精品解析：四川省眉山市彭山区第一中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

彭山一中2024-2025高一下4月月考试题 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 符合题目要求. 1. 下列命题中，正确是（ ） A 若，，则 B. 若，，则 C. 若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D. 若，则与方向相同或相反 2. 下列函数是周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 3. 中，记，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知函数是定义在上周期为的奇函数，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） ①时，的最大值为； ②时，方程在上有且只有三个不等实根； ③时，为奇函数； ④时，的最小正周期为 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④ 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，D是边上的一点，（其中），则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A. 函数的最小正周期为2 B. C. 函数的图象关于直线对称 D. 若方程在上有两个不等实数根，则． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简_____． 13. 已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则______． 14. 已知函数，在区间上无零点，则的取值范围为_____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是第二象限角， （1）求和的值； （2）求和的值. 16. 已知向量与的夹角，且，. （1）求； （2）在上的投影向量； （3）求向量与夹角的余弦值. 17. 已知函数，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定． 条件①：；条件②：若，且的最小值为 ；条件③：图象的一条对称轴为． （1）求的解析式； （2）设函数，若，且，求的值． 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数对称中心； （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数， （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数的零点； （3）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 彭山一中2024-2025高一下4月月考试题 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 符合题目要求. 1. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D. 若，则与方向相同或相反 【答案】B 【解析】 【分析】对ABC选项找出反例，证明其错误，选项B根据传递性很明显正确，即可求解. 【详解】对于A选项： 平行于任何向量，若，满足，，但不一定满足，故A错； 对于B选项：根据向量传递性，正确； 对于C选项：两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反（大小相等，方向完全相反），故C错； 对于D选项：零向量与任何非零向量都平行,且零向量的方向任意.如果中有一个是零向量,那么方向相同或相反,或者不同，故D错. 故选：B. 2. 下列函数是周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和周期性的定义来逐一分析选项. 【详解】对于函数，根据诱导公式，可知是奇函数，不满足偶函数的条件. 同时，的周期，不满足周期为的条件，所以选项错误.  对于函数，因为，所以是偶函数. 又因为，所以的周期是，满足题目要求，所以选项正确.  对于函数，根据诱导公式，可知是奇函数，不满足偶函数的条件. 同时，的周期，但由于不满足偶函数条件，所以选项错误.  对于函数，根据诱导公式，可知是偶函数. 但的周期，不满足周期为的条件，所以选项错误.  满足周期为的偶函数的函数是. 故选：B. 3. 在中，记，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据已知条件以及向量加法和数乘的运算性质得到结果. 【详解】由已知有. 故. 故选：A. 4. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】将分子分母同除以 ，再将代入，即可求得答案. 【详解】由题意得： ， 故选：A． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先根据同角三角函数的基本关系，求的值，再用倍角公式求，再利用二倍角的余弦公式化简即可求值. 【详解】由及， 得. 所以，所以. 故选：A 6. 已知函数是定义在上周期为的奇函数，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式、函数的周期奇偶性即可求解. 【详解】，由函数周期为7，且为奇函数， 所以， 故选：A 7. 将函数的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简函数的解析式，求出变换后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可求得的最小值. 【详解】因为， 将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象， 因为函数为偶函数，则， 解得， ，则当时，取最小值. 故选：A. 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） ①时，的最大值为； ②时，方程在上有且只有三个不等实根； ③时，为奇函数； ④时，的最小正周期为 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数性质判断命题①，结合平方关系，正弦函数性质化简不等式求方程的解，判断命题②，根据奇函数的定义及正弦函数和余弦函数性质判断命题③，根据三角恒等变换及余弦型函数的周期公式判断命题④，由此可得正确选项. 【详解】因为， 所以当时，，此时函数的最大值为，命题①为真命题； 当时，，方程可化为， 当时，，故，由正弦函数性质可得方程在上有两个解， 当时，原方程可化为，方程在上无解， 所以方程在上有且只有两个不等实根；命题②为假命题； 当时，，， ，所以，所以不为奇函数，命题③为假命题； 当时，， 所以的最小正周期为，命题④正确； 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，逆用正弦倍角公式进行求解；B选项，逆用余弦二倍角公式计算；C选项，逆用正切差角公式进行求解；D选项，逆用正弦和角公式计算. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D错误. 故选：AC 10. 在中，D是边上的一点，（其中），则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量共线定理可得，再由基本不等式对选项ABC逐一判断可得结果，再由基本不等式中“1”的应用计算可得D错误. 【详解】设，有，即， 又由，可得． 对于A选项，，可得， 当且仅当时取等号，故A选项错误； 对于B选项，由，当且仅当时取等号，故B选项正确； 对于C选项，由，当且仅当时取等号，故C选项正确； 对于D选项，由， 当且仅当时取等号，故D选项错误． 故选：BC． 11. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A. 函数的最小正周期为2 B. C. 函数的图象关于直线对称 D. 若方程在上有两个不等实数根，则． 【答案】BC 【解析】 【分析】首先通过图象的最值确定的值，再根据图象上两点的横坐标求出周期，进而得到的值，然后将特殊点代入函数求出的值，最后根据正弦函数的对称轴性质以及方程根的对称性来逐一分析选项. 【详解】由函数图象可知， 表示振幅，所以.  函数的图象过点和，这两点间的距离是个周期，即，那么，故A错误；  根据正弦型函数的周期公式（），可得，所以.   把点代入中，得到，即. 因为，所以，，解得，故B正确； 由上分析可得：. 令，解得. 当时，，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 函数的图象在上，其对称轴为，即. 若方程在上有两个不等实数根，根据正弦函数图象的对称性可知.所以，故D错误.  故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简_____． 【答案】 【解析】 【分析】应用向量的加减法则化简即可. 【详解】. 故答案为： 13. 已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量共线，可设，利用向量相等的条件求解即可. 【详解】因为是两个不共线的单位向量，， 若与共线，可设，即，则，解得： 故答案为：2 14. 已知函数，在区间上无零点，则取值范围为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的零点表达式，再结合函数在区间上无零点这一条件，列出关于的不等式组，进而求出的取值范围. 【详解】令，根据正弦函数的性质可知，，解关于的方程可得，.  因为函数在区间上无零点，所以不存在整数使得成立. 即存整数使得， 对于，解第一个不等式可得， 因为，所以，即； 解第二个不等式可得，因为，所以，即. 所以， 因为,所以， 由不等式的传递性得， 所以或. 当时，，又因为，所以； 当时，. 综上，的取值范围是.  故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是第二象限角， （1）求和的值； （2）求和的值. 【答案】（1），； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式，即可求解； （2）根据两角差的余弦公式，以及二倍角的正弦公式，即可求解. 【小问1详解】 因为是第二象限角，， 所以，； 【小问2详解】 ， . 16. 已知向量与的夹角，且，. （1）求； （2）在上投影向量； （3）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，可求得. （2）根据投影向量的计算公式计算即可. （3）利用向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 由向量与的夹角，且，，得， ， 所以. 【小问2详解】 在上的投影向量为. 【小问3详解】 ，则， 所以向量与夹角的余弦值为. 17. 已知函数，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定． 条件①：；条件②：若，且的最小值为 ；条件③：图象的一条对称轴为． （1）求的解析式； （2）设函数，若，且，求的值． 【答案】（1）所选条件见解析，； （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件结合三角函数图象性质即可求解； （2）利用三角恒等变换和配凑角即可求解． 【小问1详解】 选择条件①②： 由条件①，所以，解得，又，所以， 由条件②得，得，所以， 所以； 选择条件①③： 由条件①，所以，解得，又，所以． 由条件③，得，解得， 所以的解析式不唯一，不合题意； 选择条件②③： 由条件②得，得，所以，所以， 又图象的一条对称轴为，所以，解得，又，所以， 所以； 【小问2详解】 解：由题意得 ， 因为， 所以，即， 又，所以， 若，则， 又，所以， 因， 所以， 又，所以， 所以 . 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的对称中心； （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用三角恒等变换化简函数式，再由最小正周期的公式求的最小正周期； （2）由整体法，令即可得对称中心； （3）应用正弦型函数的性质求的最值，再由不等式恒成立求参数范围. 【小问1详解】 由 ，则； 【小问2详解】 令，解得，故的对称中心为； 【小问3详解】 因为，所以，所以， 即当时，，， 因为对恒成立， 所以，即. 19. 已知函数， （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数的零点； （3）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，结合三角函数的性质求出单调减区间； （2）求出的解析式，令，求解即可； （3）原不等式化简为，令，问题转化为在上恒成立，结合一次函数和二次函数性质，分类讨论可得结果． 【小问1详解】 由，得 所以函数的单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）知 令，则，解得或 即或 所以的零点为或. 【小问3详解】 由（2）知 原不等式可化为 令，则 ， 所以在上恒成立 令 当时，在恒成立 当时，，解得 当时，函数的对称轴为 （i）若，即时 ，解得，故 （ii）若，即时 ，解得，故 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$