四川省眉山市高一数学下学期阶段测试2025-2026学年人教A版必修一第五章+必修二第六章与第七章

**基本信息** 本卷聚焦高一数学核心内容，通过多样化题型考查复数、三角函数、向量及解三角形，注重基础巩固与能力提升，创新情境设计（如斜坐标系）培养数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|复数虚部、三角函数图像变换、向量投影|基础概念辨析，突出数学语言表达| |多项选择题|3/18|向量共线、三角恒等式、解三角形多解问题|易错点辨析，考查推理意识| |填空题|3/15|向量垂直、平面几何向量应用、实际测量问题|情境化设计，体现应用意识| |解答题|5/77|向量运算、解三角形综合、斜坐标系创新应用|分层设问，如斜坐标系问题融合向量与几何，培养创新意识|

四川省2025级高一数学下学期阶段测试卷 （人教A版必修一第五章部分+必修二第六章与第七章部分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 已知，则复数z的虚部为（ ） A． B． C． D． 2. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 12 D. 3 3. 要得到函数 的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 4. 若向量满足，且，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 6. 若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7. 已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（    ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 8. 若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（    ） A. B. 3 C. 2 D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. B. 若向量与共线，则存在唯一的实数使 C. 是与非零向量共线的单位向量 D. 若，则 10. 下列等式不成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则三角形有两解 B. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为 C. 若，，则的取值范围为 D. 若的外心为，且，，则 第Ⅱ卷（选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，向量，若与垂直，则实数的值为______． 13. 如下图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点M，N．设，则________． 14. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 向量，． （1）若，求； （2）若，求与所成夹角的余弦值． 16．已知a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，. (1)求A； (2)若a=2，的面积为，求b、c. 17． 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且，且．（1）求角； （2）若，，求的面积． 18． 如下图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，（1）求中线AM的长； （2）用向量的方法证明：； （3）（Ⅰ）求的余弦值； （Ⅱ）求的面积． 19. 如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为，在斜坐标系中，完成如下问题： （1）若，，求的坐标； （2）若，，且，求实数的值； （3）若，，求向量的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $二诊考试数学 2025级高一数学下学期阶段测试卷命题双向细目表 内容板块 具体内容 题型 题号 分值 难度预估 预估分 评价要求 了解 理解 掌握 权重比例 复数 复数的概念 选择题 1 5 0.95 4.75 √ 5分（3%） 平面向量与正余弦定理 平面向量的数量积坐标运算 选择题 2 5 0.90 4.5 √ 108分（72%） 平面向量的投影向量 选择题 4 5 0.85 √ 正弦定理解三角形 选择题 5 5 0.85 4.25 √ 平面向量的夹角运算 选择题 6 5 0.70 3.5 √ 平面向量的概念 选择题 9 6 0.75 √ 余弦定理解三角形 选择题 7 5 0.65 3.25 √ 正余弦定理的实际应用求距离 填空题 14 5 0.70 3.5 √ 平面向量垂直的坐标运算 填空题 12 5 0.90 √ 平面向量的线性运算 填空题 13 5 0.80 √ 平面向量的坐标运算 解答题 15 13 0.90 √ 解三角形 解答题 17 15 0.75 √ 平面向量与解三角形 解答题 18 17 0.65 √ 平面向量的新定义 解答题 19 17 0.55 √ 三角函数及其恒等变换 解三角形的综合应用 选择题 11 6 0.45 2.7 √ 37分（25%） 三角函数的图像 选择题 3 5 0.80 √ 三角恒等变换 选择题 10 6 0.85 5.1 √ 解三角形 解答题 16 15 0.85 √ 三角函数的性质应用 选择题 8 5 0.60 3 √ 统计百分比 150 0.75 34.55 33 58 59 100% 打分板 成都市2022级高三二诊考试数学网上评卷题组切分计划 切分 题组号 阅卷任务（题号） 打分板 分值 分值区间 1 一 三、12～14 3 15 均为0～5； 2 二 四、15 2 13 （1）0～6，（2）0～7； 3 三 四、16 3 15 （1）0～4，（2）0～5，（3）0～6； 4 四 四、17 2 15 （1）0～6，（2）0～9； 5 五 四、18 3 17 （1）0～4，（2）0～6，（3）0～7； 6 六 四、19 3 17 （1）0～4，（2）0～6，（3）0～7； 【注】 1.打分板分值设置最小单位为1分。 2.多选题中，（1）如果选项为三个，则按照0-2-4-6给分，即有选错的给零分，选对一个给2分，选对2个给4分，三个全部选对给6分；（2）如果选项为二个，则按照0-3-6给分，即有选错的给零分，选对一个给3分，二个全部选对给6分。 $ 四川省2025级高一数学下学期阶段测试卷答案及解析 （人教A版必修一第五章部分+必修二第六章与第七章部分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 已知，则复数z的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 2. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 12 D. 3 【答案】B【详解】由题可得， 所以． 3. 要得到函数 的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】A【详解】因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度. 4. 若向量满足，且，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【详解】由，，得，所以.所以向量在向量上的投影向量为，故B正确. 5. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D【详解】在中，， 由正弦定理得，由，得，所以. 6. 若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】因为，是夹角为的两个单位向量，所以， 故， ， ， 故 ，由于 ，故. 故选：B. 7. 已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（    ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D【详解】因为，故， 整理得，即，故， 故或，故三角形为等腰或直角三角形. 8. 若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】A【详解】函数， 由得，是函数图象的一条对称轴， 则，，解得，；当时，， 由函数在有唯一零点，得，解得，所以当时，取得最大值． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. B. 若向量与共线，则存在唯一的实数使 C. 是与非零向量共线的单位向量 D. 若，则 【答案】ABD【详解】对于A：与共线，与共线，而与不一定共线，所以等式不成立，A错误.对于B：若，，则不存在实数使，B错误. 对于C：由是与非零向量同向的单位向量，所以与是共线向量，所以正确. 对于D：由，得，则，不一定有，D错误. 10. 下列等式不成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【分析】根据两角和余弦和正切公式分别判断AC，再根据二倍角的正弦和余弦公式分别判断BD. 【详解】对于A，，故A不成立； 对于B，，故B不成立； 对于C，，故C成立. 对于D，，故D不成立； 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则三角形有两解 B. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为 C. 若，，则的取值范围为 D. 若的外心为，且，，则. 【答案】ACD 【分析】根据题意求，可得，即可判断A；对于B，利用向量的数量积公式求解即可；利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及正切函数性质求解判断C；对于D，根据，，化简即可求解. 【详解】对于选项A：由题意可得：，因，所以三角形有两解，故A正确；对于B：因为向量，，若与的夹角为锐角，则，即，解得：或，故B不正确； 对于选项C：因为，则，可得，即， 由正弦定理得， 所以的取值范围为，故C正确；对于D，取的中点，则， 所以，同理可得， 所以，故D正确 第Ⅱ卷（选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，向量，若与垂直，则实数的值为______． 【答案】【详解】若，，，则，解得.故答案为：. 13. 如下图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点M，N．设，则________． 【答案】2【详解】因为点是的中点， 所以，又三点共线， 所以，即.故答案为：. 14. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则________． 【答案】【详解】因为，在中，由正弦定理可得，则．在中，由正弦定理可得，则．在中，由余弦定理可得， 则 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 向量，． （1）若，求； （2）若，求与所成夹角的余弦值． 解：（1），，，… 2分 ， ，解得， … 4分 ．… 5分 （2），，…7分 ，即，…9分 所以，，…11分 设向量与夹角为，．…13分 16．已知a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，. (1)求A；(2)若a=2，的面积为，求b、c. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）在中，由及正弦定理得到，得出角A； （2）由三角形面积公式结合余弦定理可得． 【详解】（1）根据正弦定理，, 变为，即， 也即，所以． 整理，得，即，所以，所以，则． （2）由，，得．由余弦定理，得， 则，所以．则． 17．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且，且．（1）求角；（2）若，，求的面积． 解：（1），，…2分 由正弦定理得，…4分 是三角形内角，， ，，…6分 是三角形内角，．…8分 （2）由余弦定理得：，…9分 又，，， 所以，…12分 解得，…14分 则的面积．…17分 18. 如下图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，（1）求中线AM的长； （2）用向量的方法证明：； （3）（Ⅰ）求的余弦值； （Ⅱ）求的面积． 【答案】(1) （2）略 （3） （Ⅰ），（Ⅱ） 【解析】即为与的夹角，先用将与表示出来，求出以及，，代入公式即可． 【详解】∵M，N分别是BC，AC的中点，. 与的夹角等于. ， ， ，． 19. 如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为，在斜坐标系中，完成如下问题： （1）若，，求的坐标； （2）若，，且，求实数的值； （3）若，，求向量的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）用，表示，借助，的线性运算求解可得； （2）用，表示，将转化为的运算，利用数量积的运算律求解可得； （3）用，表示，利用，求及，再由两向量夹角公式可得. 【小问1详解】若，，则， 则,故的坐标为. 【小问2详解】若，，且，则，， 由已知得，. 所以 ，解得. 【小问3详解】若，，则， ，所以， 又， 向量，的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $