四川江油中学2025-2026学年高一下学期5月教学质量检测数学试题

**基本信息** 江油中学高一下5月数学检测卷，以复数、向量、立体几何、解三角形为核心，通过费马点应用等创新题设计，分层考查数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）及语言（模型观念），适配高一下学期学情，与高考命题趋势契合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数坐标、向量运算、直观图面积|基础题梯度合理，如第4题结合斜二测画法考查空间观念| |多选题|3/18|复数性质、解三角形综合|选项分层，如第10题融合外接圆、面积最值，考查推理能力| |填空题|3/15|解三角形实际应用、向量投影|情境真实，如第12题以湖泊镇距离为背景，体现应用意识| |解答题|5/77|向量垂直与夹角、立体几何证明与距离、费马点应用|综合题注重创新，如第19题引入费马点历史背景，考查数学文化与模型构建，符合高考对数学思维的考查方向|

江油中学2025级高一下5月 教学质量检测 数 学 试 题 考试时间： 120分钟 总分：150 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在复平面内,复数z对应的点的坐标是,则(      ) A. B. C. D. 2．如图,在中,,,,D是边上靠近点B的三等分点,则(      ) A. B. C. D. 3．若平面内的两个向量满足,且,则(      ) A. B. C. D.1 4．已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形,且,则原图形OABC的面积为(   ) A. B. C.12 D.10 5．已知圆锥的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为(      ) A. B. C. D. 6．在中,若,则的形状一定是(      ) A.等腰三角形 B.等腰或直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不含的直角三角形 7．在中,角所对的边长分别为．若,则这样的三角形解的个数为(      ) A.0 B.1 C.2 D.不确定 8．已知正三棱锥的底面边长为6,二面角的余弦值为,则正三棱锥外接球的表面积为(      ) A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知i为虚数单位,以下四个说法中正确的是(      ) A. B.的虚部为1 C.若,则的最大值为2 D.若是关于x的方程的根,则 10．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,,则(      ) A. B.外接圆的面积为 C.面积的最大值为 D.周长的最大值为 11．已知点P在所在的平面内,,则下列命题正确的是(      ) A.若,且,则 B.若,则 C.若,则动点P的轨迹经过的内心 D.若,则动点P的轨迹经过的外心 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷中的横线上. 12．如图,某湖泊沿岸有四个镇,已知A镇与D镇之间的距离为,A镇与C镇之间的距离为,测得,,,则两镇之间的距离为__________________________. 13．已知向量,若,向量在向量上的投影向量为__________. 14．在中,已知,则的形状为__________________________. 四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知向量，，. (1)若向量与垂直，求实数k的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数k的取值范围. 16．如图，在四棱锥中，，O，M分别是，中点，底面为菱形，平面平面，，. (1)证明：； (2)求D到平面的距离. 17．在中,内角所对的边分别为,已知. (1)求A； (2)若,,的平分线交于点D,求线段的长； (3)若是锐角三角形,且,求面积的取值范围. 18．如图所示,四棱锥,底面为正方形,,为正三角形,,点E在上. （1）若E为中点,求证:平面; （2）求异面直线与所成角的余弦值; （3）若,在棱上是否存在一点F,使平面?并证明你的结论. 19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题,该问题是：“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当的三个内角均小于120°时,使得的点O即为费马点：当有一个内角大于或等于120°时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且. (1)求A； (2)若,设点P为的费马点,求； (3)设点P在三角形内,到三角形的三个顶点的距离之和的最小值为L,若,求实数t的最小值. 江油中学2025级高一下5月 教学质量检测参考答案 1．答案：A 解析：由题意得,所以. 2．答案：B 解析：因为D是边上靠近点B的三等分点,所以, 又因为, 所以. 3．答案：B 解析：因为,所以 所以,所以. 4．答案：D 解析：梯形中,,而, 则梯形的高, 因此梯形的面积, 而在斜二测画法中,直观图面积是原图形面积的, 所以原图形OABC的面积为. 5．答案：D 解析：设圆锥的底面半径为r，侧面展开图的半径为R，则， 所以底面周长，所以扇形的弧长，所以， 所以圆锥的侧面积为，故选D. 6．答案：B 解析：由和正弦定理,可得, 因,代入上式,化简得：, 即,故得或, 当时,,所以,此时是直角三角形； 当时,,又,, 则或（舍去）,此时为等腰三角形. 综上：可得的形状一定是等腰或直角三角形. 7．答案：C 解析：因为,所以 所以,即, 所以这样的三角形解的个数为2个,如图. 8．答案：C 解析：如图所示,正三棱锥,作平面于点H,则H为正三角形的中心,取的中点E,连接,设外接球心为O,则O在上,连接. 由已知的边长为6,由于,即二面角的平面角,则. 因为,所以, 所以,. 设外接球O的半径为r,则,, 又,, 所以,解得. 故正三棱锥外接球的表面积. 9．答案：ABC 解析：对于A,,故A正确; 对于B,对于复数,a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部;则复数的虚部为1,故B正确; 对于C,设 ,,即z的轨迹是以为圆心,1为半径的圆; ,其几何意义是圆上的点到的距离. 圆心到点的距离为1,圆的半径为1, 圆上的点到点的最大距离为1+1=2,即的最大值为2,故C正确; 对于D,是关于x的方程的根,,整理得;,解得,;,故D错误. 10．答案：BC 解析：因为,由正弦定理得, 因为,所以,则,即,故A错误； 由正弦定理得外接圆的半径为,即, 所以外接圆的面积为,故B正确； 由余弦定理得,即,则, 当且仅当时,等号成立,所以三角形的面积为：,故C正确； 由,得, 则,当且仅当时,等号成立, 所以三角形的周长为,故D错误, 11．答案：ABD 解析：A选项,因为,所以, 所以,同理可得,故点P是的垂心, 故,故A正确； B选项,取的中点M,则,故,故, 取的中点N,则,故,故, 故点P是的外心,故,B正确； C选项,由正弦定理得,故, 故, 取的中点N,则, 故点P在的中线上,重心在其上,故C错误； D选项, , 设的中点N,,所以, , 所以, 故点P在的中垂线上,故动点P的轨迹经过的外心,故D正确. 故选：ABD. 12．答案： 解析：在中,由余弦定理得 , 所以,在C中,, 在中,由正弦定理得, 所以, 所以, 在中, ,故. 13．答案： 解析：, 由得,即, 解得. , 向量在上的投影向量为. 14．答案：等腰或直角三角形 解析：由正弦定理及余弦定理可得： , 即有,化简得, 故或,则为等腰或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形. 15．答案：(1)；(2)或 解析：(1)，， ，，解得； (2)若向量与的夹角为锐角，则且与不同向共线， 且，解得且，或. 16．答案：(1)证明见解析；(2) 解析：(1)连接，，如图一所示， ，，∵平面平面， 平面平面，平面，平面， 平面，， 又，，平面，平面， 又平面，. (2)由(1)得，又∵O为的中点，， ，是正三角形，，，. 连接，设点D到平面的距离为h， ，， ，，M到平面的距离为P到平面距离的， 即，，， ，∴点D到平面的距离为. 17．答案：(1)；(2)；(3) 解析：(1) 即 因,则,故,解得 . (2)由(1)已得,由为的平分线,可得 设,由可得, 即 解得 ,即. (3)方法一：如图,作于点F,过点C作,交直线于点E, 当点B在之间时,为锐角三角形 ,即,因,则得, ,的面积的取值范围为. 方法二：由正弦定理,可得 均为锐角, 解得 故,可得 ,故, 又,的面积的取值范围为. 18．答案：（1）证明见解析；（2）；（3）存在,证明见解析. 解析：（1）连接交于点O,连接, 因为是正方形,所以O为中点,所以在中,为中位线,, 又平面,平面,平面; （2）取的中点Q,因为O为中点, 所以在中,为中位线,所以,, 所以为异面直线与所成角（或其补角）, 在中,,,, 由余弦定理可得,又, 所以为锐角,所以异面直线与所成角的余弦值为; （3）当F是棱中点时,平面 证明如下:取中点M,连接,,则, 平面,平面,平面, 在中,E为中点,O为中点, 平面,平面,所以平面; ,所以平面平面; 平面,平面 19．答案：(1)；(2)；(3) 解析：(1)因为,所以由正弦定理有, 所以,又因为A、,所以,故,故. (2)由(1),所以的三个内角均小于120°, 所以由费马点定义有, 设,若 则由 得, 即, 整理得, 所以 . (3)由题意P为费马点,, 设, 则,故, 在、和中由余弦定理分别得 , , , 又,所以, 所以,即, 因为, 所以,结合可得当且仅当等号成立, 又,所以, 整理得,解得或,又,所以, 综上所述,实数t的取值范围是,故实数t的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $