专题02整式乘法专项训练（18大核心题型精讲+分层训练突破）-2025-2026学年苏科版数学七年级下学期.

**基本信息** 以“运算类型-公式应用-综合创新”为逻辑主线，系统覆盖整式乘法全题型，通过分层设计实现从基础运算到几何建模的能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整式乘法基础|6题型（含单项式/多项式乘法）|系数指数分离法、不含项系数归零法|从单项式到多项式，构建“定义-法则-应用”运算体系| |乘法公式应用|4题型（平方差/完全平方公式）|公式结构识别、几何面积建模|通过图形直观理解公式本质，强化代数变形能力| |综合与创新|3题型（混合运算/新定义/规律探究）|新定义转化、规律探究归纳|整合运算技巧与实际问题，培养数学思维与表达能力|

专题02整式乘法专项训练 题型梳理归纳 题型1.单项式乘单项式的计算 题型2.利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型3.单项式乘多项式的计算及化简求值 题型4.单项式乘多项式的实际应用 题型5.利用单项式乘多项式求字母的值 题型6.多项式乘多项式常规计算 题型7.(x+p)(x+q)型多项式乘法计算 题型8.多项式乘多项式化简求值 题型9.已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型10.多项式乘多项式与图形面积问题 题型11.多项式乘法中的规律性问题 题型12 整式乘法混合运算 题型13.平方差公式的运算及几何图形应用 题型14.完全平方公式的运算、变形求值 题型15.完全平方公式在几何图形中的应用 题型16.求完全平方式中的字母系数 题型17.整式的综合混合运算 题型18整式乘法的新定义运算 题型19分层练习 核心题型精讲 题型1.单项式乘单项式的计算 1．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】需根据同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、单项式乘法分别计算每个选项，根据计算结果判断正误． 【详解】解：选项A：，A错误． 选项B：，B错误． 选项C：，等式成立，C正确． 选项D：，D错误． 2．计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．先根据幂的乘方与积的乘方运算法则化简各项，再根据同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式. 题型2.利用单项式乘法求字母或代数式的值 1．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 2．若，则________． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 3．如图，用7张长为，宽为的长方形纸片互不重叠地放在长方形区域内，设边的长为，未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为（正值）． (1)若，则的值为多少时？ (2)对于下列两个问题，先回答，再通过“数学运算”说明理由； ①（1）中的值每增加的值增加（或减少）多少？ ②若，能赋予一个值使得的值不随的值的变化而变化吗？ 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，单项式乘以多项式与图形面积． （1）如图，标注图形各顶点，，，，，再利用建立方程求解即可． （2）①结合（1）可得：，进一步分析即可； ②先表示，，，，可得，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，标注图形各顶点， 由题意可得：， ∴，，，， ∵未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为， ∴， 解得：． （2）解：①结合（1）可得： ， ∴（1）中的值每增加的值增加． ②∵， ∴，，，， ∵未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为： ， ∵的值不随的值的变化而变化， ∴， 解得：． 题型3.单项式乘多项式的计算及化简求值 1．已知是多项式．在计算时，小马同学把看成了，结果得，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． 根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， 故选：C． 2．若，则代数式的值为 ____． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘多项式，整式的加减，乘法分配律，将原式进行正确的变形是解题的关键．将原式展开并变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】；2． 【详解】解：原式 当时，原式 题型4.单项式乘多项式的实际应用 1．如图，四边形与是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式运算的实际应用，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：由题意， ； 故选A． 2．如图甲，圆的一条弦将圆分成部分；如图乙，圆的两条弦最多可将圆分成部分；如图丙，圆的三条弦最多可将圆分成部分．由此推测，圆的条弦最多可将圆分成______． 【答案】 【分析】解题的关键是由基本图形，逐步寻找一般规律． 根据每增加一条弦，增加了多少个部分，由易到难，找出变化规律，即可解题． 【详解】解：一条弦最多可将圆分成部分， 两条弦最多可将圆分成部分， 三条弦最多可将圆分成部分， 四条弦最多可将圆分成部分， 依此类推， 条弦最多可将圆分成部分． 3．麒麟花园一间房屋结构如图，图中数据单位为米．这家房子的主人打算铺地砖，并且贴壁纸． (1)把卧室以外的部分铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是50元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ (2)已知房屋的高度为米，需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果壁纸的价格是10元/平方米，那么购买所需壁纸至少需要多少钱？（计算时不算门、窗所占的面积）． 【答案】(1)把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要平方米的砖，购买所需地砖至少需要元； (2)在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要平方米的壁纸，购买所需壁纸至少需要元． 【分析】（1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每地砖的价格是元钱，求出需要的钱数即可； （2）求出侧面积即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是元/平方米，求出需要的钱数即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， （元） 答：把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要平方米的砖，购买所需地砖至少需要元； （2）解：根据题意得：， （元） 答：在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要平方米的壁纸，购买所需壁纸至少需要元． 题型5.利用单项式乘多项式求字母的值 1．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 2．若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 【答案】2 【分析】先把原式进行化简，再根据结果与x的取值无关列方程并解方程即可． 【详解】解： ∵多项式的结果与的取值无关， ∴含项的系数为0， 即， 解得：． 3．我阅读：类比于两数相除可以用竖式运算，多项式除以多项式也可以用竖式运算，其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母的降幂排列（若有缺项用零补齐）． （2）用竖式进行运算． （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．我会做：请把下面解答部分中的填空内容补充完整．求的商式和余式． 解： 答：商式是，余式是（    ） 我挑战：已知能被整除，请直接写出a、b的值． 【答案】我会做：；， 我挑战： 【分析】我会做：根据题意填空即可； 我挑战，根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，最后结果余0，即可求得的值． 【详解】解：我会做：补全如下， 答：商式是，余式是（） 故答案为：； 我挑战：能被整除，则余数为0，根据题意列竖式运算即可， 解得 【点睛】本题考查了多项式除以多项式，掌握多项式的乘法是解题的关键． 题型6.多项式乘多项式常规计算 1．已知，，均为非常数，且的计算结果是一个三次二项式．有如下结论：①；②；③．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先展开原式，再合并同类项，根据三次二项式定义，结合为非零常数的条件，得到二次项和一次项系数均为，再逐一验证结论即可． 【详解】解：∵ ∵计算结果是三次二项式，且均为非常数， ∴常数项，则二次项和一次项系数必须都为， 即， 故结论①，②都正确； 由得，代入得， 即， ∴， 故结论③正确； 综上三个结论都正确，正确结论的个数是． 2．已知（a是常数），则的值为____． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∴. 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）使用积的乘方运算法则计算即可； （2）使用多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型7.(x+p)(x+q)型多项式乘法计算 1．阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题：四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将多项式相乘的结果展开即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 根据选项得：或， 解得或， 则或． 只有选项A符合题意． 2．若，则___________． 【答案】 【分析】先化简，得到，推导出，即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 3．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型8.多项式乘多项式化简求值 1．若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，解出m和n的值，再计算即可． 【详解】解： ． ． ∴，解得；，解得； ∴， 故选C． 2．已知，那么代数式的值是________． 【答案】4 【分析】本题考查的是积的乘方运算的应用，多项式乘以多项式的化简求值，由条件，可得，再计算多项式乘以多项式并进一步求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴原式4． 故答案为：4． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先根据完全平方公式、多项式乘多项式及单项式乘多项式的运算法则将原式展开，合并同类项后，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式 ． 题型9.已知多项式乘积不含某项求字母的值 1．已知的展开式中不含的一次项，且的系数为4，则的值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，根据不含x的一次项，则一次项系数为0，的系数为4列方程，求出m和n的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解： ， ∵展开式中不含x的一次项，且的系数为， ∴， 解得， ， ∴． 2．若关于的多项式化简后的结果不含项，则_________． 【答案】9 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算，再根据结果不含x项得到，再进行变形即可． 【详解】解： ∵结果不含x项， ∴， ∴． 3．解决下列问题： (1)已知，求的值： (2)已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知可得，进而根据，即可求解． （2）先计算单项式与多项式的乘法，再根据计算结果中不含x的三次项得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ （2）解：． 计算结果不含x的三次项， ， 解得． 题型10.多项式乘多项式与图形面积问题 1．某村计划修建中心广场，其平面图是一个长，宽为的长方形，地面要用如图所示的甲、乙、丙三种型号的地砖进行铺设，若所有地砖没有浪费，则甲、乙、丙型号的地砖各需要（    ）块？ A．90，90，180B．91，91，218 C．92，92，184 D．93，93，196 【答案】B 【分析】利用多项式乘以多项式进行解答即可． 【详解】解： ， 即甲、乙、丙型号的地砖各需要块，块，块． 2．下图由两个长方形构成，其中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法与长方形面积计算，解题的关键是利用“阴影面积=大长方形面积-小长方形面积”的关系，结合多项式乘法法则化简． 先分别计算大、小长方形的面积，再用大长方形面积减去小长方形面积，最后通过多项式乘法和合并同类项化简结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形． (1)分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）． (2)该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）． 【答案】(1)游戏娱乐区的面积；文化体验区的面积；绿化休息区的面积 (2)元 【分析】（1）根据题干中的图形列式计算即可； （2）结合（1）中所求结果列式计算即可． 【详解】（1）解：游戏娱乐区的面积 ． 文化体验区的面积 ． 绿化休息区的面积． （2）解：处理这片儿童活动区域的地面所需的费用 元． 题型11.多项式乘法中的规律性问题 1．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律：              1            1    1          1    2    1        1   3    3     1      1   4    6     4    1 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式中的系数是（ ） A．6 B．64 C．15 D．20 【答案】D 【分析】的展开式系数对应杨辉三角的第行，按规律推出的所有系数即可得到目标项的系数． 【详解】解：∵由题意可知，杨辉三角中下一行每个系数（两端的1除外）等于上一行相邻两个系数之和，对应的系数即第5行系数为， ∴对应的第6行系数为：，即； ∴对应的第7行系数为：，即； 又∵展开式按降幂排列时，为第4项，对应系数为20． 2．观察下列式子： ；；．利用上面式子存在的规律，计算：_____． 【答案】/ 【分析】根据给定的等式归纳得到一般规律，然后根据求解即可． 【详解】解：根据给定等式的规律，可得， ∵， ∴． 3．你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值： (1)______； (2)______； (3)______；… (4)由此我们可以得到______； 请你利用上面的结论，完成下面的计算： (5)； (6)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）（2）（3）根据多项式乘多项式直接计算即可； （4）根据计算规律可直接得出结果； （5）将原式变形，然后利用（4）中规律求解即可； （6）利用（3）可得，即，再根据指数幂的运算求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：由此我们可以得到； （5）解：； （6）解：， ， 解得， ∴． 题型12 整式乘法混合运算 1．有一块长为a宽为b的矩形绿地上修两条小路以方便行人，小路的宽（小路与边界交点形成的线段）为1，则以下四种方法中哪一种小路所占面积与其他三种不同？（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查整式的计算，根据每个图形的面积分别计算小路面积即可判断 【详解】解：A.小路面积为， B.小路面积为，, C.小路面积为， D.如图： 过点A作于点A，则，但， ∴小路面积 故选D 2．如图，在长方形中放置两个边长都为5的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是_______． 【答案】24 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 根据图形中各线段的关系，用、的代数式表示相关线段的长，再根据，由矩形面积公式列出、的方程，求得便可求解． 【详解】设， 则， ， ， ， 整理得， 则长方形的周长是24， 故答案为：24． 3．若规定符号的意义是：，当时，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据规定符号的意义可得，然后先去括号，再合并同类项，最后整体代入即可解答． 【详解】解：根据题意，可得 ， ， ． 题型13.平方差公式的运算及几何图形应用 1．下列各式中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式的结构特征判断，平方差公式要求两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，符合该特征才能用平方差公式计算． 【详解】解：A、∵，没有相同的项，不符合平方差公式的结构特征，故不符合要求； B、在中，与互为相反数，与也互为相反数，没有相同的项，不符合平方差公式的结构特征，故不符合要求； C、∵中，相同项为a，b与互为相反数，符合平方差公式的结构，∴符合要求； D、∵，两项都相同，∴不符合要求． 2．如图，学校劳动课实践基地由两块边长分别为、的正方形秧田、，其中不能使用的面积为．用含、的代数式表示中能使用的面积 _________ ；若，，则比多出来的使用面积为 _______ ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，平方差公式，掌握图形面积的计算方法以及面积之间的和差关系是正确解答的前提． ①根据面积之间的关系，从边长为的正方形面积中，减去不能使用的面积即可； ②用代数式表示比多出的使用面积，再利用平方差公式进行分解因式，最后带入式子的值计算即可． 【详解】解：①中能使用的面积大正方形的面积不能使用的面积，即； ②比多出的使用面积为： ∵，， ∴原式 ， 故答案为：；． 3．【实践操作】 如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． (1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______． 【应用探究】 (2)根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 【答案】(1) (2)①90000    ② 【分析】（1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可； (2)①先将原式变形为，然后利用（1）中结论求解即可； ②利用（1）的结论，把原式化为：，再连续利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为：， 则阴影部分的面积可以验证的公式是； （2）①解： ； ②解：原式 ． 题型14.完全平方公式的运算、变形求值 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将所求代数式设为新未知数，结合完全平方公式展开整理，即可求出结果． 【详解】解：设， 则，， ∵， ∴， 展开得：， 整理得：， 解得， 即． 2．已知，，则_____． 【答案】 /0.5 【分析】将两个已知等式根据完全平方公式展开，再将展开式作差消去和，即可计算出的值． 【详解】解：根据完全平方公式展开已知等式，得： ， ， 由得： ， 整理得， 解得． 3．已知，，求下列代数式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．（1）利用完全平方公式 ，即可得到结论；（2）利用完全平方公式，即可得到结论． 【详解】（1）解： ，   ， 即 ， 把代入得， ； （2）解： ， ，                           即 ， 两边同时加，得 ， 即 ， 把代入得 ， ， ． 题型15.完全平方公式在几何图形中的应用 1．如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式先后放置在同一个正方形中．两种放置均有部分重叠，记图1重叠部分的面积为图2重叠部分的面积为．若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】正方形的边长为，表示出两个阴影部分的面积，然后利用整式的乘法以及加减运算求解． 【详解】解：令正方形的边长为， ∵， ∴， 则，， 令， 则，， ∴． 2．如图1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块半径分别为的圆形，其中重叠部分为花圃，对应阴影部分分别表示两个班级的基地面积．若，则_____． 【答案】 【详解】解：由题意可知，，， ， ， （负值舍去） ． 3．图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．在一节数学课上，王老师准备了一个长为、宽为的长方形．如图1沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，直接写出代数式，，之间的关系 ； (2)利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： ①已知，，则的值为 ； ②已知，求的值； (3)两个正方形、如图3摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①；②13 (3) 【分析】（1）根据大正方形的面积等于个小长方形和小正方形面积之和，可得结论； （2）根据（1）可得，代入求值即可；令，，根据代入计算即可； （3）结合图形可得，，结合，可得，进而得到，可求出的值，最后根据利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可． 【详解】（1）由图可知：大正方形的边长为，小正方形的边长为，个小长方形的面积为， 根据大正方形的面积等于个小长方形面积和个小正方形面积之和可得：； （2）由（1）可得：， ，， ， ， ； 令，， 则，， ， ． （3）， ， ，， ， ， ， ， ， ． 题型16.求完全平方式中的字母系数 1．若，且是完全平方式，则为（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】先解关于的一元二次方程得到的值，再根据完全平方式的定义得到的所有可能取值，最后计算即可得到结果. 【详解】解：∵ ， ∴ 配方得，解得， ∵ 是完全平方式， ∴ ，解得或， 当时，， 当时，， ∴ 为或， 故选：C. 2．如果关于x，y的二次三项式是一个完全平方式，那么常数m的值是_____________． 【答案】或 【分析】通过比较给定二次三项式与完全平方公式的形式，确定常数的值即可． 【详解】解：是完全平方式， ∴， ∴， 解得：或． 3．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． 例如： 利用配方法解决下列问题： (1)若是一个完全平方式，则______________． (2)已知整式与，请通过计算比较M、N的大小； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方式的特征进行求解即可； （2）利用配方法化简、，进而比较即可； （3）根据题意得到，进而得到，利用完全平方公式和提取公因式对所求式子化简求值即可． 【详解】（1）解：是一个完全平方式， ， ， ， ； （2）解：、 则； （3）解：由题意得：， 得：， ， ． 题型17.整式的综合混合运算 1．若，则代数式的值为（   ） A．5 B．-5 C．10 D．-10 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先简化代数式，发现它等于，然后代入已知条件即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 2．若，则代数式的值为______． 【答案】4 【分析】先将原整式化为，根据得到，代入化简结果计算即可． 【详解】解： 将代入得，原式 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先算括号内的乘法，再合并同类项，算除法，最后将、的值代入即可求出答案． 【详解】原式 ， 当，时，原式． 题型18整式乘法的新定义运算 1．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．若是一个完全平方式，则常数的值是（   ） A．11 B． C． D．11或 【答案】D 【分析】根据已知条件中的定义，列出算式进行化简，再根据完全平方式的结构特征，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解： 是一个完全平方式， ，或者， 解得或． 2．规定，例如：．已知：，则_________． 【答案】10 【分析】根据题意列出方程，再根据完全平方公式化简，得出的值，即可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 3．若定义一种新运算：． (1)设为整式，，求整式并化简． (2)在（1）的条件下，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意先化简求出，再根据新运算定义解答即可； （2）根据新运算定义和已知数据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 根据新运算定义：，， ∴， 解得：． （2）解：∵，， ∴根据新运算定义：． 分层精练 一、单选题 1．下列计算中正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单项式乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂除法的法则，分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：，故A计算错误； 选项B：，故 B计算正确； 选项C：，故C计算错误； 选项D：，故 D计算错误． 2．如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可.先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故选：C． 3．若化简后为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式运算，解题思路为展开左边多项式，根据对应系数相等求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解： 又化简后结果为 对应系数相等，可得，，即 将代入计算： 4．矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为．按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知，．设．下列值确定的是（    ）． A．m B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与正方形重叠面积的计算、代数式化简及变量关系推导，解题的关键是根据“阴影面积长方形面积（两正方形面积和重叠面积）”，结合面积差条件建立等式，通过消元推导与、的关联． 设、，则；设图①、②、③中两正方形重叠面积分别为、、．由阴影面积公式得、、；利用、化简得、，两式相减消去；再根据正方形放置位置确定、，代入后化简求与的关系． 【详解】解：设，，则； 两正方形重叠面积分别为（图①）、（图②）、（图③）． 由阴影面积公式：，， 故①； 同理②． ②①得：． 由放置位置：图①中，（重叠边长为）； 图②中，（重叠边长为）． 代入得：， 化简得：，即（值确定）． 故选：B． 二、填空题 5．已知，为常数，且为恒等式，则________． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，由，再比较等式两边对应项的系数，建立方程求解． 【详解】解：， 比较系数得：且， 解得 ，； ∴， 故答案为 6．若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值，先进行多项式的乘法运算，再把已知代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 7．已知的展开式中不含有和的项，那么________． 【答案】42 【分析】利用多项式乘以多项式进行展开，然后问题可求解． 【详解】解： = =； ∵展开式中不含有和的项， ∴， 解得：， ∴． 8．如图，长方形的面积是，为上一点，，为上一点，则的面积是__________． 【答案】45 【分析】本题考查了代数式整体代换思想和三角形面积的特殊求法．长方形和直角三角形面积易得，利用长方形面积减去周围三个直角三角形面积即可求出的面积． 【详解】解：设，， ， ， ， ， ． 三、解答题 9．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得解； （2）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算加减即可得解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 10．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】先利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式法则将原式展开，合并后得到最简结果，再代入计算即可求出值．熟练掌握运算法则及公式是解题的关键． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 11．【观察思考】 ， ， ， … (1)【规律发现】根据规律可得______（其中n为正整数）； (2)【规律应用】计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给规律进行求解即可； （2）根据（1）中规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为， ， ， …， 所以（其中n为正整数）． （2）解：原式 ． 12．【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值，解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则． （1）根据多项式不含项，列出方程解答即可； （2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出和的面积，则可求出，进而可得到答案． 【详解】解：（1） ∵该多项式不含项， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵，， ∴ ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴； （3）解：设， 依题意，，， ∴， ∵当的长发生变化时，的值始终保持不变， ∴．即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02整式乘法专项训练 题型梳理归纳 题型1.单项式乘单项式的计算 题型2.利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型3.单项式乘多项式的计算及化简求值 题型4.单项式乘多项式的实际应用 题型5.利用单项式乘多项式求字母的值 题型6.多项式乘多项式常规计算 题型7.(x+p)(x+q)型多项式乘法计算 题型8.多项式乘多项式化简求值 题型9.已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型10.多项式乘多项式与图形面积问题 题型11.多项式乘法中的规律性问题 题型12 整式乘法混合运算 题型13.平方差公式的运算及几何图形应用 题型14.完全平方公式的运算、变形求值 题型15.完全平方公式在几何图形中的应用 题型16.求完全平方式中的字母系数 题型17.整式的综合混合运算 题型18整式乘法的新定义运算 题型19分层练习 核心题型精讲 题型1.单项式乘单项式的计算 1．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．计算：______． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 题型2.利用单项式乘法求字母或代数式的值 1．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 2．若，则________． 3．如图，用7张长为，宽为的长方形纸片互不重叠地放在长方形区域内，设边的长为，未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为（正值）． (1)若，则的值为多少时？ (2)对于下列两个问题，先回答，再通过“数学运算”说明理由； ①（1）中的值每增加的值增加（或减少）多少？ ②若，能赋予一个值使得的值不随的值的变化而变化吗？ 题型3.单项式乘多项式的计算及化简求值 1．已知是多项式．在计算时，小马同学把看成了，结果得，则的结果为（    ） A． B． C． D． 2．若，则代数式的值为 ____． 3．先化简，再求值：，其中，． 题型4.单项式乘多项式的实际应用 1．如图，四边形与是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．如图甲，圆的一条弦将圆分成部分；如图乙，圆的两条弦最多可将圆分成部分；如图丙，圆的三条弦最多可将圆分成部分．由此推测，圆的条弦最多可将圆分成______． 3．麒麟花园一间房屋结构如图，图中数据单位为米．这家房子的主人打算铺地砖，并且贴壁纸． (1)把卧室以外的部分铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是50元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ (2)已知房屋的高度为米，需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果壁纸的价格是10元/平方米，那么购买所需壁纸至少需要多少钱？（计算时不算门、窗所占的面积）． 题型5.利用单项式乘多项式求字母的值 1．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 2．若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 3．我阅读：类比于两数相除可以用竖式运算，多项式除以多项式也可以用竖式运算，其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母的降幂排列（若有缺项用零补齐）． （2）用竖式进行运算． （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．我会做：请把下面解答部分中的填空内容补充完整．求的商式和余式． 解： 答：商式是，余式是（    ） 我挑战：已知能被整除，请直接写出a、b的值． 题型6.多项式乘多项式常规计算 1．已知，，均为非常数，且的计算结果是一个三次二项式．有如下结论：①；②；③．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知（a是常数），则的值为____． 3．计算： (1) (2) 题型7.(x+p)(x+q)型多项式乘法计算 1．阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题：四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果可能是（   ） A． B． C． D． 2．若，则___________． 3．计算 (1) (2) (3) (4) 题型8.多项式乘多项式化简求值 1．若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 2．已知，那么代数式的值是________． 3．先化简，再求值：，其中． 题型9.已知多项式乘积不含某项求字母的值 1．已知的展开式中不含的一次项，且的系数为4，则的值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 2．若关于的多项式化简后的结果不含项，则_________． 3．解决下列问题： (1)已知，求的值： (2)已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 题型10.多项式乘多项式与图形面积问题 1．某村计划修建中心广场，其平面图是一个长，宽为的长方形，地面要用如图所示的甲、乙、丙三种型号的地砖进行铺设，若所有地砖没有浪费，则甲、乙、丙型号的地砖各需要（    ）块？ A．90，90，180B．91，91，218 C．92，92，184 D．93，93，196 2．下图由两个长方形构成，其中阴影部分的面积为________． 3．为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形． (1)分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）． (2)该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）． 题型11.多项式乘法中的规律性问题 1．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律：              1            1    1          1    2    1        1   3    3     1      1   4    6     4    1 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式中的系数是（ ） A．6 B．64 C．15 D．20 2．观察下列式子： ；；．利用上面式子存在的规律，计算：_____． 3．你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值： (1)______； (2)______； (3)______；… (4)由此我们可以得到______； 请你利用上面的结论，完成下面的计算： (5)； (6)若，求的值． 题型12 整式乘法混合运算 1．有一块长为a宽为b的矩形绿地上修两条小路以方便行人，小路的宽（小路与边界交点形成的线段）为1，则以下四种方法中哪一种小路所占面积与其他三种不同？（   ） A． B． C． D． 2．如图，在长方形中放置两个边长都为5的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是_______． 3．若规定符号的意义是：，当时，求的值． 题型13.平方差公式的运算及几何图形应用 1．下列各式中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，学校劳动课实践基地由两块边长分别为、的正方形秧田、，其中不能使用的面积为．用含、的代数式表示中能使用的面积 _________ ；若，，则比多出来的使用面积为 _______ ． 3．【实践操作】 如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． (1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______． 【应用探究】 (2)根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 题型14.完全平方公式的运算、变形求值 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2．已知，，则_____． 3．已知，，求下列代数式的值： (1)； (2) 题型15.完全平方公式在几何图形中的应用 1．如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式先后放置在同一个正方形中．两种放置均有部分重叠，记图1重叠部分的面积为图2重叠部分的面积为．若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．如图1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块半径分别为的圆形，其中重叠部分为花圃，对应阴影部分分别表示两个班级的基地面积．若，则_____． 3．图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．在一节数学课上，王老师准备了一个长为、宽为的长方形．如图1沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，直接写出代数式，，之间的关系 ； (2)利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： ①已知，，则的值为 ； ②已知，求的值； (3)两个正方形、如图3摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分的面积． 题型16.求完全平方式中的字母系数 1．若，且是完全平方式，则为（     ） A． B．或 C．或 D． 2．如果关于x，y的二次三项式是一个完全平方式，那么常数m的值是_____________． 3．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． 例如： 利用配方法解决下列问题： (1)若是一个完全平方式，则______________． (2)已知整式与，请通过计算比较M、N的大小； (3)若，，求的值． 题型17.整式的综合混合运算 1．若，则代数式的值为（   ） A．5 B．-5 C．10 D．-10 2．若，则代数式的值为______． 3．先化简，再求值：，其中，． 题型18整式乘法的新定义运算 1．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．若是一个完全平方式，则常数的值是（   ） A．11 B． C． D．11或 2．规定，例如：．已知：，则_________． 3．若定义一种新运算：． (1)设为整式，，求整式并化简． (2)在（1）的条件下，当时，求的值． 分层精练 一、单选题 1．下列计算中正确的是（   ） A．B． C． D． 2．如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．若化简后为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为．按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知，．设．下列值确定的是（    ）． A．m B． C． D． 二、填空题 5．已知，为常数，且为恒等式，则________． 6．若，，则______． 7．已知的展开式中不含有和的项，那么________． 8．如图，长方形的面积是，为上一点，，为上一点，则的面积是__________． 三、解答题 9．计算： (1)． (2)． 10．先化简，再求值：，其中． 11．【观察思考】 ， ， ， … (1)【规律发现】根据规律可得______（其中n为正整数）； (2)【规律应用】计算：． 12．【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $