精品解析：广西玉林市2026届高三下学期模拟测试数学科试题

广西玉林市2026届高三下学期模拟测试数学科试题 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一､单选题 1. 已知集合，，则集合中的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】，，，，， 集合中满足的元素有，0，1，2，共4个， 故集合中的元素个数为4，故选项C正确. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 10 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，再由复数模长公式即可得出答案. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A. 3. 已知数列的前项和为，若，，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列前项和与通项的关系（），结合已知条件逐步推导求出. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，. 故选：B. 4. 已知某班8位同学的体重（单位：kg）分别为69，71，67，57，63，53，67，41，则这组数据的（ ） A. 极差为28 B. 平均数为60 C. 第三四分位数是69 D. 方差为90 【答案】D 【解析】 【详解】将8位同学的体重按照从小到大的顺序排列：41，53，57，63，67，67，69，71， 对于A，极差为，错误； 对于B，平均数为，错误； 对于C，，所以第三四分位数为，错误； 对于D，方差为， 正确. 5. 函数的最小值和最小正周期分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方关系及二倍角余弦公式化简，再根据三角函数的性质求解即可． 【详解】因为 ， 所以当时，函数取最小值， 函数的最小正周期为． 故选：C 6. 已知圆：（）与直线：相交于，两点，为坐标原点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用直线过定点且与轴相切的条件，结合，推出是直径，进而得到直线过圆心，最后利用斜率公式即可得结果. 【详解】由题意可知，直线过点，圆与轴相切于原点，如图， 若，则是圆的直径，即直线过点， 所以，得. 7. 如图，圆台的高为，是母线，，.现在将圆台的侧面沿剪开，并展开成平面图形，点在侧面展开图中对应的点为，，则线段的长度为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图1，在圆台的轴截面中作于点. 设，由题意得，， 由勾股定理可得，解得，所以. 侧面展开图如图2，的长为，的长为， 所以，又，所以， 所以，所以. 8. 已知正实数满足，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对已知等式进行变形，构造出函数，然后将、、分别转化为函数与、、交点的横坐标，最后通过画出这些函数的图象，根据图象的位置关系来确定、、的大小关系. 【详解】已知为正实数，且，化简得到，进一步变形为； 同理，由，可得到，即； 由，可得到，即； 令，，对求导得， 当时，，即，因为，所以，此时函数在上单调递减； 当时，，即，因为，所以，此时函数在上单调递增； 当时，； 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 在同一平面直角坐标系中画出，，，的图象，如图所示： 从图象中可以直观地看出，三个交点的横坐标关系为. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，且（为常数），则 【答案】CD 【解析】 【分析】求出判断A；求出通项公式进而判断B；利用等差数列性质判断C；找出通项公式，结合等比数列意义判断D. 【详解】对于A，，， 数列不是等差数列，A错误； 对于B，当时，，满足上式，因此，当时， 数列不是等比数列，B错误； 对于C，是等差数列，，C正确； 对于D，当时，，， 由是等比数列，得，因此，，D正确. 故选：CD 10. 已知函数，则（ ） A. ，是增函数 B. ，是奇函数 C. 若有三个不同的零点，，，则 D. 过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：根据导数与单调性的关系判断即可；选项B：根据奇函数的定义判断即可；选项C：根据函数零点的定义，结合韦达定理求解即可；选项D：利用导数的几何意义求得切线方程，代入点得，则函数与直线的图象有3个不同的交点，利用导数与极值的关系判断即可. 【详解】已知，则. 选项A：若是增函数，只需，只需即可，所以. 所以，是增函数，故A正确. 选项B：，， 则，故不是奇函数，故B错误. 选项C：若有三个不同的零点，，，则有3个根. 其中一个零点为，另外两个零点为的两个根，，则. 所以，故C正确. 选项D：设切点为，， 所以切线方程为. 又切线过，所以，即. 切线恰有3条，等价于有3个不同的实数解，即函数与直线有3个交点. . 令，即，解得或. 当时，，当时，， 所以在、上单调递减，在上单调递增， 所以极小值为，极大值为， 所以当时，与有3个交点. 所以当时，过点且与曲线相切的直线恰有3条，故D正确. 11. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别是，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，，两点均在轴上方，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则双曲线的渐近线方程为 C. 若是钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 D. 若是钝角三角形，直线，的斜率分别是，，则的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义结合等腰直角三角形的性质即可判断A；结合选项A及余弦定理得到，进而得到，即可求出渐近线方程，可判断B；根据三角形大角对大边及通径可得到，进而求出，即可判断C；设出直线，的倾斜角，， 得到，结合两角差正切公式得到，进而得到，结合基本不等式即可判断D. 【详解】对于A：由双曲线的定义可知，，. 令，则，又， 所以是等腰直角三角形， 又，所以， 则，，故A错误； 对于B：在中，， 由余弦定理得，， 整理得，所以，则，故渐近线方程为，故B正确； 对于C：若是钝角三角形，必有， 则在中，，又，所以，即， 解得，又， 所以，所以， 所以双曲线离心率的取值范围是，故C正确； 对于D：令直线，的倾斜角分别是，，，，，， 则，即，， 所以， 又，当且仅当时等号成立， 所以，所以，当，时取等号，故D正确． 三.填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解. 【详解】因为，， 所以向量在方向的投影向量为. 故答案为： 13. 已知的展开式中二项式系数之和为128，则其展开式中系数最小项的系数为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数和得，从而写出二项式展开式通项，结合组合数的性质确定最小项系数即可. 【详解】由题设，则二项式为，对应展开式为，， 所以系数最小项在为奇数时出现，且为其中最大的情况， 由，故时对应系数最小， 此时系数最小项的系数为. 14. 现有一个半径为6的球状容器（不考虑容器厚度），在容器内放置8个半径相同的实心小球，若这8个小球的球心恰为某个正方体的8个顶点，则小球半径的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定正方体边长，再关联正方体边长与小球半径，代入求解即可； 【详解】大球半径为，8个小球半径相同，设为， 设正方体的边长为，则正方体的体对角线长度为， 要使小球半径最大，8个小球既要与大球内壁相切，也要使得相邻的小球之间相互外切。 由小球与大球内壁相切可得 由相邻小球相互外切可得正方体的边长 正方体中心到任意一个顶点（小球球心）的距离是体对角线的一半，即， 将代入得，解得 所以小球半径最大值为 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角三角形中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设结合可得，再结合余弦定理求解即可； （2）解法一：由结合两角和与差的余弦公式可得，进而得到，再利用正弦定理可得，代入即可求解； 解法二：由结合余弦函数的性质可得，再利用余弦定理得到，与相加，再结合即可求解； 解法三：由，结合三角恒等变换公式先得到，过作，垂足为，可得，进而结合即可求解. 【小问1详解】 由，可得， 则， 因为，故. 【小问2详解】 解法一：由，可得， 则， 因为，所以，， 则，即，所以， 由正弦定理， 可得， 得， 代入，可得， 解得，即. 解法二：由，可得， 则或， 即或， 因为，所以， 由余弦定理可得，则， 又，两式相加可得， 即，得. 解法三：由，可得， 得， 即， 因为，所以， 则，即，即， 则，所以， 如图，过作，垂足为，可得， 故， 所以. 16. 如图，在矩形中，为的中点.现将沿折起到的位置，使得. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）如图，连接 .在矩形 中，有，所以， 又因为，所以平面， 所以 . 由题意知，所以， 则，故 . 又因为，所以平面 ， 因为平面 ，所以平面平面 . （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，以的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得， 所以. 设平面 的法向量为， 则即取， 所以， 故直线 与平面 所成角的正弦值为. 17. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）的极小值为，无极大值 （2）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）由条件可得，求导函数及其零点，利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性，结合极值的定义求结论； （2）分别在条件，下化简函数解析式，结合对数函数性质导数与函数的单调性的关系判断函数的单调性即可. 【小问1详解】 当时，， 所以. 令，得， 且当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 . 当时，， 因为，所以在上单调递减. 当时，， 由， 令，得. 当，即时，， 所以在上单调递增. 当，即时， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 18. 已知椭圆的焦距为，过点的直线与交于两点，为的中点，为坐标原点.设的斜率为，直线的斜率为，. （1）求椭圆的方程； （2）若为直角三角形，求的值； （3）直线交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，探究：是否为定值？ 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由点差法和斜率的关系可得椭圆的基本量，进而可得椭圆方程； （2）根据三角形为直角三角形进行分三类情况讨论，若时结合根与系数关系可得斜率值；若或时，分别可得或的坐标，进而可得斜率值； （3）分别用直线的斜率为表示出点的横坐标，进而可证明定值. 【小问1详解】 设，则，两式相减，得，即. 因为为的中点，所以， 所以直线的斜率为，所以， 所以，即. 因为椭圆的焦距为，所以，又因为， 解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为.设，如图： 将代入方程，消得， ，解得. 则. 若时，有，即，, 即， 所以，化简整理得，解得，符合； 若时，则，即，所以. 又因为，联立方程组解得或（舍去）， 所以，所以，符合. 若时，则，即，所以. 又因为，联立方程组解得或（舍去）， 所以，所以，符合. 综上，或. 【小问3详解】 由直线的方程，知. 因为点为点关于轴的对称点，所以，所以直线的方程为， 令，得点的横坐标为，因为， 所以， 所以为定值. 19. 甲、乙两人进行冬奥会知识竞猜游戏，每轮竞猜两人获胜的概率均为. （1）若进行4轮竞猜，记事件“甲获胜2轮”为，“甲第2轮获胜”为，判断与是否相互独立. （2）记进行（）轮竞猜时甲获胜2轮的概率为. （ⅰ）求满足的的取值集合； （ⅱ）若两人的竞猜游戏在满足以下任一条件时终止：①甲获胜2轮，②竞猜总轮数达到（），记结束游戏时竞猜的轮数为，证明：. 【答案】（1）与相互独立 （2）（ⅰ）；（ⅱ）由题意知，， . 记，则， 作差，得， 所以，所以. 所以. 由（i）知. 所以 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率公式可求得，利用独立事件的定义判断即可； （2）（ⅰ）由题意得，可证当时，，可求得的取值集合；另解，构造函数，利用导数研究函数的单调性可求解；（ⅱ）由题意可得，，利用错位相减法可求得，进而利用期望的定义计算可证明结论. 【小问1详解】 由题意得，， 因. 因为，所以与相互独立. 【小问2详解】 （i）由题意知. 等价于. 当时，；当时，； 当时，；当 时，. 下面证明：当时，. 当时， . 综上，满足的的取值集合为. 另解：构造函数， 则，令 求导得，显然该函数为上的增函数， 当时，， 则即在上是增函数，故， 即在上是增函数，从而. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西玉林市2026届高三下学期模拟测试数学科试题 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一､单选题 1. 已知集合，，则集合中的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知复数，则（ ） A. B. 10 C. D. 2 3. 已知数列的前项和为，若，，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 4. 已知某班8位同学的体重（单位：kg）分别为69，71，67，57，63，53，67，41，则这组数据的（ ） A. 极差为28 B. 平均数为60 C. 第三四分位数是69 D. 方差为90 5. 函数的最小值和最小正周期分别为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆：（）与直线：相交于，两点，为坐标原点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆台的高为，是母线，，.现在将圆台的侧面沿剪开，并展开成平面图形，点在侧面展开图中对应的点为，，则线段的长度为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 8. 已知正实数满足，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，且（为常数），则 10. 已知函数，则（ ） A. ，是增函数 B. ，是奇函数 C. 若有三个不同的零点，，，则 D. 过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 11. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别是，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，，两点均在轴上方，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则双曲线的渐近线方程为 C. 若是钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 D. 若是钝角三角形，直线，的斜率分别是，，则的最小值是 三.填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 13. 已知的展开式中二项式系数之和为128，则其展开式中系数最小项的系数为________. 14. 现有一个半径为6的球状容器（不考虑容器厚度），在容器内放置8个半径相同的实心小球，若这8个小球的球心恰为某个正方体的8个顶点，则小球半径的最大值为___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角三角形中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求的值． 16. 如图，在矩形中，为的中点.现将沿折起到的位置，使得. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）讨论函数的单调性. 18. 已知椭圆的焦距为，过点的直线与交于两点，为的中点，为坐标原点.设的斜率为，直线的斜率为，. （1）求椭圆的方程； （2）若为直角三角形，求的值； （3）直线交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，探究：是否为定值？ 19. 甲、乙两人进行冬奥会知识竞猜游戏，每轮竞猜两人获胜的概率均为. （1）若进行4轮竞猜，记事件“甲获胜2轮”为，“甲第2轮获胜”为，判断与是否相互独立. （2）记进行（）轮竞猜时甲获胜2轮的概率为. （ⅰ）求满足的的取值集合； （ⅱ）若两人的竞猜游戏在满足以下任一条件时终止：①甲获胜2轮，②竞猜总轮数达到（），记结束游戏时竞猜的轮数为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $