专题02 整式乘法17大题型（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材苏科版

专题02 整式乘法 题型1 单项式乘法计算 题型10 乘法公式计算题（常考点） 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型11 平方差公式与几何图形（常考点） 题型3 单项式乘多项式的应用 题型12 完全平方公式与几何图形（常考点） 题型4 多项式乘法计算 题型13 通过对完全平方公式变形求值（重点） 题型5 （x+p）（x+q）型多项式乘法（常考点） 题型14 求完全平方式中的字母系数 题型6 多项式乘法的化简求值（常考点） 题型15 利用乘法公式的非负性求值（重点） 题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值（重点） 题型16 乘法公式的新定义运算（难点） 题型8 多项式乘法与图形面积 题型17 乘法公式中的配方法求最值（难点） 题型9 多项式乘法中的规律性问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 单项式乘法计算（共4小题） 1．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照单项式乘单项式的运算法则，分别计算系数乘积、同底数幂的乘积，即可得到结果． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的法则是解题的关键． 根据单项式乘以多项式的法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 3．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可； （2）先根据单项式乘多项式运算法则和积的乘方运算法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘多项式、整式的加减运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算； （2）先算单项式乘多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值（共4小题） 5．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：． 6．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若，则__________． 【答案】11 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则得到，结合得到，，求出的值，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ，， ． 故答案为：11． 7．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若 ，则求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，求，的值． 【答案】a=2，b=1 【分析】根据整式的乘法展开，分别得到a，b的关系式，故可求解． 【详解】∵ ∴5a=10，-3a=-6，ab=2 ∴a=2，b=1． 【点睛】此题主要考查整式运算的应用，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． 题型三 单项式乘多项式的应用（共4小题） 9．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成大小卧室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的． (1)用含，的代数式分别表示大卧室和阳台的面积； (2)若，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】大小卧室都是正方形，大卧室的边长是，根据正方形的面积公式：正方形的面积边长边长，代入字母表示出大卧室的面积；阳台是一个长方形，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的，阳台的宽是，阳台的长是，长方形的面积长宽，代入字母表示出代数式即可． 由，得，因为，所以，化简求出即可． 本题考查了列代数式，多项式乘以单项式，整式的加减运算，解决本题的关键是熟练利用长方形得到面积公式计算． 【详解】（1）解：大卧室面积是：， 阳台的面积是：． 答：大卧室的面积是，阳台的面积是． （2）解：因为， 所以， 露台面积是：， 阳台的面积是：， 因为， 所以， 即， 得：， 得． 10．如图，四边形与是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式运算的实际应用，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：由题意， ； 故选A． 11．（224-25七年级下·江苏常州·期中）一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，根据长方形的面积等于长乘以宽列式计算即可． 【详解】解：∵长方形面积长宽 ， ∴这个长方形的面积是． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）（1）如图1，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积． （2）如图2，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积． （3）如图3，正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点G在线段上，已知正方形的边长为8，则的面积为 （请直接写出结果，不需要过程） 【答案】（1）   （2）    （3）64 【分析】本题考查了整式的乘法运算的应用，关键是割补思想的应用； （1）由，结合整式的乘法即可求解； （2）由，结合整式的乘法即可求解； （3）利用（1）（2）的结论即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）连接，如图3， 由（1）可得的面积， 由（2）可得：三角形的面积为， 所以，的面积， 故答案为：64． 题型四 多项式乘法计算（共4小题） 13．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）根据多项式乘多项式法则进行计算； （2）根据多项式乘多项式法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可； （3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 15．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式等，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式运算的知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）先分别进行多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：， ， ， ， 16．（24-25七年级下·江苏·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了多项式乘以多项式运算，解题的关键是掌握多项式乘以多项式运算法则． （1）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可； （2）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可； （3）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可； （4）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型五 （x+p）（x+q）型多项式乘法（共4小题） 17．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）回答下列问题： (1)计算：①_____； ②______； ③_____． (2)总结公式：_____． (3)由（2）的公式，直接写出下列计算的结果： ①______；②______； (4)已知a，b，m均为整数，且，求m的所有可能值：______． 【答案】(1)①；②； ③； (2)； (3)①；② (4)7或或5或 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）通过多项式乘多项式法则计算三个式子； （2）根据（1）的计算结果总结出的展开公式； （3）利用（2）总结的公式直接计算； （4）根据公式，结合且、为整数，求出的可能值，即的可能值． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； ③ ； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：① ； ② ； （4）解：因为， 所以，． 因为，均为整数，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． 所以的所有可能值为7或或5或． 18．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）回答下列问题： (1)计算： ①___________； ②___________； ③___________． (2)总结公式（___________）； (3)已知均为整数，且，求的所有可能值． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3)或6 【分析】本题主要考查整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的性质： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据（2）可得，结合都是整数，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：①；②；③； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵都是整数，， ∴或或或， ∴或或或， 综上，的值为或6． 19．（24-25七年级下·江苏·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 【答案】(1)，，，， (2)①；② (3)19，11，9，，， 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则即可得，然后总结规律即可； （2）根据上面的结果，归纳类推出一般规律即可得； （3）运用（1）的规律即可得． 【详解】（1）；； ；； ∴； （2）①； ②； （3）∵ ∴， ∵均为整数， ∴当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 综上所述，满足条件的k的值可以是19，11，9，，，． 20．（24-25七年级下·江苏南京·期中）先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 【答案】(1)两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项 (2) (3)①；② 【分析】本题考查了多项式乘多项式． （1）根据乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项之间的规律作答； （2）根据（1）中呈现的规律，列出公式； （3）根据（2）中的公式代入计算． 【详解】（1）解：乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为： 两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项； （2）解：公式为： （3）解：① ； ② ． 题型六 多项式乘法的化简求值（共4小题） 21．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知，求的值． 【答案】5 【分析】先利用多项式乘多项式法则展开，合并同类项化简表达式，再根据已知条件变形后代入求值． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式． 22．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式对原式进行化简． 先利用平方差公式和完全平方公式将原式展开，再通过去括号，合并同类项进行化简，最后将的值代入化简后的式子求值． 【详解】原式 当时，将其代入， 原式=． 23．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．利用多项式乘多项式以及单项式乘多项式展开后，再合并同类项，代入即可求解． 【详解】解： ， 当时， 原式． 24．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为 ． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先由得出，再代入进行计算，即可作答． （2）先由得出，再代入进行化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ． 题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值（共4小题） 25．（25-26八年级上·江苏南通·期中）若的展开式中不含项，则a的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算是解题的关键．展开乘积后，合并同类项，令项的系数为零，解出a的值． 【详解】解：∵ ， 又∵展开式中不含项， ∴， ∴． 故选：B． 26．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若计算结果中不含的一次项，则的值为（　　）． A．2 B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是整式的乘法不含某项求参数问题，根据多项式乘法展开后，令一次项的系数为0，解方程即可． 【详解】解：展开多项式： 根据题意，结果不含的一次项， 一次项系数为0，即，解得． 故选：D． 27．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于x的多项式化简后不含有x一次项，则实数k的值为________． 【答案】5 【分析】先将多项式展开并合并同类项，再根据不含x一次项的条件，令一次项系数为0，从而求解k的值． 【详解】解： ， 由化简后不含一次项，得一次项系数为， 解得． 28．在学习多项式乘多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)所得多项式的一次项系数是______； (2)计算所得多项式的一次项系数； (3)如果计算所得多项式不含一次项，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式乘以多项式运算，涉及解一元一次方程，读懂题意，理解材料中求多项式乘以多项式后一次项系数的方法是解决问题的关键． （1）读懂题意，按照题中解题方法从中选、从选相乘；再从选、从选相乘，两者求和即可得到一次项，即可得到答案； （2）读懂题意，按照题中解题方法从选、从选、从选相乘；从选、从选、从选相乘；从选、从选、从选相乘；三者求和即可得到一次项，即可得到答案； （3）读懂题意，类比（2）题中解题方法求解得到一次项系数为，进而列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由材料中的解法，可知所得多项式的一次项系数是， 故答案为：； （2）解：由材料中的解法，可知所得多项式的一次项系数为； （3）解：由材料中的解法，可知所得多项式的一次项系数为， 多项式不含一次项， ，解得． 题型八 多项式乘法与图形面积（共4小题） 29．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，连接，若阴影部分的面积为10．当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先观察图形可知：阴影部分的面积=正方形的面积-的面积-的面积-正方形的面积，然后根据题意，列出等式求出答案即可． 本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是注意利用数形结合的思想理解阴影部分的面积=正方形的面积-的面积-的面积-正方形的面积． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴当a，b的值发生变化时，代数式的值不变的是：， 故选：C． 30．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）设有边长分别为和的类和类正方形纸片，长为、宽为的类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为___________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，计算出的结果，结果中项的系数即为所求答案． 【详解】解： ， ∴要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为9， 故答案为：9． 31．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)用含有a，b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）． (2)若，，绿化成本为50元／平方米，则完成绿化共需要______元． 