广西玉林市容县2026届高三数学模拟训练测试卷（全国II卷）

**基本信息** 含原创情境题（银行复利计算、三角形重心问题），融合本土文化（阳光杯篮球联赛）与数学文化（椭圆光学性质），注重数学眼光观察现实、思维推理及语言表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、百分位数、函数比较、数列、双曲线|基础概念辨析，梯度合理| |多选题|3/18|二项式定理、概率统计、抛物线与双曲线综合|多知识点交叉，考查思辨能力| |填空题|3/15|切线方程、复利计算（原创）、三角函数图像|现实应用与图像分析结合| |解答题|5/67|解三角形（原创）、立体几何、统计案例、函数导数、椭圆光学性质|综合性强，如椭圆光学性质题体现数学文化，统计案例题培养数据观念|

Sheet1 题号 题型 考查知识点 分值 考查能力层次 难度系数 预估得分 课标/考纲要求 命题意图 1 单选题 集合的交集运算 5 理解 0.9 4.5 理解集合的表示及交集定义 考查基本运算能力 2 单选题 复数的几何意义（象限判断） 5 理解 0.85 4.25 理解复数与复平面点的对应关系 考查复数代数形式与几何意义 3 单选题 百分位数的计算 5 掌握 0.8 4 掌握第p百分位数的求法 考查数据处理能力 4 单选题 三角恒等变换（诱导公式） 5 掌握 0.75 3.75 掌握诱导公式及基本恒等变换 考查三角运算与转化思想 5 单选题 指数函数与对数函数比较大小 5 掌握 0.7 3.5 掌握指数函数、对数函数的单调性 考查函数性质与数形结合 6 单选题 等比数列的基本量计算 5 掌握 0.7 3.5 掌握等比数列通项公式与性质 考查方程思想与运算能力 7 单选题 双曲线的离心率（渐近线、垂直） 5 综合运用 0.6 3 理解双曲线的渐近线、离心率及几何性质 考查几何分析与代数运算 8 单选题 函数零点个数与参数范围 5 综合运用 0.55 2.75 掌握函数零点存在性定理及数形结合 考查分类讨论与函数图像 9 多选题 二项式定理（项数、指定项、系数和） 6 掌握 0.7 4.2 掌握二项展开式的通项、系数和、二项式系数和 考查二项式定理的综合应用 10 多选题 正态分布、独立事件、方差变换、相关指数 6 理解 0.65 3.9 理解正态分布性质、事件独立性、方差性质、回归分析 考查统计与概率多个概念 11 多选题 抛物线与双曲线综合（焦点、公共点、离心率） 6 综合运用 0.5 3 掌握抛物线、双曲线的标准方程及几何性质 考查圆锥曲线综合推理 12 填空题 导数的几何意义（切线方程） 5 掌握 0.8 4 掌握导数的几何意义及切线求法 考查导数基本应用 13 填空题 复利计算（等比数列实际应用） 5 掌握 0.7 3.5 掌握等比数列在实际问题中的应用 考查数学建模与运算 14 填空题 三角函数的图像与性质（周期、平移、奇偶） 5 综合运用 0.6 3 掌握y=Asin(ωx+φ)的图像变换及性质 考查图像识别与性质推理 15 解答题 解三角形（正弦定理、重心、面积最值） 13 综合运用 0.7 9.1 掌握正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 考查几何最值与综合推理 16 解答题 立体几何（线面平行、面面垂直、线面角） 15 综合运用 0.65 9.75 掌握空间平行与垂直的判定及向量法求角 考查空间想象与逻辑推理 17 解答题 独立性检验、分层抽样、分布列与期望 15 掌握 0.7 10.5 掌握2×2列联表、独立性检验、分层抽样、超几何分布 考查概率统计综合应用 18 解答题 导数综合（单调性、恒成立、双变量不等式） 17 综合运用 0.5 8.5 掌握导数研究函数单调性、最值、参数范围 考查分类讨论与转化思想 19 解答题 椭圆光学性质、直线过定点、斜率关系 17 综合运用 0.45 7.65 掌握椭圆的标准方程、光学性质、直线与椭圆综合 考查解析几何综合能力 Sheet2 Sheet3 $ 《2026年高考模拟训练卷》参考答案、评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A C D A C D B CD AD BCD 1．B【详解】因为，，所以. 2．A【详解】，复平面内对应的点坐标为，因此位于第一象限. 3．C【详解】将这组数据从小到大排列为：4、6、15、29、46，由，故这5个数据的第20百分位数是. 4．D【详解】因为，所以由诱导公式得．故选：D 5．A【详解】，即，，，即，所以. 6．C【详解】因为三个正数，，成等比数列，所以，又，所以，则，又，所以． 7．D【详解】由双曲线，可得其渐近线方程为， 不妨设直线的方程为，令，可得，即， 因为，可得，可得，解得，所以的离心率为. 8． B【详解】令，则. 当时，左边，右边，所以是方程的一个零点.当时，可化为. 令，则. 令，则. 令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，即当时，恒成立. 又，所以当时，恒成立，所以在和上单调递增， 所以当时，；当时，，即当时，，单调递增； 当时，，单调递减.又，所以为偶函数. 当时，. 令，则，则. 根据导数定义，而， 所以当时，，又当或时，. 所以，即，则的取值可以是，故B正确. 9． CD【详解】因为的展开式共有6项，所以A不正确； 通项公式为，令可得第三项为，B不正确； 令可得所有项的系数和为0，C正确；所有项的二项式系数和为，D正确. 故选：CD 10．AD【详解】对于A：因随机变量，则，由正态曲线的对称性可得，故A正确； 对于B：由事件，相互独立，可知，对于随机事件，， 都有，故仅当，互斥时，才有，故该结论不成立，即B错误； 对于C，由题意，，，对于数据，，，， 其均值为，其方差为，故C错误； 对于D，相关指数越接近1，值越大，残差平方和接近0，值越小， 则该回归模型的拟合效果越好，故D正确. 11．BCD【详解】因为双曲线 为标准形式 ，其中 ，，则，所以，则双曲线的右焦点坐标为. 选项A，由 的焦点为 ，由题意，，解得，故A错误； 选项B，由上分析，的离心率为，故B 正确； 选项C，联立，解得 或（不合题意舍去）， 即，则 ，故C 正确； 选项D，由上分析，易得双曲线 的渐近线方程为 ， 由对称性，可取点Q 为 ，该点到两条渐近线的距离分别为，， 所以，故D 正确. 12．【详解】由题，得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：. 13．23.67【详解】依题意，小何奖20万元按复利存入银行，年利率为1.7%，10年后本金与利息总和记为。复利计算，第年年底的本息和为,其中本金20万元，年利率，年数，因此10年后的本息和为：先计算，则，代入得，所以小何10年后本金与利息总和为23.67万元，故答案为：23.67 14．①④⑤【详解】由图可知，，说法①正确， ，， 令可得.则函数的解析式为：， ， 很明显该函数不是偶函数，所以②、③不正确； 函数的对称轴为直线，一个对称中心为， 因为的图象关于直线对称，且的最大值为， ，所以，即④正确； 设为函数的图象上任意一点， 其对称中心的对称点还在函数的图象上， 即，故⑤正确. 综上可得，正确的说法是①④⑤. 15．(1) (2) 【详解】（1）解法一：由正弦定理：得：…………………………1分……………………………………………………………2分 ……………………………………3分 ………………………………………………………………………………4分 ……………………………………………………………5分 ………………………………………………………………6分 （评分说明：无角的范围共扣1分） 解法二：由余弦定理得：…………………………………………2分 （评分说明：余弦定理对其中一个给1分） 化简得：……………………………………………………………………………3分 由 …………………………………………………………………4分 ……………………………………………………………………………………………5分 ………………………………………………………………………………………………6分 解法三：由射影定理：得：……………………………………………………2分 ……………………………………………………………………………………………3分 ……………………………………………………………………………………………4分 ……………………………………………………………………………………………5分 ………………………………………………………………………………………………6分 （2） 由题可知：， ………………………………………………………………………………7分 ，即 ，化简得：……………………………………8分 …………………………………………………………………………9分 当且仅当时，“=”成立…………………………………………………………………………10分 ………………………………………………………………………………………………11分 …………………………………………………………………………………12分 面积的最大值为：………………………………………………13分 16．(1)证明见解析 (2)①证明见解析； ② 【详解】（1）证明：取中点为，连接，， ∵，分别为，的中点， ∴，.…………………………………………………………………………1分 又四边形为正方形，∴，，……………………………………………2分 又∵为的中点，∴，， ∴四边形为平行四边形，………………………………………………………………………3分 ∴.……………………………………………………………………………………………4分 又平面，平面， ∴平面.……………………………………………………………………………………5分    （2）①证明：∵，，为的中点，∴， ∵底面，∴，…………………………………………………………………6分 又，，∴平面，………………………………………………7分 ∴，…………………………………………………………………………………………8分 又，∴平面，………………………………………………………………9分 又平面，∴平面平面.……………………………………………………10分 ②解：以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系.设，则，，，，， ，，……………………………………………………11分 （评分说明：建系正确或对其中一个点坐标或对其中一个向量就给1分） 设平面的法向量为， 则即…………………………………………………………………12分 令，则，……………………………………………………………………………13分 设直线与平面所成角为，则.…………………………15分 （评分说明：证明的结构不完整，共扣1分，其他按照评分细则给分，其他正确解法按照步骤给分.） 17．(1)列联表如下： 了解 不了解 合计 男生 40 40 80 女生 20 60 80 合计 60 100 160 依据的独立性检验，认为该校学生对“阳光杯”赛事的了解情况与性别有关联. (2)X的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望为. 【详解】（1）由题意，， 可知“了解‘阳光杯’中学生篮球联赛”的女生有人，则不了解联赛的女生有60人 “了解‘阳光杯’中学生篮球联赛”的男生有 人，则不了解联赛的男生有40人. 所以 了解 不了解 合计 男生 40 40 80 女生 20 60 80 合计 60 100 160 …………………………………………………………………………………………………………3分 （评分说明：列联表对一个给1分，对4个给2分，全对给3分） 零假设：该校学生对“阳光杯”赛事的了解情况与性别无关.…………………………………4分 依题意， 则, ……………8分 依据的独立性检验，推断不成立，所以认为该校学生对“阳光杯”赛事的了解情况与性别有关联.……………………………………………………………………………………………9分 （评分说明：看到有“与性别有关联”就给结论这1分） （2）由（1）知，抽取的10名学生中，男生有4人，女生有6人.可能的取值为0,1,2……10分 则，………………………………………………………………………………11分 ，………………………………………………………………………………12分…………………………………………………………………………………13分 （评分说明：求概率的过程对，结果不结，共扣1分） X的分布列为 X 0 1 2 P …………………………………………………………………………………………………………14分 数学期望……………………………………………………………15分 18．(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； (2) (3) 【详解】（1），……………………………………………………1分 当时，，则恒成立，故在上单调递减；………………………2分 当时，令，解得， 则当时，，当时，，………………………………3分 故在上单调递减，在上单调递增；……………………………………4分 （2）由（1）知，当时，在上单调递减， 则，不符；……………………………………………………5分 当时，在上单调递减，在上单调递增， 由恒成立，则，………………………………6分 整理得，令，则在上单调递增，……………………7分 又，故当时，；……………………………………………………8分 综上所述：；………………………………………………………………………………………9分 （3）由题意可得，………………………………………………………………10分 若，则当时，，不符，故，则；……………11分 ，………………………………………………………………………………12分 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，……………………………………………13分 故，……………………………………………………14分 则有恒成立，即，………………………………………15分 令，则，………………………………………………………………16分 由在上单调递增，则，故.………………………………………………17分 （评分说明：其他不对的情况下，分类讨论正确给1分，有，这两个又给1分.） 19．(1) (2)①； ②或. 【详解】（1）解：不妨设、是椭圆的左焦点、右焦点， 则轴，又因为，，……………………………………………………………1分 所以，即，…………………………………………………………………2分 所以，……………………………………………………………………………………………3分 则椭圆的标准方程为：.……………………………………………………………………4分    （2）①证明：设直线的方程为，，， 联立，得：，…………………………………………5分 （评分说明：联立方程组对或此方程对就给1分） 则，，………………………………………………………………6分 （评分说明：韦达定理对其中一个给1分） 因为，所以，………………………………………………………7分 即， 即，即， 则，即，即，则或，………………………………………………………8分 （评分说明：或对其中一个给1分） 当时，直线可化为， 即直线过定点（与左焦点重合，舍）；………………………………………………………9分 当时，直线可化为， 即直线过定点；……………………………………………………………………………10分 综上所述，直线过定点；…………………………………………………………………11分 ②解：由①得，则，，………………………………12分 且，解得；………13分 因为，所以，………………………………………………14分 即，即，即， 即，即，即，……15分 则或，…………………………………………………………………………………16分 （评分说明：或对其中一个给1分） 所以或.……………………………………………………………………………17分 （评分说明：或对其中一个给1分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考模拟训练卷(考试时间：120分钟，满分：150分) 姓名：___________班级：______考号：______成绩：_________ 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．设集合，，则 （   ） 2．复数 在复平面内对应的点所在的象限为（   ） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 3．已知数据：6、46、29、15、4，这5个数据的第20百分位数是（    ） 26 6 5 4 4．已知 ，则 （    ） 5．设 ，则 的大小关系为（   ） 6．已知三个正数 成等比数列，且，，则（   ） 9 6 15 12 7．设双曲线的左焦点为，过作的一条渐近线的垂线，交轴于点，若，则的离心率为（    ） 8． 已知函数有3个零点，则可以是（    ） 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．在的展开式中，下列说法正确的是（　　） 一共有5项 第3项为 所有项的系数和为0 所有项的二项式系数和为32 10．下列说法正确的是（ ） 若随机变量，则 若事件,相互独立，则 若样本数据的方差为2，则数据的方差为5 用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 11．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点为和的一个公共点，则（   ） 的离心率为2 点到的两条渐近线的距离之和为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．曲线在点处的切线方程为_________. 13．（原创）小何将多年积攒的红包钱共计20万元存入银行，选择自动转存的存款方式（即每年产生的利息计入下一年本金，按复利计算），银行年利率为1.7%.10年后，小何的本金与利息总和是______________万元（结果保留两位小数）。 14．函数(是常数，且)的部分图象如图所示，下列结论： ①最小正周期为； ②将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数； ③； ④； ⑤. 其中正确的是___________. 四、解答题 15．（13分）（原创）在中，角所对的边分别为且. (1)求角； (2)过顶点与重心的直线与交于点，直线与所截得线段长为，求面积的最大值. 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，分别为的中点.   (1)求证：平面； (2)若，①证明：平面平面； ②求直线与平面所成角的正弦值. 17．（15分）“阳光杯”中学生篮球联赛是毕节市威宁自治县极具本土特色的体育赛事，赛事深度融合威宁多民族文化与高原风情，是当地群众最喜爱的体育赛事之一.威宁县某中学为了研究不同性别的学生对该赛事的了解情况，进行了一次抽样调查，随机抽取该校男生和女生各80名作为样本.设事件“了解‘阳光杯’中学生篮球联赛”，“学生为女生”，已知，. (1)完成下列列联表，并依据的独立性检验，能否认为该校学生对“阳光杯”中学生篮球联赛的了解情况与性别有关联? 了解 不了解 合计 男生 女生 合计 (2) 现从该样本不了解“阳光杯”中学生篮球联赛的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取2人，设抽取的2人中男生的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（17分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若，（其中），，都有，求的取值范围. 19．（17分）欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点现有一椭圆，长轴长为，从一个焦点发出的一条光线经椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知为该椭圆的左顶点，若斜率为且不经过点的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，且满足． ①证明：直线过定点； ②若，求的值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $