详解】解：∵是正五边形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可． 【详解】解：根据题意得△， 解得． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 16. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】将代入中计算即可； 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键． 17. 如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约______m（结果取整数）．（参考数据：，，） 【答案】21 【解析】 【分析】根据解直角三角形及等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴共需钢材约为； 故答案为21． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键． 18. 如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题． 详解】解：连接AP，如图所示， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE＝AB＝3， 由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°， ∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°， 在Rt△AFP和Rt△ADP中， ， ∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL）， ∴PF＝PD， 设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x， 在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2， ∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得x＝2，则DP的长度为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键． 依次根据零指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的意义化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中. 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是先对原式中的括号内式子通分计算，再将分子分母因式分解，然后约分化简，最后代入求值． 先化简，再把代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， ， 将代入， 则原式=． 21. 文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的师生共有___________人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数： （3）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数． 【答案】（1），图见解析； （2）； （3）人； 【解析】 【分析】（1）根据“清洁卫生”的人数除以占比即可得出样本的容量，进而求“文明宣传”的人数，补全统计图； （2）根据“敬老服务”的占比乘以即可求解； （3）用样本估计总体，用乘以再乘以“文明宣传”的 比即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，本次调查的师生共有人， ∴“文明宣传”的人数为（人） 补全统计图，如图所示， 故答案为：． 【小问2详解】 在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数为， 【小问3详解】 估计参加“文明宣传”项目师生人数为（人）． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22. 如图，已知，延长到E，使，连接，，，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，根据题意得到，根据矩形的判定定理证明； （2）根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算即可． 小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴． ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 23. 低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．低碳环保，绿色出行成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台元，乙型自行车进货价格为每台元．该公司销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共台，且资金不超过元，最少需要购买甲型自行车多少台？ 【答案】（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为元 （2）最少需要购买甲型自行车台 【解析】 【分析】（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设需要购买甲型自行车台，则购买乙型自行车台，依题意列出不等式，解不等式求最小整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为元，根据题意得， ， 解得：， 答：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为元； 【小问2详解】 设需要购买甲型自行车台，则购买乙型自行车台，依题意得， ， 解得：， ∵为正整数， ∴的最小值为， 答：最少需要购买甲型自行车台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组以及不等式是解题的关键． 24. 如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） （1）求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】（1），两港之间的距离海里； （2）甲货轮先到达港． 【解析】 【分析】（）过作于点，由题意可知：，，求出，即可求解； （）通过三角函数求出甲行驶路程为：，乙行驶路程为：，然后比较即可； 本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 【小问1详解】 如图，过作于点， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴，两港之间的距离海里； 【小问2详解】 由（）得：，，， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，（海里）， ∴甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里）， ∵，且甲、乙速度相同， ∴甲货轮先到达港． 25. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图①，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标； （3）如图②，连接是线段上的两个动点，且，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设点，，结合点为第四象限内抛物线上一动点， ，可得，再解方程并检验即可； （3）过点C作且，连接、， 证明， 则， 当O、N、D共线时，取等号， 再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 解得：， ∴抛物线表达式为：； 【小问2详解】 解：由抛物线的表达式知， ，则，， ∴点，则， 设点，， ∵点为第四象限内抛物线上一动点， ， 则， 整理得， 解得：， （不符合题意舍去） ∴， 则点； 【小问3详解】 解：过点C作且，连接、， 则，点， ∵， 则， 则， 则， 当O、N、D共线时，取等号， 即的最小值． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、面积的计算、求函数表达式等，确定三角形全等是解题的关键． 26. 如图①，在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆，交x轴于B，C两点（B在C的左侧），交y轴于A，D两点（A在D的下方）． 【问题提出】 （1）直接写出B、C两点的坐标； 【问题探究】 （2）如图②，将绕点P旋转得到，试说明四边形的形状，并求出点M的坐标； 【问题解决】 （3）在一次数学建模设计大赛上，智慧组操作的四个电子机器人A，B，M，C一开始均在如图③所示的上，其中是的直径，四边形是矩形．表演开始后，机器人B先从点B出发，沿直线与直线之间的某个直线方向运动到上的点E处，然后立即调整方向，沿垂直的方向运动到上的点G处停止；机器人M沿直线先运动到的中点Q处，再沿方向运动到点G处和机器人B汇合．请你通过计算分析，机器人M的两次运动路线形成的的大小是否为定值？若是定值，请计算这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（1）点B坐标点C坐标为（2）点M坐标为；（3）是定值，的大小为定值． 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得出，然后结合由勾股定理求出的长度，再根据分别求出和，即可求出B、C两点的坐标． （2）根据旋转的性质推出和，进而判定四边形的四个内角都是直角，确定其形状为矩形．通过A、M、P三点向右平移一个单位长度，使点A与坐标原点重合，再由关于原点中心对称的两点坐标关系求出点M的坐标． （3）通过直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得出．进而得出和，然后根据外角的性质推出，再由，求出的大小，即可求得的大小为定值． 【详解】解：（1）连接， ∵是的直径， ， 在中，，则， ， ， ∴点坐标，点坐标为． （2）根据旋转的性质，和两边旋转后得到和． ∴，， ∴四边形的四个内角都是直角，形状为矩形． 根据题意点A和M关于点P中心对称．假设点A、M、P三点向右平移一个单位长度，点A就与坐标原点O重合． 根据中心对称的性质， ∴点坐标为 （3）∵在和中，点Q为斜边的中点， ， ， ， ， ， ， 故的大小为定值。 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，垂径定理，特殊角的三角函数，旋转和中心对称的性质等知识点．根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求推出是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$