福建省惠安第三中学等校2025-2026学年高三下学期开学阶段性自测数学试卷

高三年级阶段性自测 数学 全卷满分150分,考试时间120分钟。 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答;字体工整,笔迹清楚。 4.考试结束后,请将试卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.复数之=2+i”(1-2i)的模为 A.1 B.√2 C.2 D.√7 2.已知集合A={x|x2>1},B=(a,+o∞),若AUB=R,则实数a的取值范围为 A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(-∞,-1) D.(-∞,-1] 3.已知样本数据1,2,4,6,m,若删除4后的新数据与原数据的平均数相同,则m= A.4 B.5 C.6 D.7 4.函数f(x)=(log2x十1)(1ogx十5)的最大值为 A.7 B.9 C.10 D.13 5.已知圆C1:x2十y2=4,圆C2:(x一2)2+(y一2)2=8,则圆C1和圆C2的公共弦长为 A.3 B.√11 C.2√3 D.√/14 6.已知cos(a一)=-是,tanatang=2,则cos(a十)= A B. c号 7.在计算机科学中,八进制是一种数字表示法,它使用0一7这八个数字来表示数值.例如,八进 制数2051换算成十进制数是2 83+0 82+5 81+1 8 =1065.那么八进制数333…3换 20个3 算成十进制数m,则十进制数m的个位数字为 A.4 B.5 C.6 D.7 【高三数学第1页(共4页)】 FJ y2 已知椭圆C乙大I0>b>0的左、右焦点分别为EE,A是椭圆C的上顶点, AR,与椭圆相交于另一点B,若BF=1AB,则椭圆C的离心率为 A. 3 B.3 C.6 D② 4 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1BCD1中,点P是线段BD D 上的一个动点,则 B A.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为8 B.正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积为8 D C.AC⊥PD D.直线PD与底面ABCD所成的角的正切值的取值范围为[1,十∞) 10.已知焦点为F的抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为x=一1,过点F的直线与抛物线C交 于A、B两点,O为坐标原点,直线AO、BO分别与准线相交于M、N两点,则 A.p=2 B.若川AF-BF川=号,则直线AB的斜率的绝对值为2 C.AN∥BM D.FM⊥FN 11.已知函数f(x)=2ax3一3ax2十2(a∈R),下列说法正确的是 A.若x=0是函数f(x)的极大值点,则实数a的取值范围为(一∞,0) B.当a≠0时,函数g(x)=f(x十2)十g-2为奇函数 C.若过点P(1,0)有三条直线与曲线y=f(x)相切,则实数a的取值范围为 D.若函数f(x)有3个零点,则这3个零点之和为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.如图,在边长为1的正六边形ABCDEF中,|ED+EB|= 13.已知在前n项和为Sm的等比数列{an}中,3a1=a2十2且S6=9S3,记bn=|2log2am一25|,则 数列{bn}的前20项的和为 【高三数学第2页(共4页)】 FJ 14.已知函数f(x)=2sin(ox-牙)(其中w>0)在区间(1,2)上没有零点,则w的取值范围 为 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(本小题满分13分) 在 ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos2A=cos2C+2sinB+2 sinAsinB. (1)求C; (2)若a=b+1,c=√7,求 ABC的内切圆的半径. 16.(本小题满分15分) 为全面提升青少年消防安全意识和自防自救能力,7月24日,某消防救援支队走进社区暑 期爱心课堂,为孩子们带来了一堂生动有趣的“消防安全知识课” (1)已知爱心课堂共有10名学生,其中有6名男生,4名女生,从这10名学生中任选3名学 生,记这3名学生中女生的人数为X,求X的分布列和数学期望; (2)课后设置消防安全有奖知识竞答,每道题答对的概率为0.4,若小王同学希望答对的题 目至少有4道,则小王同学至少要抢答多少道题? 17.(本小题满分15分) 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AB=CD=1, BC=√2,AD=2√2,点P是线段AD1的中点. (1)证明:CP∥平面AA1B1B; (2)证明:CD⊥平面AA1B1B; (3)若AA1=22,求CP与平面CC1D1D所成的角的正弦值, D C P D 【高三数学第3页(共4页)】 FJ 18.(本小题满分17分) 已知等轴双前线C若一若-1(a>0,b>0)的左右顶点分别为AA,且AA=22.不 在x轴上的点B1、B2关于原点O对称,且点B1、B2都在双曲线C上,过点B1、B2分别作以 线段A1A2为直径的圆的一条切线,这两条切线相交于点P. (1)求双曲线C的标准方程; (2)求点P的横坐标; (3)求 PB1B2的面积的最小值. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=x+(x一1)ln(x十1). (1)证明:f(x)≥0; (2证明:2a2<ln(r+1D, (3)若x1≠x2且f(x1)=f(x2),证明:x1十x2>0. 【高三数学第4页(共4页)】 FJ高三年级阶段性自测·数学 参考答案及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C D B D A 题号 7 8 9 10 11 答案 B C AC ACD BCD 12.√7(5分，其他结果均不得分) 13.208(5分，其他结果均不得分) 14.(0,否]U[子，]5分，结果正确均得分) 15.【答案1)5 (2)33-V2 2 【命题意图】考查解三角形与正余弦定理综合， 【试题分析】(1)由cos2A=cos2C+2sin2B+2 sinAsinB,有1-2sin2A=1-2sin2C+2sin2B+2 sinAsinB,… …(2分) 可得sin2A+sin2B-sinC=-sinAsinB... (3分) 又由正弦定理，有a2+b2一c2=一ab. (5分) 又由余弦定理，有c0sC=Q+一c _-ab_ 2ab 2ab 2 (6分) 又由0<C<π，可得C= 3 (7分) (2)由(1)有a2+b2-c2=-ab, 代入a=b+1,c=√7，有(b+1)2+-(W7)2=-b(b+1), 解得b=1或b=一2（舍去）.… (9分) 又由b=1,可得a=2. 可得△ABC的面积为号X1X2×如经-号 3 21 (10分) 设△ABC的内切圆的半径为r, 有2a+6+o-代入a=2,b=16=万，有合3+7)-号，可得-8≥团， 故△ABC的内切圆的半径为3B。√四 2 16.【答案】(1)详见解析(2)10 【命题意图】考查随机变量的分布与概率综合 【试题分析】(1)X可能的取值为0,1,2,3.…（1分) 有P(X=0)= C8201 C。120=69 (2分) P(X=1)=CC=60= C1.1202 (3分) 【高三数学参考答案第1页（共4页）】 FJ P(X=2)=CgC-36.3 C10 12010….… (4分) PX=8》-是-0- C 4 1 (5分) 可得X的分布列为： X 0 1 2 3 ? 1 3 1 6 30 E(X)=0×日+1×2+2×是+3×0= 6 (8分) (2)设小王同学至少抢答n道题，这n道题中答对的题数为Y,有Y~B(n,0.4). ………(12分) 有0.4n≥4，可得n≥10， 故小王同学至少要抢答10道题. (15分) 17.【答案】1)详见解析(2)详见解析（3)5 【命题意图】考查立体几何与空间向量综合 【试题分析】(1)如图，取棱AA1的中点为Q,连接PQ,BQ,…(1分) .AP=PD1,AQ=QA1,.PQ∥AD1且A1D1=2PQ.…(2分) 又.BC∥AD且AD=2BC,AD∥A1D1,.BC∥PQ且BC=PQ,∴.四边形BCPQ为平行四边形， (3分) .BQ/∥CP.…………………………………………(4分) BQ∥CP,BQC平面ABB1A1,CP中平面ABBA1,.CP∥平面AA1BB.… (5分) (2)如图，取棱AD的中点为O.… (6分) AD∥BC,AB=CD=1,BC=√2，AD=2√2，AO=OD,.OB=1,AO=√2.. (7分) OB=1,AO=√2，AB=1,∴.AO=AB2+OB OB LAB.… (8分) ,BC=OD=√2，BC∥OD,∴.四边形BCDO为平行四边形， CD∥BO.…………………………………(9分) CD∥BO,OB⊥AB,.CD⊥AB, ,直四棱柱ABCD-A1BC,D1,AA,为侧棱，CDC底面ABCD,∴.AA1⊥CD, AA1⊥CD,AB⊥CD,AA1∩AB=A,AA1、ABC平面AA1B1B,.CD⊥平面AA1B1B.… (10分) (3)由OB⊥AB,AB=OB=1,可得∠OAB=不，如图，过A点在底面ABCD中作AD的垂线为x轴，以点A 为坐标原点，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为之轴建立如图所示空间直角坐标系，则有A(0,0,0), D0,2E,0,B(号号0），c(,320）A00,2,D0,2E,2②，P0w②.…12分) 可得C市-（受.号w2): 设平面CGDD的-个法向量为m=(红，y,,由D时=(0,0,22)，C办=(-号，号，0）， DD·m=2√2x=0 有 c市·m=一2x+2 ,取x=1,y=1,之=0，可得平面CC1DD的一个法向量为m=(1,1,0). 2x (14分) 【高三数学参考答案第2页（共4页）】 FJ 有C市，m=-9-5=-V2,市=5，m=2,可得cosC迹，m= -厄=一 22 3X√2 3 所以CP与平面CCDD所成的角的正弦值为 3 (15分) 18【答案11号-苦-1（2士1（34 【命题意图】考查双曲线综合 【试题分析】(1)由双曲线为等轴双曲线，有a=b, (1分) 又由|A1A2|=2√2，有2a=2√2，可得a=√2，b=√2，… (2分) 故双曲线C的标准方程为号-兰=1. (3分) ②)设B1(m,m),B,(一m,-)(其中≠0)，有g-号三1，可得m2=2十2. (4分) 设直线B1P的方程为y一n=k1(x一m),直线B2P的方程为y十n=k2(x十m) |k1m一列l=√2 w√1+ 由直线B1P和直线B2P都与圆O相切，有 km一nl=√2 (6分) √1十稻 可得k1,k2是关于k的方程m一是=√2的两个根，整理为(m一2)发一2mk十-2=0，有十6：= V1+k2 2-名 ………(8分) 联立直线B1P和直线B2P方程消去y后，有(k2一k1)x=2n一m(k1十k2), 代人十=2有：一名)江=2号整理为无-6=” m2-2’ 又由太=+6-=孕-2 （m2-2)2 -8(m2+2+2-2=16m2 (m2-2)2(m2-2)z' 有怎-与=十”2代入低一)江=把2可得=士1，放点P的横坐标为-1或1.…（12分) (3)由圆的对称性，可知SAPB1,=2S△oPB2=|OB,XOP. 又由圆的对称性，不妨设点P的横坐标为1， (13分) 又由OP1OB,可得直线OP的方程为y=-x,取x=1,可得点P的坐标为(1，-)， 有10P三人1+0B2三√m2+,………m (15分) 可得5乌=√+×V原+元-诗产-+2十-2十少≥4-4（当且仅当a=1政-】 n n n ≥n 【高三数学参考答案第3页（共4页）】 FJ 时取等号)， 故△PBB2的面积的最小值为4.… (17分) 19.【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析 【命题意图】考查导数综合 【试题分析】(1)由x十1>0，可得x>-1,可知函数f(x)的定义域为(-1，+∞)， 又由fa)=1+lax+ID+帚lax+1)+ x+1 ……（1分) 令g)=1+1D+务有g=+十子D>0,可得系数g)单调递增，又由80)=0，可知当 2 x<0时，g(x)0;当x>0时，g(x)>0.可得函数f(x)的减区间为（一1,0），增区间为(0，十oo),… …………………………………………（3分) 可得f(x)≥f(0)=0, 所以f(x）≥0.……………(4分） (2)由(1)可知，不等式x+(x-1)ln(x+1)≥0(x=0时取等号)恒成立. 当-1<<1时，不等式x+-1Dn(x+1D>0可化为1n(x+1)<产之…(6分) 有<十2可得2<h，…(8分) n 有+2<n是+h++lh=ln(××）=lh(m+1, 故不等式2，<n(n十1)成立，……………(0分) (3)不妨设x1<x2,由函数f(x)的减区间为（一1,0），增区间为(0，十∞)，可得-1<x1<0<x2.… (11分) ①当x2≥1时，又由-1<x1<0,可得x1十x2>-1十1=0，…(12分) ②当0<x2<1时，由f(x1)-f(-x2)=f(x2)-f(-x2)=[x2+(x2-1)ln(x2+1)]-[-x2+(-x2-1) ln(-x2+1)]=2x2+(x2-1)ln(x2+1)+(x2+1)ln(1-x2).…(13分) 令h(x)=2x+(x-1)ln(x+1)+(x+1)ln(1-x),其中0≤x<1, 有=2+n+1D++a1-)-1-)-(+)+2 …(14分) 又由2+}孕>2V景×=2（当且仅当导-告即x=0时取等号）. 又由0<1-x2≤1，可得ln(1-x2)≤lnl=0, 有h'(x)≤0一2十2=0，可得函数h(x)单调递减，又由h(0)=0,可得h(x)≤0（当且仅当x=0时取等号）. 又由0<x2<1,有f(x)-f(-x2)<0,可得f(x)<f(-x2), 又由一1<x<0,一1<-x2<0及函数f(x)在（一1,0）上单调递减，有x>-x2,即x+x2>0. 由①②可知，若x1卡x2且f(x1)=f(x2),则不等式x1十x2>0成立.…(17分) 【高三数学参考答案第4页（共4页）】 FJ高三年级阶段性自测·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C D B D A 题号 7 8 9 10 11 答案 B C AC ACD BCD 1.A【解析】由z=2-i(1-2i)=-i,有|z=1.故选A. 2.C【解析】由A=(-∞，-1)U(1,十o∞)，若AUB=R,有a<-1.故选C. 3.D【解析】由题意可知4是样本数据的平均数，有1+2十4十6+m=4×5,可得m=7.故选D. 4.B【解析】令t=log2x(t∈R),有f(x)=(t+1)(-t十5)=一t+4t+5=-(t-2)2+9≤9，可得函数f(x) 的最大值为9.故选B. 5.D【解析】圆C2的一般方程为x2+y2一4x一4y=0,两圆方程作差可得公共弦的方程为x十y一1=0，可得 圆C和圆C2的公共弦长为2 4-()厂=.故选D 6.A【解析】由tatan-2,有-2 c,又由cos(a--0=-c00十inin--子，可得irsin=-习 2 cosacosB=- .可得cos(a十月=-sinasing=-子-（-名）=子放选A 1 7.B【解析】由m=3×80+3×8+3×8+..+3×819=3×1-8”=3(8”-D=10-7)(80-12= 1-8 7 10(80-1)-（80-1),又由80-1=(7+1)0-1是7的倍数，可得10(89-少是10的倍数.又由g0-1= 7 7 (10-2)20-1,可得820-1的个位数与220-1的个数位相同，又由220-1=4×218-1=4×(10-2)5-1，可 得220一1的个位数与4×26一1=255的个位数相同.可得820一1的个位数为5，进而可得十进制数m的个位 数为5.故选B. 8.C【解析】设E,=2c,1BE,=m,AE=AF,=a,有BF,=2a-m,又由BF,=之AB1,有 2a-m=号(a十m,可得m-号，可得1BF=号，BR,=号a.又由cos∠AR,R=名，在△BFB,中由余 弦定理，有（号）'+42-2×号×2c×(-）=()',有2a=3C,可得e=-5 a=3.故选C 9.AC【解析】对于A选项，由棱长为2，可知正方体ABCD-A1BC1D1的体积为8，故A选项正确； 对于B选项，由BD,=2√3，可得正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球表面积为4πX(W3)=12π，故B选项 错误； 对于C选项，由AC⊥BD,AC⊥DD1,可得AC⊥平面BBD1D,又由PD1C平面BB1D1D,可得AC⊥PD1,故 C选项正确； 对于D选项，由DD1⊥底面ABCD,可得直线PD1与底面ABCD所成的角为∠D1PD,又由tan∠DPD= 册-品∈[号，+)，故D选项错误故选AC 【高三数学参考答案第1页（共6页）】 FJ 10.ACD【解析】设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线AB的方程为my=x-1,联立方程 =4红，消去工后有)y-4my一4=0，有十为=4m,=-4,可得=倍-1. my=x-1 16 对于A选项，由抛物线C的准线为x=一1，有一号=一1，可得力=2，故A选项正确， 对于B选项，由|AF-BF=(a+1)-(+11=号，有一=号，代人=1，有 1 解得1= 或2，可得 12或 （x1=2 ,可得直线AB的斜率的绝对值为2y0=2V2,故B选 yM=士√2(y=士2√ 2-1 项错误； 对于C选项，直线OA的方程为y=兰x,代人x=一1，有y=一兰=一生-业=，可得点M的坐标为 1 y1y1 (一1，y2),同理可得点N的坐标为（一1，y),可得AN∥BM,故C选项正确； 对于D选项，由F市=(-2，y),Fi=(-2,y2),有F市·Fi=4+y2=4-4=0,可得FMLFN,故D选 项正确.故选ACD. 11.BCD【解析】对于A选项，由f(x)=6ax2一6ax=6ax(x-1),当a=0时，f(x)=2,f(x)没有极值；当 a>0时，令f(x)>0,可得x>1或x<0,可得函数f(x)的减区间为(0,1)，增区间为(-∞，0)，(1，十∞)， 此时x=0为函数f(x)的极大值点；当a<0时，令f(x)>0,可得0<x<1,可得函数f(x)的减区间为 (一∞，0)，(1，十∞)，增区间为(0,1)，此时x=0为函数f(x)的极小值点，故A选项错误； 对于B选项，由g)=f(x+号）+号-2=2a(x+号)）广-3a(x+)°+2+号-2-2a- 之a.x,有 g(一x)=一g(x),可得函数g(x)为奇函数，故B选项正确； 对于C选项，设切点为M(m,f(m)),可得函数f(x)在点M处的切线方程为y一(2am3一3am2+2)=(6am2 6am)(x-m),代入P(1,0)有-(2am3-3am2+2)=(6am2-6am)(1-m),整理为a(4m3-9m2+6m)=2, 若过点P(1,0)有三条直线与曲线y=f(x)相切，可得关于m的方程a(4m3一9m2+6m)=2有且仅有3个 根，显然a≠0，上述方程可化为n-9nm+6m=吕.令h()=-92+6,有✉)=12<-18x+6一 6(2x-1Dx-D,可得函数h(x)的减区间为(2,1)，增区间为(-∞，)，1，十∞，又由h(2)=, A1)=1.可得1<名<，可得号<a<2,放C选项正确； 对于D选项，显然a≠0，设f(x1)=f(x2)=f(x3)=0,又由2ax-3ax+2=2ax-3ax号十2，可得 2(云十a西十)-3（十）.同理可得2（云十五西十）=3国十)，将上面两式作差，可得石十十石=是， 故D选项正确.故选BCD. 12.7【解析】如图，连接BE,取线段BE的中点为O,连接OC,EC,由Ed+Ei=E市+2E动，及Eb,E0=号 有|ED+EB12=|ED12+4ED·Eδ+41Eδ12=7，可得|ED+EB1=√7. 【高三数学参考答案第2页（共6页）】 FJ 13.208【解析】设数列{a.}的公比为q,由S6=9S3,有S3+q3S3=9S3,可得q=2,又由3a1=a2十2，有3a1= 2a1十2，可得a1=2,可得an=2m.有b.=|2log22m-25|=|2n-25|,可得数列{b.}的前20项的和为 a+3+…+23)+1+3+…+15)=12X+23)+8×1,+152=208. 2 2 14(0,合]U[至，g]【懈标】令x一=一x或0或x或2x,可得x-一或元或或由函数f) 在区间1,2)上设有零点，可得≥2-1，可得0<0≤有亮>号且瓷>号若函数f)在区间1,2)上 ≤1 4w 没有零点，有无>≥2或 ,可得0<u≤受或平≤≤g. 15.解：(1)由cos2A=cos2C+2sinB+2 sinAsinB,有1-2sin2A=1-2sinC+2sin2B+2 sinAsinB,…(2分) 可得sin2A+sin2B-sinC=-sinAsinB..… (3分) 又由正弦定理，有a2+b-c2=一ab. (5分) 又由余弦定理，有cosC=+一C=二ab一1 2ab 2ab . (6分) 又由0<C<π，可得C=2红. 3 …(7分) (2)由(1)有a2+b2-c2=-ab, 代入a=b+1,c=√7，有(b+1)2+b-(W7)2=-b(b+1), 解得b=1或b=一2（舍去）.…… (9分) 又由b=1,可得a=2. 可得△ABC的面积为号X1X2X动弩=9。 (10分) 设△ABC的内切圆的半径为r, 有2a+6十0r号代入a=2,6=1c=7,有台3+r-,可得352匹， 2 故△ABC的内切圆的半径为3W5。√四 (13分) 2 16.解：(1)X可能的取值为0,1,2,3. (1分) 有P(X=0-总-106 C201 (2分) P(X=1)=C%C=601 C12029… (3分) P(X=2)=CgC8=363 C3012010… (4分) X-》-透-动 (5分) 可得X的分布列为： X 0 1 2 3 0 品 30 【高三数学参考答案第3页（共6页）】 FJ EX0=0×日+1x+2×8+3×0-号. ……………………+…………”…*… (8分) (2)设小王同学至少抢答n道题，这n道题中答对的题数为Y,有Y一B(n,0.4).…(12分) 有0.4n≥4，可得n≥10， 故小王同学至少要抢答10道题.……… (15分) 17.(1)证明：如图，取棱AA1的中点为Q,连接PQ,BQ, (1分) AP=PD1,AQ=QA1,.PQ∥AD1且AD1=2PQ.… (2分) 又，BC∥AD且AD=2BC,AD∥A1D1,∴.BC∥PQ且BC=PQ,.四边形BCPQ为平行四边形， ……… (3分) BQ/∥CP.…… (4分) BQ∥CP,BQC平面ABB1A1,CP寸平面ABB1A1,.CP∥平面AA1B1B.… (5分) (2)证明：如图，取棱AD的中点为O.…… (6分) AD∥BC,AB=CD=1,BC=√2，AD=2√2，AO=OD,∴.OB=1,AO=√2.…(7分) OB=1,AO=√2，AB=1,.AO=AB2+OB2. OB⊥AB.…(8分) BC=OD=√2，BC∥OD,∴.四边形BCDO为平行四边形， CD∥BO.…(9分) CD∥BO,OB⊥AB,.CD⊥AB, ,直四棱柱ABCD-A1B,C,D,AA1为侧棱，CDC底面ABCD,∴.AA1⊥CD, ,AA1⊥CD,AB⊥CD,AA1∩AB=A,AA1、ABC平面AA1B1B,.CD⊥平面AA1B1B.·(10分) (3)解：由0B⊥AB,AB=OB=1,可得∠OAB=T,如图，过A点在底面ABCD中作AD的垂线为x轴，以 点A为坐标原点，AD所在直线为y轴，AA:所在直线为之轴建立如图所示空间直角坐标系，则有 A000.0,2E,0,a(,号0）c(号，32，oA0.0,2@D,o,2E,2@.P0v. (12分) 可得c市-(-号，-号w@): 设平面cGD,D的-个法向量为m=(0.由D=0,02@).G市-(-号号.o）, DD·m=2√2z=0 有 C方.m=一2x十3 ,取x=1,y=1,之=0，可得平面CCD1D的一个法向量为m=(1,1,0). 2y0 (14分) 有市.m=-_=-V2,1C市1=5，ml=2,可得c0sC市，m= -√2 22 5X√2 3 所以CP与平面CC,DD所成的角的正弦值为 (15分) D 【高三数学参考答案第4页（共6页）】 FJ 18.解：(1)由双曲线为等轴双曲线，有a=b, (1分) 又由|A1A2|=2√2，有2a=2√2，可得a=√2，b=√2，………… (2分) 故双曲线C的标准方程为号-兰=1。 2 (3分) (2②设(，0，品（一m,-0(其中a≠0，有受- -=1,可得m2=n2十2.…(4分) 设直线BP的方程为y-n=k1(x-m),直线B,P的方程为y十n=k2(x十m). km一nl=√2 √1+经 由直线B1P和直线B2P都与圆O相切，有 (6分) k2m一nl=√2 √1+ 可得1,2是关于的方程m一是=2的两个根，整理为(m2一2)一2mmk十n2一2=0，有1十，= √1+k 2=二号 m2-2 (8分) 联立直线B1P和直线B2P方程消去y后，有(k2一k1)x=2n一m(k1十k2), 代人6十有：一=n号整理为一江=”2 An 又由-6=k+6-=产g二9-产之2 (m2-2)2 _8(m2+2+n2-2)=,16m (m2-2)2 (m2-2)2' 有-=士”2代入-)z=产2可得=士1，放点P的横坐标为-1或1.…(12分列) (3)由圆的对称性，可知S△PB,B2=2 SAOPB2=|OB,|XOP. 又由圆的对称性，不妨设点P的横坐标为1，…… (13分) 又由OP1OB,可得直线OP的方程为y=一兴x,取z=1,可得点P的坐标为(1，一%） 之 有IOP|= ,0B2=m+7. (15分) 可得5a4=√1+停×Vm+开-心告产-公+2+2_2+少≥-4（当且仅当m=1或-1 n n n 时取等号)， 故△PB1B2的面积的最小值为4.………(17分) 19.(1)证明：由x十1>0，可得x>-1,可知函数f(x)的定义域为(-1，十∞)， 又由fa)=1+iax+1+=lh(x+1)+ x十1 …………………………(1分) 令g6a)=n(x十1D+千1有g()=中+子D>0.可得函数)单词递增，义由g0)=0,可知当 2 x<0时，g(x<0;当x>0时，g(x)>0.可得函数f(x)的减区间为（一1,0），增区间为(0，十∞)，… …………………………………………(3分) 可得f(x)≥f(0)=0, 所以f(x)≥0.…… (4分) (2)证明：由(1)可知，不等式x十(x一1)ln(x十1)≥0(x=0时取等号)恒成立. 当-1<<1时，不等式x十(x-1)ln(x+1)>0可化为n(x+1)<—x, (6分) 【高三数学参考答案第5页（共6页）】 FJ (京，高有高安8 有2+2<h是+ln号+…+lnt=n(层×号×.x”)=lha+1D, 故不等式，2<n(n十1)成立。…(0分》 (3)证明：不妨设x1<x2,由函数f(x)的减区间为（一1,0），增区间为(0，+∞)，可得一1<x1<0<x2.… (11分) ①当x2≥1时，又由一1<x1<0,可得x1十x2>一1十1=0，…(12分) ②当0<x2<1时，由f(x1)-f(-x2)=f(x2)-f(-x2)=[x2+(x2-1)ln(x2+1)]-[-x2+(-x2-1) ln(-x2+1)]=2x2十(x2-1)ln(x2十1)+(x2+1)ln(1-x2).…(13分) 令h(x)=2x+(x-1)ln(x+1)+(x+1)ln(1-x),其中0≤x<1, 有)=2+a(x+1++n1-）-=la1-c)-(+）)+2. …(14分) 又由+>2√×-2（当且仅当-吉即x=0时取等号）. 又由0<1-x2≤1，可得ln(1-x2)≤ln1=0, 有h'(x)≤0一2+2=0，可得函数h(x)单调递减，又由h(0)=0,可得h(x)≤0（当且仅当x=0时取等号）. …………………………………………(15分) 又由0<x2<1,有f(x1)-f(-x2)<0,可得f(x1)<f(-x2), 又由一1<x1<0,一1<一x2<0及函数f(x)在（一1,0）上单调递减，有x1>一x2,即x1+x2>0. 由①②可知，若x1≠x2且f(x)=f(x2),则不等式x1十x2>0成立.…(17分) 【高三数学参考答案第6页（共6页）】 FJ