福建泉州外国语学校等校2026届高三下学期5月联考数学试卷

数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答；字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合A={x2>2},B={y|y=x2},则A∩B= A.(1,2] B.(0,2] C.[0,十∞) D.(1,+∞) 2.已知非零单位向量a,b满足a⊥(a十2b),则cos(a,b〉= A- B.0 c n 3.若复数：满足-1十i,则 A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i 4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2r+4x,则f(一1og23)= A.-28 9 B.26 C. D.器 5.已知数列{an}为等差数列，设甲：a3|=a,|,乙：as=0,则 A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 6.已知函数f(x)=asin2x+cos2x,若f(-x)=f(于+x),则f() A.-√3 B.3 C.-1 D.1 【高三数学第1页（共4页）】 FJ 7.已知0e(0,5）,若tan(0-T)sin20-cos20=1,则tan20= A.-1 B.-2 C.3 2 D③ 2 已知双曲线C:二-1a>0.b>0)的右焦点为F,设0为坐标原点，以0F为直径的圆正 双曲线C的一条渐近线交于点A(异于原点O),点P在双曲线C上，若AP=P户，则双曲线C 的离心率为 A.√6 B.√5 C.2 D.√2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.某公益组织为了更好地安排志愿服务工作，抽取了1000位志愿者作为样本，并统计了其年 龄的数据，按区间[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40]分组，制成了如下图 所示的频率分布直方图，则 A.样本数据的众数估计为22.5岁 个频率 组距 B.样本中年龄在[30,35)的人数为175 0.065---------- C估计志愿者年龄的中位数为岁 0.040------ D.若从所有志愿者中任选两人，则其年龄均介于[25,30) 0.010f IA 的概率为0.2 10152025303540年龄 10.在棱长为2的正方体ABCD-A1BC1D1中，P是线段AC上的动点（包含两个端点），则下 列结论正确的是 A.B1P与A1C1是异面直线 B,过点P与BD,垂直的平面。截正方体所得截面的面积为 2 CcDs∠DB,P的鼓大值为得 D.B1P+A1P的最小值为√/12+46 11.已知函数f(x)=（x一a)(x-b)(x一b一1)，其中a>0>b,且当x≥0时，f(x)≥0，则 A.-1b0 B.a=b+1 C.了x)的极大值为品 D.若>0且f(x)≤f(x+)恒成立，则≥23 3 【高三数学第2页（共4页）】 FJ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为5，O为坐标原点，则OP= 13.已知某密码由4个正整数组成，且所有数字之和为7，则该密码共有 种可能（用数 字作答). 14.已知某圆锥的侧面积为定值，则当该圆锥的内切球的体积最大时，其母线与底面所成角的余 弦值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立 执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.6，失败的概率为0.4；B机器人成功的概率为 0.8,失败的概率为0.2. (1)若从A,B两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器 人失败的概率； (2)若A,B两个机器人各自独立执行一次高难度动作，记这两个机器人失败的总次数为X, 求X的分布列和数学期望. 16.(本小题满分15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csinB十√3 bcosC=0. (1)求C; (2)设√3(a十b)=2c,且AB边上的高为1，求△ABC的周长. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，∠ADC=120°，AD=DC=2,PC=v10. (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD; (2)若∠ABC=120,且锐二面角BAP-D的正张值为2，求AB, D 【高三数学第3页（共4页）】 FI 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=2g+lnr-ag 3 2 (1)若f(x)为增函数，求实数a的取值范围； (2)证明：函数f(x)有且仅有一个零点. 19.(本小题满分17分) 已知椭圆C:名+芳1(a>>0)的左、右焦点分别为EF,FE=2,点M在椭圆0 上，且△MF1F2的面积的最大值为W3. (1)求椭圆C的方程； (2)设G为△MFF2的重心，I为△MF1F2的内心，I、G两点不重合. (i)证明：GI∥F1F2; (i)点P,Q在椭圆C上，且PG=GQ,求△IPQ的面积的取值范围. 【高三数学第4页（共4页）】 FJ数学 参考答案及评分细则 题号 1 2 4 5 6 答案 D A B A 6 题号 8 9 10 11 答案 A D ABC ACD ABD 12.4√2(5分，其他结果均不得分) 13.20(5分，其他结果均不得分) 14.√2-1(5分，结果正确均得分) 15.【答案】(1)0.3(2)详见解析 【命题意图】考查条件概率及全概率公式、离散型随机变量的分布列和数字特征. 【试题分析】(1)设事件A1为选用机器人A,事件A2为选用机器人B,………………… (1分) 用事件C表示机器人失败，则P(A1)=0.5,P(A2)=0.5,P(CA1)=0.4,P(CA2)=0.2.…(3分) 由全概率公式得P(C)=P(A1)P(CA)+P(A2)P(CA2)=0.5×0.4十0.5×0.2=0.3.…(6分) (2)由题意得X的取值可能为0,1,2.…………(7分) P(X=0)=0.6X0,8=0.48,……………… (8分) P(X=1)=0.6X0.2十0.4X0.8=0.44,…………………………………… (9分) P(X=2)=0.2X0.4=0.08,………… (10分) 可得X的分布列为 0 2 P 0.48 0.44 0.08 (11分) 有E(X)=0×0.48+1×0.44+2×0.08=0.6. (13分) 16.【答案1) (2)4+23 【命题意图】考查解三角形及正弦、余弦定理， 【试题分析】(1)由正弦定理，sinCsinB十√3 sinBcosC=0,…………… (2分) .B∈(0，π)，.sinB>0,.sinC十√5cosC=0,.tanC=-√5，. (4分) C∈（0.).C=2r…, 3 (6分) (2)由(1)和余弦定理，c0sC=a+B-c 1 2ab (7分) 又“V3(a十b)=2c,则c2=3(a十b)2 4 .a2-2ab十b2=0,即a=b,……… (10分) ∴.c=5a=/5b. (12分) :AB边上的高为1，S= asm=e- 2a,则a=b=2, (14分) ∴.△ABC的周长为4+23. (15分) 【高三数学参考答案第1页（共4页）】 FJ 17.【答案】(1)详见解析(2)2√2 【命题意图】考查立体几何及空间向量： 【试题分析】(1)取棱AD的中点E,因为AD=2,所以DE=1.………(1分) 在△DEC中，由余弦定理得CE=√CD+DE-2CD·DE·cos120°=√7.………(3分) 且△PAD为等边三角形，所以PE=√3. 在△PEC中，PE十CE=PC,所以PE⊥CE. (4分) 因为PE⊥AD,AD∩CE=E,所以PE⊥平面ABCD.……(5分) 因为PEC平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD.……………………(6分) (2)以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 由题设得A(2,0,0),P(1,0,5).…(7分) 以D为圆心，2为半径，作过点A的圆，又由∠ABC=120°，可得点B在该圆上，有BD=2,设 B(2cos0,2sin0,0),则PA=(1,0,一√3)，AB=(2cos0-2,2sin0,0).…(9分) 设平面PAD的一个法向量为m=(0,1,0),平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),则 0,即-=0 PA·n=0 ,可取n=(3sin0,w3(1-cos0),sin0)..…(11分) AB·n=02(cos0-1),x+(2sin8)y=0 记锐二面角B-AP-D的大小为aa∈(0，受） m·n √3(1-cos0) 则c0a=m·n-Vcos0+7)1-co0 1-()- (12分) 化简得cos20-cos0=0,且cos0≠1，所以cos0=0,sin0=1. ……………(14分)》 所以AB=(-2,2,0),即AB=2√2. (15分) 18.【答案】(1)(-∞，3](2)详见解析 【命题意图】考查函数与导数综合： 【试题分析】01Df(0=2r2+上-a=22-a2+1(>0,…1分) 若x)为增函数，则YxE(0,十o)f()≥0.即2x-ar+1≥0对任意≥0恒成立，即a≤2x+是恒 成立.……(4分) 令g)=2x十g()-2-是=2之.令gx)=0得x=1,当x∈0)时g)<0,g)单调逆 减；当x∈(1，十∞)时，g(x)>0,g(x)单调递增，………(6分) 所以g(x)mm=g(1)=3,即a的取值范围是（一o∞，3]. …………………(7分)》 2)=0.可得a-号到，令=-. (8分) x2 【高三数学参考答案第2页（共4页）】 FJ )=号+是(·-2）-专+号d-2hx)=2(2号+1-2hr): …………（10分) i设m(x)=2g+1-21nr.则m()=2x2- 2=2(x3-1) 3 ………………(11分) 所以m(x)在区间(0,1)单调递减，在区间(1，十∞)单调递增， 5 所以m(x)≥m(1)= 3 (12分) 所以'(x)>0,h(x)单调递增，… (13分) 取>1且>则m>专× X4a-a=0, 取m1.且mc,则hm)<号+2”-a< m +21nm-a<-a+2(号-号）=0， 所以h(x)在区间(，n)存在唯一零点，……… (16分) 所以f(x)有且仅有一个零点.… (17分) 19.【答案1)片+芳-1(2)详见解析 【命题意图】考查椭圆综合 【试题分析】(1)由题意，|F1F2=2c=2,所以c=1,… (1分) 又因为△MF面积的最大值为/5，所以X2cX=5,所以6=5，… (2分) 所以a=√/十c2=2,…… ” (3分) 所以椭圆C的方程为子+苦-1 3 (4分) (2)(i)设M(xa,y),其中%>0，因为G为△MF1F2的重心，设△MFF2的内切圆半径为r, 所以xG= +；-专%=为十=台即G(传专，营）】 …………………(5分) 3 因为Sa,6=合×rRX%=1,Sag4=2×IF,F+1ME+MFDr=3 所以3r=%r= 3 (7分) 所以GI∥FF2. (8分) m1M=V+)+=1+10+3(1-)=号4+)=2+分，(9分) 设MI延长线交x轴于点S,因为I为△MFF2的内心， 由角平分线定理-房以- MF 2 4 所以1FS到=1MF=1+,所以S(o0,… (11分) 由G1/ER,所以S7=号si.所以（号·尝）： 所以G1=-号=。 (12分) 易知直线PQ的斜率k=一 装所以直线PQ一学=一装（一青） 3 【高三数学参考答案第3页（共4页）】 FJ 即y=一器十+告有y= ………(13分) 4y% 4y 30x十 4vo 4yo +学有y=一+1 4Vo =1 设m联立 若十得3十)m20. y=kx十m 则△=48(4k2-m2十3)=48(4× 器是+)=8>0， 8√6 公 所以1一x=3干4k聚 86|y ………(15分) 3+4X,9x通 9 `16y 所以sa阳=2G·-=名×gx10×8= 6 18 ，……………(16分) 9 2W6 因为-2<x。<2,且xn≠0.以△IPQ面积的取值范围为(0,9) ……(们7分) 【高三数学参考答案第4页（共4页）】 FJ数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 6 答案 D A B A B C 题号 7 8 9 10 11 答案 A D ABC ACD ABD 1.D【解析】易知A=〈xx>1},且B={xx≥0}，所以A∩B=A,故选D. 2.A【解析】依题意.a+2a·b=0,所以a·b=一之，故cosa,b= ,故选A 1 3.B【据折】设-a两边取模可得-1十-5可知e-巨所以-名-1-所以=1+。 故选B. 4.A【解折】由已知得f0+f(-)=0.因为0g3)=2+48=3+号-5.所以f(-1og3) -f(1og23)=- 9故选A 5.B【解析】设an=a十(n-5)d,则a=a-2d,a=as+2d,若ag|=|a,|,则当d=0时，满足a=a|=|as; 当a=0时，a=一2d,a=2d,所以|a3|=a|.因此甲是乙的必要不充分条件，故选B. 6.C【解析】依题意x=号是x)的极值点，故了（受）=2a×(-号）-2×号=0，解得a=-,所以 f)=-5in2x十cos2x=2c0s(2x+号），可得f(2g）=2cos=-1.故选C .A【解折】张题意，n(。导）-其20名ma所以n(。-）nw-1,因为9长(0，受》。 sin20 所以0-是+0=号，所以20-8开an20=-1.故选A 8.D【解析】不妨设双曲线C的一条渐近线为y=名x,则F(c,0)到该直线的距离为 =b,因为 1+() A市-序.所以PF=台，设双曲线C的左焦点为F,则PF=名+2a,易知cos∠PFF,=名，由余弦定 理得，（合+2）-（台）】'十(2)P-2X2×号×女解得a=6,所以双曲线C的离心率为巨.故选D 9.ABC【解析】观察图可知，样本数据的众数估计为22.5，A选项正确； 易知样本中年龄在[30,35)的人数为5×(0.2一0.01一0.04-0.04-0.065-0.01)×1000=175，B选项正确： 志愿者年龄的中位数为m-0.5-0.00X040X5X5十20=0.C选项正确： 0.065×5 设任意一个人的年龄为X,则P(25≤X<30)=0.040×5=0.2,故概率为0.2×0.2=0.04，D选项错误.故选 ABC. 10.ACD【解析】依题意，P￠平面ACB1,A选项正确： 易知BD1⊥平面ABC,所以截面面积为△ABC的面积，为23，B选项错误； 【高三数学参考答案第1页（共5页）】 FJ 因为BP=DP,显然，当P是线段AC的中点时，∠D1PB1取得最大值，此时∠DB1P取得最小值 os∠D,BP取得最大值为号.C选项正确； 将△ABC沿AC翻折至△AQC,使得Q、A、C、A:四点共面，所以BP十A1P的最小值为QA1= √/12+46，D选项正确.故选ACD. 11.ABD【解析】若b≤-1，则b+1≤0，因为a>0,所以当0<x<a时，f(x)<0,不符题意，所以一1<b<0,A 选项正确； 若a>b十1，则当b十1<x<a时，f(x)<0,不符题意；若a<b+1,则当a<x<b十1时，f(x)<0,不符题意： 若a=b十1，则f(x)=(x一b)(x一b-1)2,符合题意，B选项正确： f)=(一-6-1D+2(x一6-1D-0=(x-6-1D(3x-36-1.所以x=36为f)的极大值点，所 以(6)=子×(-号)广-责，C选项错误： f(x+t)-f(x)=[32+(3t+2)u+t+t],其中u=x一b-1,所以即3u2+(3t+2)u十十t≥0恒成立，所 以△=(31十22-12（十0）≤0，解得≥2，D选项正确，故选ABD, 12.4√2【解析】设P(m,n),因为PF=m+1=5,所以m=4,则n2=4m=16,所以|n=4,所以OP=4√2. 13.20【解析】依题意，分类可以为4,1,1,1或3,2,1,1或2,2,2,1，依据排列组合知识知密码的可能性有C +C￥A号+C=20. 14.√2一1【解析】设侧面积为S,圆锥的底面半径为r,母线长为1，则由等面积法，该圆锥的内切球半径 R作，易知S名×2mX1,即1-至记-p为定值R,-,么 l十r (l十r)2 +r卫十r =3功-(+r+)3-2√+rxg=-2,即-1当且仅当 十r2 十=华即叶=区时等号成立，即广=区-D1,此时片=厄-1，所以圆维的内切球体积最 大时，其母线与底面所成角的余弦值为√2一1. 15.解：(1)设事件A1为选用机器人A,事件A2为选用机器人B, …(1分) 用事件C表示机器人失败，则P(A1)=0.5,P(A2)=0.5,P(CA)=0.4,P(CA2)=0.2.…(3分) 由全概率公式得P(C)=P(A1)P(CA)十P(A2)P(CA2)=0.5×0.4十0.5X0.2=0.3.…·(6分) (2)由题意得X的取值可能为0,1,2.………(7分) P(X=0)=0.6X0.8=0.48,…………………………(8分) P(X=1)=0,6X0.2+0.4X0.8=0.44,……………… (9分) P(X=2)=0.2×0.4=0.08, (10分) 可得X的分布列为 X 0 1 2 力 0.48 0.44 0.08 (11分) 有E(X)=0×0.48+1×0.44+2×0.08=0.6. …,…+…。。 (13分) 16.解：(1)由正弦定理，sinCsinB+√/3 sinBcosC=0, (2分) 【高三数学参考答案第2页（共5页）】 FJ .B∈(0，r),.sinB>0,.sinC+√5cosC=0,.tanC=-√5，.(4s分) C∈(0，mC=2 3 (6分) (2)由(1)和余弦定理，c0sC-42+一c (7分) 2ab 又3(a+b)=2c,则c2=3(a+b)2 4 .a2-2ab十b=0,即a=b, (10分) ∴.c=√3a=√3b, (12分) :AB边上的高为1.S=bin==a,则a=6=2, ………………(14分) △ABC的周长为4十23.……………………(15分) 17.解：(1)取棱AD的中点E,因为AD=2,所以DE=1. (1分) 在△DEC中，由余弦定理得CE=√CD十DE2-2CD·DE·cOs120°=√7.……(3分) 且△PAD为等边三角形，所以PE=√3. 在△PEC中，PE十CE=PC,所以PE⊥CE.………(4分) 因为PE⊥AD,AD∩CE=E,所以PE⊥平面ABCD.…………… (5分) 因为PEC平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD. (6分) (2)以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 由题设得A(2,0,0),P(1,0,√5).……… (7分) 以D为圆心，2为半径，作过点A的圆，又由∠ABC=120°，可得点B在该圆上，有BD=2,设 B(2cos0,2sin0,0),则PA=(1,0,-√3)，Ai=(2cos0-2,2sin0,0).....…(9分) 设平面PAD的一个法向量为m=(0,1,0),平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),则 ,即x-3&=0 Pi·n=0 可取n=(3sin0√3(1-cos0),sinf).…(11分) AB.n=0 2(cos0-1)x+(2sin0)y=0 记锐二面角B-AP-D的大小为a,a∈(0，受） m·n √3(1-cos0) 则cosa=m·n√(cos0+7)(1-cos67 V1-(2) ……………(]2分) 化简得cos20-cos0=0,且cos0≠1，所以cos0=0,sin0=1. (14分) 所以AB=(-2,2,0),即AB=22. (15分) 18.解：（1）f(r）=22+1-a=22-a2+1(x>0）.1分) 若f)为增函数，则Yx∈(0，十∞)，f)≥0，即2x-ar+1≥0对任意≥0恒成立，即a≤2x+是恒 成立……………(4分) 【高三数学参考答案第3页（共5页）】 FJ 令g(0)=2x+8()=2-是-22，令g(x)=0得=1，当x0.1)时gx)<0,g)单调递 减；当x∈(1，十oo)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，… (6分) 所以g(x)mm=g(1)=3,即a的取值范围是（一o∞，3]. (2令)=0，可得a=专+2.令k)= 3+ x2 (8分) )=号+2（任·r-2)-号+号1-2nx)=2(2号+1-2小： ………………（10分) 设m(x)=2g+1-21n,则mx)=2x-2=2(x-D 3 (11分) x 所以m(x)在区间(0,1)单调递减，在区间(1，+∞)单调递增， 所以m(.x)≥m(1)= 5 3 (12分) 所以h'(x)>0,h(x)单调递增， (13分) 取>1，且w心>积则M(m>号×子a-a=0, 取m<1.且m<e-.则hm)<号+2-a<号+2m-a<号-a+2(号-号）=0 3 m 所以h(x)在区间(m,n)存在唯一零点，。 (16分) 所以f(x)有且仅有一个零点，………… (17分) 19.解：(1)由题意，F1F2=2c=2,所以c=1, (1分) 又因为△MRR面积的最大值为5.所以号X2cXb=5.所以6= (2分) 所以a=√+c2=2, (3分) 所以椭圆C的方程为号+苦-1。 (4分) (2)(i)设M(x。,y%),其中y>0,因为G为△MF1F2的重心，设△MFF2的内切圆半径为r, 所以xG= x0十x,十x2=”, (5分) 3 3%= +%%-芳即c(号芳) 3 因为Sa,5=×BEX=s,S,= ×(|F1F2+|MF|+|MF2I)r=3r, 所以3=为=宁， (7分) 所以GI∥FF2.…… (8分) (1Mr,1=V+)+=(+10+3(1-)=24+)=2+7 (9分) 设MI延长线交x轴于点S,因为I为△MFF2的内心， 由角半分线定理一部所以情 MT千M·即F,S=lM MF 2 4 所以F,S-号Mr,-1+…所以S0 (11分) 由G1∥F,F,所以si=号si.所以（受，岁）： 所以1G=受-1= 6 (12分) 【高三数学参考答案第4页（共5页）】 FJ 易知直线PQ的斜率及=-3，所以直线PQy一 =(-骨) 即=一装 340 4(1-) x十 x十4y 4yo 告有y=一要十18分 设m=上，联立43 ,得(3十4k2)x2十8km.x十4m2-12=0,…(14分) yo y=kx+m 则△=48(4：-m+3)=48(4X9-1+3)=48X8>0, 16yy喝 8v√6 所以-=，④ yo 8√6|1 3十4k2 9 ……………(们5分) 3+4X96 16y 所以sam=G·-%=×g×梁×86色= …………(16分) 6 9 18· 因为-2<<2，且，≠0.以△1pQ面积的取值范围为(0,25） ………………(17分) 【高三数学参考答案第5页（共5页）】 FJ