【答案】(1)平方米 (2)完成绿化共需要元 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）绿化的总面积长方形的面积个正方形的面积，利用平方差公式以及完全平方公式化简，然后合并同类项即可得解； （2）将，代入（1）中所求式子即可得出绿化面积，再根据绿化成本为50元／平方米，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得： 绿化的总面积为 平方米； （2）解：当，时，（平方米）， ∵绿化成本为50元／平方米， ∴完成绿化共需要（元）， 故完成绿化共需要元． 32．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． (1)【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是． ①条件：当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是______．如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、9、满足的等量关系是______； 结论：可得． ②当时，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______． (2)【方法迁移】 仿照上述方式，求出当时，代数式的最大值（无需描述割补过程，只需画出示意图）． 【答案】(1)；； 9 (2)25 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积、列代数式等知识点，理解材料的用意及数形结合是解题的关键． （1）根据图形面积的求法列代数式并整理即可解答； （2）根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出 的最大值，据此求解即可． 【详解】（1）解：①当时，如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长为；如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形A、B和阴影部分组成一个边长为3的正方形， ∴， ②当时，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；； 9． （2）解：当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴； 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是5的正方形，即 ∴边长是 和的长方形的最大面积是25， ∴ 的最大值为25． 题型九 多项式乘法中的规律性问题（共4小题） 33．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（   ） A．512 B．1024 C．2048 D．4096 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，多项式乘法中的规律性问题，解题关键是从式子中找出其中的变化规律． 根据题意可以得出规律：展开式中所有项的系数为，则展开式中所有项的系数和是，以此求解． 【详解】解：由题可知， 展开式中所有项的系数为1； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； … 得出规律：展开式中所有项的系数为， ∴展开式中所有项的系数和为：， 故选：B． 34．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算术》中提出“杨辉三角”（如图），介绍了（n是非负整数）展开式的项数及各项系数有关的规律如下图： 例如：，那么展开式中的系数为（    ） A．27 B． C．108 D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘法运算，数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其，解题的关键是能够发现其中的规律．根据图形中的规律，每一行第二项的系数等于上一行第一项与第二项的系数之和，即可求出的展开式中从左起第二项的系数，即可求解． 【详解】解：展开式中第二项为 故选：D． 35．根据，，，．所包含的规律，回答下列问题． （1）的值为_______． （2）的个位数字是_______． 【答案】 63 3 【分析】此题考查整式的乘法规律的探究，能正确理解题中各代数式的结果得出的规律并运用规律进行计算是解题的关键． （1）根据规律题中的已知条件得到规律，进行分析，即可作答； （2）先计算该代数式的值得到结果为，再探究得到个位数字的规律即可得到答案． 【详解】解：（1）观察题干式子，得， 故答案为：63； （2） ， ∵的个位数是，的个位数是， 的个位数是，的个位数是，的个位数是……， ∵ ∴的个位数是3． 故答案为：3 36．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：______． (2)猜想：＝______． (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式写成第5个等式即可； （2）根据已知等式所蕴含的规律写出猜想即可； （3）根据（2）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据上述规律，第5个等式：； （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 以此类推，； （3）解：由（2）知，， ． 题型十 乘法公式计算题（共4小题） 37．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）化简 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用乘法公式进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 38．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则进行计算即可； （2）先用平方差公式进行计算，再合并同类项； （3）根据积的乘方的逆应用，先让两底数相乘，再将结果进行乘方，分别用到平方差公式和完全平方公式； （4）先用完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 39．（2026七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则进行求解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行运算较简便． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 40．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十一 平方差公式与几何图形（共4小题） 41．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，四边形是长方形，四边形是面积为21的正方形，点、分别在、上，点、在上，点、在上，且四边形是正方形，连接、、，若正方形的面积为3，则图中阴影部分的总面积为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的应用，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则阴影面积的底为，， ∴阴影面积为，即， ∵大正方形的面积为，小正方形的面积为3，即， ∴阴影面积为． 故选：D． 42．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）图1是长为，宽为的一个长方形，将其进行分割，剪拼，得到如图2所示的大正方形．通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是_______． 【答案】 【分析】根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于长方形的面积解答即可． 本题考查了图形面积的不同表示，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得大正方形的面积减去小正方形的面积等于长方形的面积， 故． 故答案为：． 43．（24-25七年级下·江苏南京·期末）将边长分别为，的小正方形和大正方形按如图所示摆放.若，则图中阴影部分的总面积为_______. 【答案】 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，解题的关键是线段的和差问题，再利用面积公式计算． 利用图形可得到两个阴影部分面积的高，求出面积的表达式，用面积公式计算即可. 【详解】解：∵边长分别为，的小正方形和大正方形如图放置， ∴大三角形的高为： ，小三角形的高为： ∴图中阴影部分的总面积为： ∵ ∴ 图中阴影部分的总面积 故答案为：10 . 44．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图1，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． （1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_____； （2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为_____； （3）比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式_____； 【问题解决】 （4）利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为_____； ②计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①；② 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． （1）根据图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差即可得解； （2）由拼图可得，图2是长为，宽为的长方形，表示出面积即可； （3）由（1）（2）即可得解； （4）①根据（3）中的公式计算即可得解；②根据（3）中的公式计算即可得解． 【详解】解：（1）图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即； （2）由拼图可得，图2是长为，宽为的长方形，因此面积为； （3）由（1）（2）可得：； （4）①∵， ∴， ∵， ∴； ② ． 题型十二 完全平方公式与几何图形（共4小题） 45．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________． (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①________；②________． (3)观察图2你能写出三个代数式之间的等量关系________． (4)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)； (3) (4) 【分析】（1）根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答； （2）①根据正方形面积公式求解，②用总面积减去四个相等的长方形面积即可． （3）阴影部分的面积相等，结合（2）可得出答案． （4）由（3）得：，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分小正方形的边长为：； （2）解：①根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为， ②还可以用总面积减去四个相等的长方形的面积，即表示为； （3）解：阴影部分的面积相等，结合（2）可得出； （4）解：由（3）得：， ∵，， ∴， ∴． 46．（25-26八年级上·福建福州·期末）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为 ． 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若，，求的值． (3)若满足，求的值． 【拓展】 (4)如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米，求的长． 【答案】(1) (2) (3) (4)长为米 【分析】本题考查完全平方公式的实际应用，利用完全平方式的变形求值是解题关键． （1）阴影面积为两个小正方形，也可以看作大正方形减去两个矩形，由此得到等式； （2）利用（1）的结论进行计算即可； （3）将看作，看作，则，，利用（1）的结论进行计算即可． （4）设，，由题意可得，，利用完全平方公式计算得． 【详解】（1）解：观察图②可知，阴影部分为两个小正方形，面积和为，也可以用大正方形减去两个矩形得到，即， ∴运算为：； （2）解：由（1）的结论得：， 又∵，， ∴； （3）解：设，，则， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论得：， ∴， ∴； （4）解：设，， ∵于点， ∴（平方米），（平方米），（平方米），平方米， ∵种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ∴， ∴，即米， 答：长为米． 47．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分面积分别能解释的数学公式． 图1：________；图2：________；图3：________． (2)通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度    方法二：从“形”的角度 解：，        解：， ，即：，    又， 又        ， ．        ． 即．        即． 根据所给材料，解决以下问题： 如图，点是线段上的一点，以，为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)；； (2)12 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式与图形面积的结合，解题的关键是通过图形的分割、拼接，将代数式与几何图形的面积建立联系，利用“数形结合”的思想进行转化求解； （1）图1：通过面积和列等式，得到完全平方和公式；图2：通过大正方形减去两个矩形，再加上重叠的小正方形，得到完全平方差公式；图3：通过面积相等得到平方差公式； （2）设，，根据完全平方公式及条件求出的值，再根据阴影部分是直角三角形，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设，， 则． 因为， 即， ， 即阴影部分的面积为12． 48．（25-26八年级上·吉林·期中）通过第11章《整式的乘除》的学习，我们知道，可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的 两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 ． 这种验证思路体现了下列哪一种数学思想（    ） A．数形结合思想  B．分类讨论思想  C．类比思想   D．转化思想 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图②，在线段CE上取一点D，分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为9，△CDG的面积为3，则CE的长度为 ． 【答案】（1）；A；（2）28；（3）；（4）6 【分析】本题考查完全平方公式，灵活运用完全平方公式变形计算是解题的关键． （1）从“整体”和“部分”分别用代数式表示图形的面积即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）设，，再用计算即可． （4）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，根据求出的值即可． 【详解】（1）解：如图①大正方形的边长为，因此面积为，拼成大正方形的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：，A； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：28； 设，， 则，， ∵， 即， ∴． （4）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∵阴影部分的面积和为9，的面积为3， ∴，， 即，， ∴， 即， ∴（取正值）， 即． 故答案为：6． 题型十三 通过对完全平方公式变形求值（共4小题） 49．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）由，然后代入即可求解； （）由，然后代入即可求解； （）由，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：由（）得， ∵， ∴， ∴ ． 50．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）按要求完成下列各题： (1)已知实数a，b满足，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式，并能灵活运用是解决问题的关键． （1）先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将转化为完全平方式和的形式，即可求值； （2）设，，得出，，则根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，． ∴． ∴，则， ∴． （2）解：设，， ∴． ∵， ∴． ∴ ． 51．（24-25七年级下·江苏南京·期中）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，；所以，；所以，；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则___________； 【类题探究】 （2）若满足．求的值． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，把完全平方公式适当的变形是解题的关键． （1）由可得，再代入，即可求出的值； （2）设，，则，进而得到，根据题意可得，求出的值，即可求出的值，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：3； （2）设，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为． 52．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）17；（2）47． 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形求解即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：（1）． 把，，代入得 ． （2）∵， ∴． 把代入得， ． ∵， ∴． 把代入得， ． 题型十四 求完全平方式中的字母系数（共4小题） 53．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若是一个完全平方式，则负数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍在中央，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， ∴， ∵是负数， 故. 54．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若是完全平方式，则m的值是______． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式中常数项是一次项系数一半的平方是解题的关键．因为符合形式的式子叫完全平方式，其中常数项是一次项系数一半的平方，据此即可解题． 【详解】是完全平方式， 或， 或， 故答案为：或． 55．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 【答案】(1) (2)3或27 【分析】（1）先根据完全平方公式与平方差公式计算，再合并即可； （2）先根据完全平方式的定义求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）是一个完全平方式， ， ． 当时，； 当时，． 故所求的值为3或27． 【点睛】本题考查了整式的加减，完全平方公式，平方差公式，完全平方式，掌握运算法则是解题的关键． 56．阅读理解：所谓完全平方式，就是对于一个整式如果存在另一个整式，使得，则称完全平方式．例如，，，则，均为完全平方式． (1)下列各式中是完全平方式的是 （只填序号）． ①；②；③；④ (2)将（1）中所选的完全平方式写成一个整式的平方的形式． (3)若是完全平方式，求的值． 【答案】(1)①④ (2)①；④； (3)． 【分析】（1）根据所谓完全平方式，就是对于一个整式如果存在另一个整式，使得，则称完全平方式解答即可； （2）根据幂的乘方的运算法则及完全平方式解答即可； （3）根据完全平方式解答即可． 【详解】（1）解：∵，对于一个整式如果存在另一个整式，使得， 故①属于完全平方式， ∵，对于一个整式如果不存在另一个整式，使得， 故②不属于完全平方式， ∵，对于一个整式如果不存在另一个整式，使得， 故③不属于完全平方式， ∵，对于一个整式如果存在另一个整式，使得， 故④属于完全平方式， 故答案为：①④； （2）解：①； ②； （3）解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方式，幂的乘方的运算法则，熟记完全平方公式是解题的关键． 题型十五 利用乘法公式的非负性求值（共4小题） 57．设，，．若，则（   ） A．27 B．24 C．22 D．20 【答案】A 【分析】观察到，，三个表达式之间存在连续整数关系，可将、用表示，再代入 已知等式求解． 【详解】解：∵ ， 将、代入 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用与代数式的整体代换，解题关键是通过观察变量间的连续关系，将、转化为含的表达式，从而简化计算． 58．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知实数均满足，则代数式的最小值为（    ） A．2023 B．2024 C．2026 D．2028 【答案】B 【分析】本题考查求代数式的最小值，利用完全平方公式进行变形是关键；由条件 得 ，代入代数式化简为关于 的代数式，进而求最小值 【详解】解：∵ ， ∴ . 令 ，则 ； ∴ 在 时最小值为 时的对应值， ∴ 当 时，最小值为 ， 故选B 59．（24-25七年级下·江苏南京·期中）【方法呈现】我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ， ． 当时，的值最小，最小值是1． 即当时，的最小值是1． 【尝试应用】 （1）下列多项式中①；②；③是完全平方式的有_________．（请填写序号）若是一个完全平方式，则的值等于_________（为常数）． （2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． 【拓展提高】 （3）用长的一根铁丝围成长方形，能围成的长方形的最大面积是多少？请说明理由． 【答案】（1）②③，24或；（2）时，该式的值最小，最小值是1999；（3）最大面积为9平方米，理由见解析 【分析】（1）根据完全平方公式的特征可得①不可以写成完全平方的形式，②③可以写成完全平方的形式．若是一个完全平方式，则，由此即可得解． （2）将写成，即可求出其最小值． （3）设长方形的长为，则宽为，则面积为，将写成，即可求出其最大值． 【详解】解：（1）①不是一个完全平方式； ②， ∴是完全平方式； ③， ∴是完全平方式； 若是一个完全平方式， 则， ∴． 故答案为：②③，24或 （2）， ， ， 当即时，该式的值最小，最小值是1999． （3）设长方形的长为，则宽为， 围成的长方形的面积是， ， 又， ， 当即时，的值最大，最大值是9， ∴最大面积为9平方米． 【点睛】本题考查的是利用完全平方式的非负性求解代数式的最值，利用完全平方公式分解因式，同时考查了不等式的基本性质，掌握“完全平方式的特点”是解本题的关键． 60．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）探究代数式的最小值时，我们可以这样处理： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： (1)当________时，有最小值是________； (2)多项式有最________（填“大”或“小”）值，该值为________； (3)已知，求的最小值； 【答案】(1)， (2)大， (3)的最小值是． 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）把原式化成再利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． 故答案为：，； （2）解： ∵， ∴当时，的值最大，最大值是0． ∴． ∴当时，的值最大，最大值是． 故答案为：大，； （3）解：∵， ， ∴， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． 题型十六 乘法公式的新定义运算（共4小题） 61．（2025·江苏连云港·模拟预测）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续奇数的平方差，并且这两个连续奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”． 例如：，且，所以是“差方数”． 则第个“差方数”是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式、“差方数”，设两个连续奇数为 和 ，其中 为正整数，根据差方数的定义可知，其中为偶数，为整数，根据“差方数”的定义可知，当时，代入求出第个“差方数”即可． 【详解】解：设两个连续奇数为 和 ，其中 为正整数， 则平方差为 ，即 ， 两个连续奇数的和为 ，且必须为某个正整数的平方， 设 ，则 ， 为整数， 必须为偶数， 令，则 ， 代入得 ， “差方数”为 ，其中 为正整数， 第个“差方数”对应， 即 ． 62．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题： (1)的值为_____________； (2)若是一个完全平方式，则_____________； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，完全平方公式的运用，整式的运算，熟练掌握相关运算方法，准确计算为解题关键． （1）根据题目中给出的定义代入计算即可； （2）根据题目中给出的定义代入得到式子，再根据完全平方公式求解即可； （3）先根据题目中给出的定义得到，再利用完全平方公式得出，代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：10； （2） ， 是一个完全平方式， ， ， ， 故答案为：； （3） ， ， ， ． 63．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（a，b为正整数）的形式_______； (2)探究：请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值； (3)应用：已知（x，y为整数，k是常数），要使S为“完美数”，求k的值，并说明理由． 【答案】(1) (2)，的最小值为1； (3)当时，S为“完美数”． 【分析】本题考查完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用配方法，将其配成完美数，可求出最小值； （3）根据完全平方公式，将其配成完美数，可求的值． 【详解】（1）解：25是“完美数”，将它写成（，是正整数）的形式为：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∴的最小值为1； （3）解：， ，是整数， ，也是整数， 要使S为“完美数”， ∴， 解得：， ∴当时，S为“完美数”． 64．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智能数”．例如，13是“智能数”，理由：因为． 解决问题： （1）①已知17是“智能数”，请将它写成（a，b是整数）的形式______； ②已知，则______； 探究问题： （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“智能数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 拓展结论： （3）已知实数x，y满足，求的最大值． 【答案】 （1）① ；② （2）当 时， 为“智能数”，理由见解析 （3） 【分析】本题考查了配方法的应用、非负数的性质及代数式的最值求解，解题的关键是通过配方法将式子化为完全平方式，结合“智能数”的定义或非负数的意义解决问题． （1）①寻找两个整数的平方和表示17； ②用配方法将等式化为完全平方式的和，利用非负数性质求、； （2）对配方，凑成两个完全平方式的和以满足“智能数”的定义； （3）用表示，代入代数式后配方求最大值． 【详解】（1）①解：∵， 故答案为：． ②解：， ∵，， ∴，，解得，， ∴． 故答案为：． （2）解： ， 令，即， 此时，、是整数，则、是整数，符合“智能数”的定义． 答：符合条件的一个值为13． （3）解：由，得， ∴， 配方得：， ∵， ∴的最大值为． 答：的最大值为． 题型十七 乘法公式中的配方法求最值（共4小题） 65．（24-25七年级下·江苏·期中）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值-1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________； (2)将变形为的形式___________，则的最小值为___________； (3)已知，求代数式的最大值； 【答案】(1)16 (2)，1 (3)有最大值． 【分析】本题主要考查完全平方式的变换，根据式子进行变换化成完全平方式是解题的关键． （1）根据完全平方公式求解； （2）利用配方法求最小值； （3）由，得到，代入得，利用配方法求最大值即可． 【详解】（1） 解：∵， 故答案为：16； （2）解：∵ ， 其中，， ， 的最小值是1； 故答案为：，1； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． 66．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）把关于的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法在代数式求值，最值问题，解方程等问题中都有着广泛的应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用，即：． 例如：将配方如下：． 请根据阅读材料解决下列问题： 【初步应用】（1）用上面的方法对多项式配方； 【类比应用】（2）求代数式的最小值； 【拓展应用】已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查完全平方式的逆用和非负数的性质，负整数指数幂的含义，熟练掌握完全平方公式的逆运用是解题的关键． （1）根据完全平方公式的逆运用计算即可； （2）根据完全平方公式的逆运用把原式化为，再利用非负数的性质计算即可． （3）把化为，再结合非负数的性质进一步求解即可． 【详解】解：（1）； （2） ， ∵，， ∴； ∴的最小值为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 解得：，，， ∴． 67．（24-25七年级下·江苏南京·期中）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数， 即．所以，所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式______，则的最小值为______； (2)已知，求代数式的最大值； (3)已知，请比较与的大小，并说明理由； 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了配方法的应用； （1）依据题意，根据完全平方公式求解； （2）由，得到，代入得，利用配方法求最大值即可； （3）求出，即可比较大小． 【详解】（1）解：， ∵不论取何值，总是非负数，即． ∴， ∴当时，有最小值． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵不论取何值，总是非负数，即． ∴， ∴，即． 68．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下： ∵ ∴ 因此，该式有最小值1 ②已知：将其变形，，，可得 (1)按照上述方法，将代数式变形为的形式； (2)若，求p的最大值； (3)已知a、b、c是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由； (4)若，，，请求出的值． 【答案】(1) (2)当时，p的最大值为6 (3)是等边三角形，理由见解析 (4)3 【分析】（1）根据材料步骤配方即可； （2）先配方成顶点式即可解题； （3）先配方成几个平方的和为0的形式即可解题； （4）先配方成几个平方的和的形式，整体代入即可解题． 【详解】（1） （2）∵ ∴当时，p的最大值为6 （3）∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴是等边三角形 （4）∵，， ∴，， 原式 【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟读阅读材料并理解运用是解题的关键． $ 专题02 整式乘法 题型1 单项式乘法计算 题型10 乘法公式计算题（常考点） 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型11 平方差公式与几何图形（常考点） 题型3 单项式乘多项式的应用 题型12 完全平方公式与几何图形（常考点） 题型4 多项式乘法计算 题型13 通过对完全平方公式变形求值（重点） 题型5 （x+p）（x+q）型多项式乘法（常考点） 题型14 求完全平方式中的字母系数 题型6 多项式乘法的化简求值（常考点） 题型15 利用乘法公式的非负性求值（重点） 题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值（重点） 题型16 乘法公式的新定义运算（难点） 题型8 多项式乘法与图形面积 题型17 乘法公式中的配方法求最值（难点） 题型9 多项式乘法中的规律性问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 单项式乘法计算（共4小题） 1．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值（共4小题） 5．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若，则__________． 7．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若 ，则求的值． 8．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，求，的值． 题型三 单项式乘多项式的应用（共4小题） 9．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成大小卧室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的． (1)用含，的代数式分别表示大卧室和阳台的面积； (2)若，，求的值． 10．如图，四边形与是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 11．（224-25七年级下·江苏常州·期中）一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是______． 12．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）（1）如图1，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积． （2）如图2，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积． （3）如图3，正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点G在线段上，已知正方形的边长为8，则的面积为 （请直接写出结果，不需要过程） 题型四 多项式乘法计算（共4小题） 13．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 14．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 15．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1) (2) 16．（24-25七年级下·江苏·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五 （x+p）（x+q）型多项式乘法（共4小题） 17．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）回答下列问题： (1)计算：①_____； ②______； ③_____． (2)总结公式：_____． (3)由（2）的公式，直接写出下列计算的结果： ①______；②______； (4)已知a，b，m均为整数，且，求m的所有可能值：______． 18．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）回答下列问题： (1)计算： ①___________； ②___________； ③___________． (2)总结公式（___________）； (3)已知均为整数，且，求的所有可能值． 19．（24-25七年级下·江苏·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 20．（24-25七年级下·江苏南京·期中）先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 题型六 多项式乘法的化简求值（共4小题） 21．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知，求的值． 22．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）先化简，再求值：，其中． 23．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中． 24．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为 ． (2)若，求代数式的值． 题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值（共4小题） 25．（25-26八年级上·江苏南通·期中）若的展开式中不含项，则a的值为（   ） A． B．2 C． D．1 26．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若计算结果中不含的一次项，则的值为（　　）． A．2 B．3 C． D．6 27．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于x的多项式化简后不含有x一次项，则实数k的值为________． 28．在学习多项式乘多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)所得多项式的一次项系数是______； (2)计算所得多项式的一次项系数； (3)如果计算所得多项式不含一次项，求的值． 题型八 多项式乘法与图形面积（共4小题） 29．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，连接，若阴影部分的面积为10．当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）设有边长分别为和的类和类正方形纸片，长为、宽为的类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为___________． 31．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)用含有a，b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）． (2)若，，绿化成本为50元／平方米，则完成绿化共需要______元． 32．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． (1)【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是． ①条件：当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是______．如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、9、满足的等量关系是______； 结论：可得． ②当时，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______． (2)【方法迁移】 仿照上述方式，求出当时，代数式的最大值（无需描述割补过程，只需画出示意图）． 题型九 多项式乘法中的规律性问题（共4小题） 33．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（   ） A．512 B．1024 C．2048 D．4096 34．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算术》中提出“杨辉三角”（如图），介绍了（n是非负整数）展开式的项数及各项系数有关的规律如下图： 例如：，那么展开式中的系数为（    ） A．27 B． C．108 D． 35．根据，，，．所包含的规律，回答下列问题． （1）的值为_______． （2）的个位数字是_______． 36．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：______． (2)猜想：＝______． (3)利用（2）中的结论，求的值． 题型十 乘法公式计算题（共4小题） 37．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）化简 (1)． (2)． 38．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 39．（2026七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 40．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）计算： (1)． (2)． 题型十一 平方差公式与几何图形（共4小题） 41．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，四边形是长方形，四边形是面积为21的正方形，点、分别在、上，点、在上，点、在上，且四边形是正方形，连接、、，若正方形的面积为3，则图中阴影部分的总面积为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 42．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）图1是长为，宽为的一个长方形，将其进行分割，剪拼，得到如图2所示的大正方形．通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是_______． 43．（24-25七年级下·江苏南京·期末）将边长分别为，的小正方形和大正方形按如图所示摆放.若，则图中阴影部分的总面积为_______. 44．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图1，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． （1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_____； （2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为_____； （3）比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式_____； 【问题解决】 （4）利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为_____； ②计算：． 题型十二 完全平方公式与几何图形（共4小题） 45．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________． (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①________；②________． (3)观察图2你能写出三个代数式之间的等量关系________． (4)已知，求代数式的值． 46．（25-26八年级上·福建福州·期末）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为 ． 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若，，求的值． (3)若满足，求的值． 【拓展】 (4)如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米，求的长． 47．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分面积分别能解释的数学公式． 图1：________；图2：________；图3：________． (2)通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度    方法二：从“形”的角度 解：，        解：， ，即：，    又， 又        ， ．        ． 即．        即． 根据所给材料，解决以下问题： 如图，点是线段上的一点，以，为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 48．（25-26八年级上·吉林·期中）通过第11章《整式的乘除》的学习，我们知道，可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的 两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 ． 这种验证思路体现了下列哪一种数学思想（    ） A．数形结合思想  B．分类讨论思想  C．类比思想   D．转化思想 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图②，在线段CE上取一点D，分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为9，△CDG的面积为3，则CE的长度为 ． 题型十三 通过对完全平方公式变形求值（共4小题） 49．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 50．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）按要求完成下列各题： (1)已知实数a，b满足，求的值； (2)已知，求的值． 51．（24-25七年级下·江苏南京·期中）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，；所以，；所以，；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则___________； 【类题探究】 （2）若满足．求的值． 52．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 题型十四 求完全平方式中的字母系数（共4小题） 53．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若是一个完全平方式，则负数的值是（    ） A． B． C． D． 54．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若是完全平方式，则m的值是______． 55．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 56．阅读理解：所谓完全平方式，就是对于一个整式如果存在另一个整式，使得，则称完全平方式．例如，，，则，均为完全平方式． (1)下列各式中是完全平方式的是 （只填序号）． ①；②；③；④ (2)将（1）中所选的完全平方式写成一个整式的平方的形式． (3)若是完全平方式，求的值． 题型十五 利用乘法公式的非负性求值（共4小题） 57．设，，．若，则（   ） A．27 B．24 C．22 D．20 58．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知实数均满足，则代数式的最小值为（    ） A．2023 B．2024 C．2026 D．2028 59．（24-25七年级下·江苏南京·期中）【方法呈现】我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ， ． 当时，的值最小，最小值是1． 即当时，的最小值是1． 【尝试应用】 （1）下列多项式中①；②；③是完全平方式的有_________．（请填写序号）若是一个完全平方式，则的值等于_________（为常数）． （2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． 【拓展提高】 （3）用长的一根铁丝围成长方形，能围成的长方形的最大面积是多少？请说明理由． 60．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）探究代数式的最小值时，我们可以这样处理： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： (1)当________时，有最小值是________； (2)多项式有最________（填“大”或“小”）值，该值为________； (3)已知，求的最小值； 题型十六 乘法公式的新定义运算（共4小题） 61．（2025·江苏连云港·模拟预测）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续奇数的平方差，并且这两个连续奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”． 例如：，且，所以是“差方数”． 则第个“差方数”是______． 62．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题： (1)的值为_____________； (2)若是一个完全平方式，则_____________； (3)已知，且，求的值． 63．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（a，b为正整数）的形式_______； (2)探究：请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值； (3)应用：已知（x，y为整数，k是常数），要使S为“完美数”，求k的值，并说明理由． 64．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智能数”．例如，13是“智能数”，理由：因为． 解决问题： （1）①已知17是“智能数”，请将它写成（a，b是整数）的形式______； ②已知，则______； 探究问题： （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“智能数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 拓展结论： （3）已知实数x，y满足，求的最大值． 题型十七 乘法公式中的配方法求最值（共4小题） 65．（24-25七年级下·江苏·期中）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值-1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________； (2)将变形为的形式___________，则的最小值为___________； (3)已知，求代数式的最大值； 66．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）把关于的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法在代数式求值，最值问题，解方程等问题中都有着广泛的应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用，即：． 例如：将配方如下：． 请根据阅读材料解决下列问题： 【初步应用】（1）用上面的方法对多项式配方； 【类比应用】（2）求代数式的最小值； 【拓展应用】已知，求的值． 67．（24-25七年级下·江苏南京·期中）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数， 即．所以，所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式______，则的最小值为______； (2)已知，求代数式的最大值； (3)已知，请比较与的大小，并说明理由； 68．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下： ∵ ∴ 因此，该式有最小值1 ②已知：将其变形，，，可得 (1)按照上述方法，将代数式变形为的形式； (2)若，求p的最大值； (3)已知a、b、c是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由； (4)若，，，请求出的值． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $