精品解析：吉林辽源市田家炳高级中学校2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

田家炳高中2025-2026第二学期期中考试题 高二数学试卷 本试卷共19题，满分150分，共4页，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内. 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0．5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下表是离散型随机变量的概率分布列，则常数的值是（ ） 3 4 5 6 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分布列的性质建立等式求解即可． 【详解】因为离散型随机变量的概率之和为1， 所以，解得. 故选：B 2. 已知某班级有女生16人，男生14人，女生中喜欢羽毛球运动的有8人，男生中喜欢羽毛球运动的有10人．现从这个班级随机抽取一名学生，已知抽到的是女生，则该生喜欢羽毛球运动的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】有条件概率计算即可. 【详解】由题可知：抽到的是女生，则该生喜欢羽毛球运动的概率为. 故选：B 3. 已知，则（    ） A. 2 B. 1 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】由， 得， 所以. 4. 的结果是（ ） A. 85 B. 105 C. 180 D. 200 【答案】D 【解析】 【分析】应用组合数及排列数公式计算求解. 【详解】. 5. 曲线在点处切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，利用导数的几何意义求解. 【详解】因为，所以. 曲线在点处切线的斜率为. 故选：B. 6. 志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式及条件概率公式直接求解. 【详解】设事件表示“甲乘地铁”，事件表示“甲乘公交车”，事件表示“甲骑共享单车”，事件表示“甲按时到达文博会”， 则，，，，，， 则 ， ， 所以若某一天甲按时到达文博会， 则他骑共享单车的概率为． 故选：C. 7. 将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有（ ） A. 26种 B. 36 种 C. 38 种 D. 50 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用两个计数原理以及分组分配问题的解法结合组合数的性质求解即可. 【详解】当1号实验室有1人时，即专家，其余4名专家分配到2号和3号实验室， 且每个实验室至少1人，分配方案有种； 当1号实验室有2人时，先从其余4名专家中选1人到1号实验室有种方法， 再将其余3名专家分配到2号和3号实验室且每个实验室至少1人有种方法， 故共有种； 当1号实验室有3人时，分配方案有种； 可得不同的分配方案共有种． 故答案为：50 8. 已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线与相切时的斜率，作出函数与的图象，由数形结合求解即可． 【详解】设与相切于点， 则，解得，此时. 由得， 由，可得，此时切点为， 作出函数与的图象如图， 由图象可知，当或时，直线与有三个不同的交点， 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.） 9. 如图是的导数的图象，则下面判断错误的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是减函数 C. 在时取得极大值 D. 当时取得极小值 【答案】AC 【解析】 【分析】由的图象，可得函数的单调性，从而即可求解. 【详解】解：对A，由的图象，可知时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故选项A错误； 对B，由的图象，可知时，，所以在上单调递减，故选项B正确； 对C，由的图象，可知时，， 所以在上单调递增，因为左右两边的单调性相同，所以取不到极大值，故选项C错误； 对D，由的图象，可知时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在时取得极小值，故选项D正确. 故选：AC. 10. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A：通过赋值法，令 ，直接求得常数项 进行正误判断.选项B：利用二项式展开通项公式，确定对应项的参数后计算 .选项C：赋值 得到所有系数和，减去常数项 得到目标系数和.选项D：分别赋值 、，联立两式作差求解奇数项系数和. 【详解】已知． 令，得 ，选项错误． 由二项式通项，令得， 则 ，选项B正确． 令，得， 代入得，选项C错误． 令，得， 时，． 两式相减并化简得，选项D正确． 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的极大值为，极小值为 B. 当时，它的最大值为，最小值为 C. 它的单调递减区间为 D. 它在点处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导判断函数单调性，进一步可判断函数极值以及它在闭区间上的最值情况即可判断ABC，由导数的几何意义可判断D. 【详解】函数，． 由，得或，此时函数单调递增； 由，得，此时函数单调递减，C正确； 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值，A正确； 当时，单调递增，它的最大值为， 最小值为，B错误； ，，它在点处的切线方程为，D正确． 故选：ACD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 展开式中含项的系数是_________（用数字作答）． 【答案】135 【解析】 【详解】展开式中含的项为， 故展开式中含项的系数是135. 13. 如图，一个圆环分成A，B，C，D四个区域，用3种颜色（全部用完）对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为_______.（用数字作答） 【答案】12 【解析】 【详解】若AD同色，3种颜色（全部用完），有种， 若BC同色，3种颜色（全部用完），有种， 所以共有6+6=12种. 14. 已知函数，且是的一个极值点，若函数在上单调递增，则的取值范围是__. 【答案】 【解析】 【分析】通过极值点条件建立参数关系，因式分解导函数，结合极值点定义排除特殊参数值，再将单调性转化为导函数恒非负求解参数范围. 【详解】函数的定义域为，求导得. 由是的极值点，得，即，可得. 将代入导函数并因式分解， 由极值点定义，两侧导函数符号需改变，故，因此，. 函数在上单调递增，等价于在上恒成立. 因时，故只需在上恒成立， 即，解得. 综上，的取值范围为. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 现有4个数学课外兴趣小组，其中一、二、三、四组分别有3人、4人、5人、6人. （1）选1人为负责人，有多少种不同的选法？ （2）每组选1名组长，有多少种不同的选法？ （3）推选2人发言，这2人需来自不同的小组，有多少种不同的选法？ 【答案】（1）18 （2）360 （3）119 【解析】 【分析】（1）根据分类加法计数原理即可求解； （2）根据分步乘法计数原理即可求解； （3）根据分步乘法、分类加法计数原理即可求解； 【小问1详解】 分四类：第一类，从一组中选1人，有3种方法； 第二类，从二组中选1人，有4种方法； 第三类，从三组中选1人，有5种方法； 第四类，从四组中选1人，有6种方法. 所以不同的选法共有种方法. 【小问2详解】 分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四组中选1名组长， 所以不同的选法共有种方法； 【小问3详解】 分六类：第一类，从一、二组中各选1人，有种方法； 第二类，从一、三组中各选1人，有种方法； 第三类，从一、四组中各选1人，有种方法； 第四类，从二、三组中各选1人，有种方法； 第五类，从二、四组中各选1人，有种方法； 第六类，从三、四组中各选1人，有种方法； 所以不同的选法共有种方法. 16. 一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台. （1）若每次从中随机抽取1台，抽取后不再放回，则在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率； （2）若从中随机抽取2台，求这2台电脑中品牌台数的分布列. 【答案】（1） （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）法一：求得，利用条件概率公式求解即可；法二：，利用条件概率公式求解即可． （2）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列． 【小问1详解】 设事件：第一次抽到品牌；设事件：第二次抽到品牌， 法一： ，则， 所以每次不放回抽取，在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率为． 法二：，则， 所以每次不放回抽取，在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率为． 【小问2详解】 设挑选2台电脑中品牌的台数为，的可能取值为0，1，2， 则， 所以的分布列为： 0 1 2 17. 将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排. （1）求2个白球均不排在两端的所有排法种数； （2）记为2个白球之间红球的个数，求的分布列. 【答案】（1）36 （2） 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）根据分步乘法计数原理，先选好白球位置，剩下的给红球；（2）先确定所有可能取值，再计算相应的概率. 【小问1详解】 先从中间的3个空位中选出2个空位排2个白球，再把3个红球全排放入剩下的3个空位，共（种）， 所以2个白球均不排在两端的所有排法种数为36. 【小问2详解】 由题意知的所有可能取值为0，1，2，3， 则 所以的分布列为 0 1 2 3 P 18. 已知函数． （1）求函数的导函数； （2）求的极值； （3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）极小值为1，无极大值 （3） 【解析】 【分析】（1）根据复合函数求导、导数四则运算求得正确答案.， （2）求导，根据导数求解单调性，即可求解极值， （3）将恒成立问题参数分离，构造函数 ，即可求导求解最值． 【小问1详解】 由得. 【小问2详解】 令 ，则，故在单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，取极小值，无极大值， 【小问3详解】 由得 ，故， 构造函数 ，则 ，令 ，则， 故当时，单调递增，时，单调递减， 故当取极小值也是最小值， ， 所以，即 19. 已知函数 （1）求函数的导函数； （2）若，求函数单调区间； （3）若函数在上的最小值是，求的值． 【答案】（1） （2）的单调递减区间为，单调递增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的四则运算求得正确答案. （2）根据判断的单调区间. （3）对进行分类讨论，结合在上的最小值求得. 【小问1详解】 依题意，. 【小问2详解】 当时，，的定义域为， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 【小问3详解】 的定义域为，. 当时：在区间上，，， 所以在上单调递增． 则在上的最小值为，由，与矛盾，舍去． 当时：当时，单调递减； 当时：单调递增． 所以在上的最小值为， 由，即，解得，满足． 当时：在区间上，， 所以在上单调递减． 则在上的最小值为， 由，解得，与矛盾，舍去. 综上，的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 田家炳高中2025-2026第二学期期中考试题 高二数学试卷 本试卷共19题，满分150分，共4页，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内. 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0．5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下表是离散型随机变量的概率分布列，则常数的值是（ ） 3 4 5 6 A. B. C. D. 2. 已知某班级有女生16人，男生14人，女生中喜欢羽毛球运动的有8人，男生中喜欢羽毛球运动的有10人．现从这个班级随机抽取一名学生，已知抽到的是女生，则该生喜欢羽毛球运动的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（    ） A. 2 B. 1 C. D. 4 4. 的结果是（ ） A. 85 B. 105 C. 180 D. 200 5. 曲线在点处切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有（ ） A. 26种 B. 36 种 C. 38 种 D. 50 种 8. 已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.） 9. 如图是的导数的图象，则下面判断错误的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是减函数 C. 在时取得极大值 D. 当时取得极小值 10. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的极大值为，极小值为 B. 当时，它的最大值为，最小值为 C. 它的单调递减区间为 D. 它在点处的切线方程为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 展开式中含项的系数是_________（用数字作答）． 13. 如图，一个圆环分成A，B，C，D四个区域，用3种颜色（全部用完）对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为_______.（用数字作答） 14. 已知函数，且是的一个极值点，若函数在上单调递增，则的取值范围是__. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 现有4个数学课外兴趣小组，其中一、二、三、四组分别有3人、4人、5人、6人. （1）选1人为负责人，有多少种不同的选法？ （2）每组选1名组长，有多少种不同的选法？ （3）推选2人发言，这2人需来自不同的小组，有多少种不同的选法？ 16. 一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台. （1）若每次从中随机抽取1台，抽取后不再放回，则在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率； （2）若从中随机抽取2台，求这2台电脑中品牌台数的分布列. 17. 将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排. （1）求2个白球均不排在两端的所有排法种数； （2）记为2个白球之间红球的个数，求的分布列. 18. 已知函数． （1）求函数的导函数； （2）求的极值； （3）若对于任意，不等式 恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数 （1）求函数的导函数； （2）若，求函数单调区间； （3）若函数在上的最小值是，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $