精品解析：2026年5月山西省临汾市部分学校中考第三次学情自测九年级数学试卷

数学 注意事项： 1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 如果A元素的一个原子在化学反应中得到两个电子会在化合价上体现出价，那么B元素的一个原子在化学反应中失去三个电子会在化合价上体现出（ ） A. 价 B. 价 C. 价 D. 价 2. 山西景点图标构建了“华夏古文明·山西好风光”的视觉符号体系．下列是我省四个旅游景区的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（ ） A. B. C. D. 5. 三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质．如图，是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线交于点E，光线交于点G．已知是等边三角形，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 刍甍（chú méng）是中国古代著作《九章算术》提到的一个五面体．如图，其底面为长方形，其余四个侧面中有两个侧面形状是三角形，另外两个是梯形，则下图可以是刍甍的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中有所使用．如图1是一个圆形筒车的几何示意图，它按逆时针方向匀速旋转．设筒车的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m），在水面下则d为负数．若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间到下次盛水筒回到同一浮出水面位置，d与时间t（单位：s）之间的图象如图2所示，则的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 某城市的道路规划一段弧形转弯车道，交通运输部门在弯道内侧增设黄色隔离带．如图是抽象出来的几何示意图，米，，点C，点D分别在和上，米，则隔离带外侧的长比内侧的长多（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，与相交于点P，则的值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 2026年米兰—科尔蒂纳丹佩冬残奥会于3月6日至3月15日举行．小婷准备从A．越野滑雪，B．冬季两项，C．高山滑雪，D．单板滑雪，E．轮椅冰壶这五个项目中选择两个项目进行了解，她用标有A，B，C，D，E的五张纸牌（除牌面字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌上，小婷从中随机一次性摸出两张，摸到标有A和E的纸牌的概率为______． 13. 如图，点P是外一点，过P作的切线，切点分别为点A和点B，点C为圆上一点．若，则的度数为 °． 14. 如图，物理课上同学们用如图的实验装置探究“拉力与斜面高度关系”，其中A，B是水平面上两个固定的点，是倾斜程度可以变化的斜面（斜面足够长）．同学们用弹簧测力计拉着适当大小的木块，沿斜面从B到C的方向做匀速直线运动，实验结果分别如图1，图2所示．由物理学知识可知，在弹簧的弹性限度内，沿斜面的拉力F（N）是高度h（）的一次函数．若弹簧测力计的最大量程是，该实验装置高度h的最高可为______． 15. 如图，在中，，，点D是上一点，且，过点B作的垂线分别交，于点E和点F，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 如图，四边形是矩形，，点F是延长线上一点，连接． （1）尺规作图：过点A作的垂线交于点E．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）猜想证明：若，试判断和的数量关系并说明理由． 18. 为研究我省某地小米亩产量与海拔高度的关系，某农业研究小组在该地区对除海拔高度外其他条件相同的小米亩产量进行抽样统计，各随机抽取5块试验田，统计亩产量（单位：）并绘制成如下统计图． 该农业研究小组整理了部分统计量如下表： 试验田 平均数 中位数 方差 较高海拔试验田 a 中等海拔试验田 b 请解答下列问题： （1）______，______； （2）请你结合表中的统计量分析这两个海拔高度对小米亩产量的影响． （3）该农业研究小组将亩产量不低于的试验田定为达标田，若该地区规划在中等海拔高度种植小米共亩，估计达标田的面积． 19. 为了给学生提供更丰富、更营养的早餐．某校食堂窗口增加了豆浆，有小杯豆浆和大杯豆浆供学生选择．已知小杯豆浆的实际容积为，大杯豆浆的实际容积为．某天，九年级一班学生购买了这两种豆浆共杯，这些豆浆的总量为． （1）九年级一班学生购买小杯豆浆和大杯豆浆各多少杯． （2）若小杯豆浆每杯售价为元，大杯豆浆每杯售价为2元，这天食堂共售出这两种豆浆杯，如果食堂豆浆的销售额不低于元，则大杯豆浆至少出售了多少杯． 20. 综合实践活动中，学校数学课外活动小组运用他们的数学知识进行测量“学校操场中一棵古树树冠高度”的活动，具体方案及数据如下表： 课题 测量古树树冠的高度 测量方案 如图，代表古树的树冠，在地面，处用两个高度相同的测角仪分别测得树冠顶端的仰角，树冠底端的仰角，并测得之间的距离，测角仪的高度． 说明：点，，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一直线上，连接交于点，为测量仰角的水平线． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 ，之间的直线距离 测角仪的高度 参考数据 ，，． （1）任务一：根据多次测量取平均值的原理，表中______，______； （2）任务二：查阅资料得知这棵古树整个树高为，求古树树冠高度． 21. 阅读与思考 下面是小敏同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． k阶和倍数 定义：对于一个两位自然数，若它的个位数字，十位数字均不为0，且这个自然数等于其各位数字之和的k倍，则称这个两位数为“k阶和倍数”． 例如：两位数18，各位数字和，，则18为“2阶和倍数”． 若一个“k阶和倍数”的十位数字为a，个位数字为b（，且a，b为整数）由定义可得：， 我们可以利用这个式子解决相关问题…… 任务： （1）45是“k阶和倍数”，则______； （2）若一个两位数是“k阶和倍数”，交换十位数字和个位数字得到的两位数是“m阶和倍数”，求的值； （3）若一个两位自然数p是“7阶和倍数”，求证：一定是42的倍数． 22. 综合与实践 问题情境：为了解本土优质农产品晋祠大米的产销情况及政府对晋祠大米的相关保护措施，数学小组开展综合与实践活动． 收集信息： 信息①：晋祠大米，产自山西太原市晋祠镇，以晋祠难老泉水灌溉，米质晶莹、颗粒饱满，口感软糯香甜．2025年，晋祠大米成功获批国家地理标志保护产品． 信息②：政府提供财政补贴、税收优惠等政策支持，鼓励种植大户、专业合作社扩大种植面积，推动晋祠大米产业规模化、集约化发展，促进农民增收和乡村振兴． 信息③：某农民专业合作社直销晋祠大米，经市场调查发现，若售价为5元/千克，日销售量为340千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少20千克． 建立模型： （1）设该农民专业合作社直销晋祠大米的售价为x元/千克（且为正整数），每日销售额为y元． ①该合作社每天直销晋祠大米的数量为______千克（用含x的代数式表示）； ②求y关于x的函数表达式； 解决问题： （2）若销售过程中，有关部门规定晋祠大米销售价格不得超过15元/千克．求此时y的最大值和最小值； （3）政府为保护传统作物，销售过程中每日给农民专业合作社补贴a元（a为正整数），要使农民专业合作社日收入（日收入＝日销售额＋政府每日补贴额）不低于2500元，并且最多有5种不同的单价可以达到这个要求，请直接写出a的最小值． 23. 综合与探究 问题情境：在数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题展开探究．如图1，在菱形纸片中，，，菱形纸片沿对角线剪开得到两个全等的三角形，将绕点B顺时针旋转得到． （1）猜想验证：如图2，当点与点C重合时，判断四边形的形状，并说明理由； （2）深入探索：如图3，在旋转的过程中，当时，线段与线段交于点O，求线段的长； （3）拓展延伸：在旋转的过程中，当直线与直线垂直时，请直接写出线段的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 如果A元素的一个原子在化学反应中得到两个电子会在化合价上体现出价，那么B元素的一个原子在化学反应中失去三个电子会在化合价上体现出（ ） A. 价 B. 价 C. 价 D. 价 【答案】C 【解析】 【分析】根据题干给出的化合价与得失电子的关系推导即可． 【详解】解：如果A元素的一个原子在化学反应中得到两个电子会在化合价上体现出价，那么B元素的一个原子在化学反应中失去三个电子会在化合价上体现出价． 2. 山西景点图标构建了“华夏古文明·山西好风光”的视觉符号体系．下列是我省四个旅游景区的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合． 【详解】解：只有B选项文字上方的图案左右对折后两部分能够互相重合，是轴对称图形． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项：∵与不是同类项，不能合并，∴A计算错误． B选项：∵，∴B计算错误． C选项：∵，∴C计算错误． D选项：∵，∴D计算正确． 4. 五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相似多边形面积比等于相似比的平方求解即可，先根据长求出相似比，再计算面积比． 【详解】解：∵两面国旗相似，对应边的比等于相似比, ∴两面国旗的相似比为． 又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方, ∴两面国旗的面积比为． 5. 三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质．如图，是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线交于点E，光线交于点G．已知是等边三角形，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作，则，，由 是等边三角形得，故． 【详解】解：如图，过点A作，则， ， ， 是等边三角形， ， ． 6. 刍甍（chú méng）是中国古代著作《九章算术》提到的一个五面体．如图，其底面为长方形，其余四个侧面中有两个侧面形状是三角形，另外两个是梯形，则下图可以是刍甍的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：刍甍的俯视图为． 7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中有所使用．如图1是一个圆形筒车的几何示意图，它按逆时针方向匀速旋转．设筒车的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m），在水面下则d为负数．若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间到下次盛水筒回到同一浮出水面位置，d与时间t（单位：s）之间的图象如图2所示，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图2可得盛水筒到水面的最大距离，最小距离，设的半径为，圆心到水面的距离为，从而得，，即可解答； 【详解】解：从图2可得：盛水筒到水面的最大距离，最小距离， 设的半径为，圆心到水面的距离为， 当盛水筒在圆最高点时，到水面距离满足：， 当盛水筒在圆最低点时，到水面距离满足：， 整理得， 将两个等式相加，得，解得， 即的半径为． 8. 某城市的道路规划一段弧形转弯车道，交通运输部门在弯道内侧增设黄色隔离带．如图是抽象出来的几何示意图，米，，点C，点D分别在和上，米，则隔离带外侧的长比内侧的长多（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】利用弧长公式（n为弧对应的圆心角度数，r为弧所在圆的半径）来计算和的长，相减即可求解． 【详解】解：米， 米， 隔离带外侧的长比内侧的长多米． 9. 如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，构造一线三等角，然后证得，证得点的横纵坐标相等，将点代入反比例函数中求解． 【详解】解：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作， 交的延长线于点， ， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点的横纵坐标的绝对值相等， 又∵点在第一象限， ∴点的横纵坐标相等， 设点，，且点在反比例函数上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 10. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，与相交于点P，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由网格可知：，，，则有，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由网格可知：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 2026年米兰—科尔蒂纳丹佩冬残奥会于3月6日至3月15日举行．小婷准备从A．越野滑雪，B．冬季两项，C．高山滑雪，D．单板滑雪，E．轮椅冰壶这五个项目中选择两个项目进行了解，她用标有A，B，C，D，E的五张纸牌（除牌面字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌上，小婷从中随机一次性摸出两张，摸到标有A和E的纸牌的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图得到所有符合题意的等可能的结果数，再找到摸到标有A和E的纸牌的结果数，然后根据概率计算公式计算即可． 【详解】解：如图， 共有20种等可能的结果，其中摸到标有A和E的纸牌的结果有2种， ∴摸到标有A和E的纸牌的概率为． 13. 如图，点P是外一点，过P作的切线，切点分别为点A和点B，点C为圆上一点．若，则的度数为 °． 【答案】65 【解析】 【分析】连接，利用切线的性质求出的度数，再利用同弧所对圆周角是圆心角的一半求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ， ∵是切线， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴． 14. 如图，物理课上同学们用如图的实验装置探究“拉力与斜面高度关系”，其中A，B是水平面上两个固定的点，是倾斜程度可以变化的斜面（斜面足够长）．同学们用弹簧测力计拉着适当大小的木块，沿斜面从B到C的方向做匀速直线运动，实验结果分别如图1，图2所示．由物理学知识可知，在弹簧的弹性限度内，沿斜面的拉力F（N）是高度h（）的一次函数．若弹簧测力计的最大量程是，该实验装置高度h的最高可为______． 【答案】 【解析】 【分析】用待定系数法求出拉力F和h的函数解析式，再代入函数值，即可求解． 【详解】解：设拉力F和h的函数解析式为， 由题可得，，解得， ， ， F随h的增高而增大，则F取最大量程，h最高， 当时，，解得， 则该实验装置高度h的最高可为． 15. 如图，在中，，，点D是上一点，且，过点B作的垂线分别交，于点E和点F，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作交于点H，过点D作交于点G，由题意可得，，，，，由勾股定理得，，，在中，利用等面积法得，由勾股定理得，，则，故是的中点，由可推得是的中点，因此是的中位线，故，由得，故，从而，设，则，，故，解得，，即． 【详解】解：如图，过点A作交于点H，过点D作交于点G， ，，， ，，， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 是的中点， 又， ， ， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 化简得，， 解得，，即． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用二次根式的性质、绝对值的性质和负整数指数幂先化简，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可求解； （）按照解分式方程的步骤解答即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的根． 17. 如图，四边形是矩形，，点F是延长线上一点，连接． （1）尺规作图：过点A作的垂线交于点E．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）猜想证明：若，试判断和的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，长为半径画弧，交于两点，分别以这两点为圆心，大于二分之一这两点间的距离为半径画弧，两弧交于一点，连接这一点和点A交于点E，即为所求； （2）由得，由四边形是矩形和得，从而，故． 【小问1详解】 解：作图如下： ∴即为所求； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 18. 为研究我省某地小米亩产量与海拔高度的关系，某农业研究小组在该地区对除海拔高度外其他条件相同的小米亩产量进行抽样统计，各随机抽取5块试验田，统计亩产量（单位：）并绘制成如下统计图． 该农业研究小组整理了部分统计量如下表： 试验田 平均数 中位数 方差 较高海拔试验田 a 中等海拔试验田 b 请解答下列问题： （1）______，______； （2）请你结合表中的统计量分析这两个海拔高度对小米亩产量的影响． （3）该农业研究小组将亩产量不低于的试验田定为达标田，若该地区规划在中等海拔高度种植小米共亩，估计达标田的面积． 【答案】（1）， （2）答案见解析 （3）达标田的面积为亩 【解析】 【分析】（1）由统计图中数据可得，较高海拔试验田方差为，中等海拔试验田中位数为； （2）比较哪个海拔高度平均产量更高，产量稳定性更强，哪个海拔就更适合种植小米； （3）随机抽取5块试验田中达标田数量共有4块，所以估计亩中的达标面积有亩． 【小问1详解】 解：由统计图中数据可得， ， 中等海拔5块试验田亩产量（单位：）从低到高排列为：，，，，， ； 【小问2详解】 解：中等海拔高度比高海拔更适合种植小米，不仅平均产量更高，而且产量稳定性远优于较高海拔；较高海拔产量波动大，整体水平偏低； 【小问3详解】 解：由题意可知，达标田数量共有4块，所以估计亩中的达标面积有（亩）， 答：达标田的面积为亩． 19. 为了给学生提供更丰富、更营养的早餐．某校食堂窗口增加了豆浆，有小杯豆浆和大杯豆浆供学生选择．已知小杯豆浆的实际容积为，大杯豆浆的实际容积为．某天，九年级一班学生购买了这两种豆浆共杯，这些豆浆的总量为． （1）九年级一班学生购买小杯豆浆和大杯豆浆各多少杯． （2）若小杯豆浆每杯售价为元，大杯豆浆每杯售价为2元，这天食堂共售出这两种豆浆杯，如果食堂豆浆的销售额不低于元，则大杯豆浆至少出售了多少杯． 【答案】（1）九年级一班学生购买小杯豆浆杯，大杯豆浆杯 （2）大杯豆浆至少出售了杯 【解析】 【分析】（1）设九年级一班学生购买小杯豆浆x杯，购买大杯豆浆y杯，根据题意得：，解得； （2）设大杯豆浆出售m杯，则小杯豆浆出售杯，根据题意得：，解得，故大杯豆浆至少出售了杯． 【小问1详解】 解：设九年级一班学生购买小杯豆浆x杯，购买大杯豆浆y杯， 根据题意得：， 得，， 得，， 解得，， 把代入①得，， 故原二元一次方程组的解为， 答：九年级一班学生购买小杯豆浆杯，大杯豆浆杯； 【小问2详解】 解：设大杯豆浆出售m杯，则小杯豆浆出售杯， 根据题意得：， 化简得，， 解得， 答：大杯豆浆至少出售了杯． 20. 综合实践活动中，学校数学课外活动小组运用他们的数学知识进行测量“学校操场中一棵古树树冠高度”的活动，具体方案及数据如下表： 课题 测量古树树冠的高度 测量方案 如图，代表古树的树冠，在地面，处用两个高度相同的测角仪分别测得树冠顶端的仰角，树冠底端的仰角，并测得之间的距离，测角仪的高度． 说明：点，，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一直线上，连接交于点，为测量仰角的水平线． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 ，之间的直线距离 测角仪的高度 参考数据 ，，． （1）任务一：根据多次测量取平均值的原理，表中______，______； （2）任务二：查阅资料得知这棵古树整个树高为，求古树树冠高度． 【答案】（1）， （2）古树树冠高度为 【解析】 【分析】（1）根据题意，取两次测量值的平均值，即可求解； （2）根据题意得，，，进而得到，根据求出，进而得到，再根据求出，即可求解． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意得，于点，于点，四边形为矩形， ，，， ， 根据题意得，， ， ， ， ， 答：古树树冠高度为． 21. 阅读与思考 下面是小敏同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． k阶和倍数 定义：对于一个两位自然数，若它的个位数字，十位数字均不为0，且这个自然数等于其各位数字之和的k倍，则称这个两位数为“k阶和倍数”． 例如：两位数18，各位数字和，，则18为“2阶和倍数”． 若一个“k阶和倍数”的十位数字为a，个位数字为b（，且a，b为整数）由定义可得：， 我们可以利用这个式子解决相关问题…… 任务： （1）45是“k阶和倍数”，则______； （2）若一个两位数是“k阶和倍数”，交换十位数字和个位数字得到的两位数是“m阶和倍数”，求的值； （3）若一个两位自然数p是“7阶和倍数”，求证：一定是42的倍数． 【答案】（1）5 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“k阶和倍数”的定义求解即可； （2）设原数为，则新数是，根据“k阶和倍数”的定义得到，据此化简即可求解； （3）设两位自然数的十位数字为，个位数字为，根据“7阶和倍数”的定义可得 ，化简得，故；要证明 是42的倍数，即证明 是42的倍数，只需证明 是2的倍数即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴45是“k阶和倍数”，则； 【小问2详解】 解：设原两位数的十位为a，个位为b（，且a，b为整数），则 原数：①． 交换十位数字和个位数字得到的新数是：②， 将：， ∴， ∵， ∴． 两边同时除以，得： ； 【小问3详解】 解：设两位自然数p的十位数字为a，个位数字为b（，且a，b为整数）， 由p是“7阶和倍数”，得：， 整理得： ，化简得， 因此 ， 对因式分解：代入 ，得：， 可知 是21的倍数， 又∵和 是两个连续整数， ∴它们的乘积一定是偶数，即 也是2的倍数， ∵2和21互质， ∴ 一定是的倍数， ∴一定能被42整除．即一定是42的倍数． 22. 综合与实践 问题情境：为了解本土优质农产品晋祠大米的产销情况及政府对晋祠大米的相关保护措施，数学小组开展综合与实践活动． 收集信息： 信息①：晋祠大米，产自山西太原市晋祠镇，以晋祠难老泉水灌溉，米质晶莹、颗粒饱满，口感软糯香甜．2025年，晋祠大米成功获批国家地理标志保护产品． 信息②：政府提供财政补贴、税收优惠等政策支持，鼓励种植大户、专业合作社扩大种植面积，推动晋祠大米产业规模化、集约化发展，促进农民增收和乡村振兴． 信息③：某农民专业合作社直销晋祠大米，经市场调查发现，若售价为5元/千克，日销售量为340千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少20千克． 建立模型： （1）设该农民专业合作社直销晋祠大米的售价为x元/千克（且为正整数），每日销售额为y元． ①该合作社每天直销晋祠大米的数量为______千克（用含x的代数式表示）； ②求y关于x的函数表达式； 解决问题： （2）若销售过程中，有关部门规定晋祠大米销售价格不得超过15元/千克．求此时y的最大值和最小值； （3）政府为保护传统作物，销售过程中每日给农民专业合作社补贴a元（a为正整数），要使农民专业合作社日收入（日收入＝日销售额＋政府每日补贴额）不低于2500元，并且最多有5种不同的单价可以达到这个要求，请直接写出a的最小值． 【答案】（1）① ，② （2）y的最大值是2420元，y的最小值是 （3）160 【解析】 【分析】（1）根据题意列出销售额的代数式，再“销售额售价数量”列出等式求解； （2）由（1）得到销售额的二次函数式，转化为二次函数的顶点式，在顶点处取得最大值，再根据二次函数的增减性找到取值范围内的最小值； （3）利用二次函数的对称性，将5种不同的价格找出来，将这5种价格中的最小值求出来，从而解决问题． 【小问1详解】 解：①售价为元，则售价提高了元， 则销量为（千克）； ②由题意列式：， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，取得最大值，， ∵， 当时，取得最小值，， ∴y的最大值是2420元，y的最小值是； 【小问3详解】 解：由题意可列式：， ∴ ∵最多有5种不同的单价可以达到这个要求， 由于二次函数的对称轴是， 则的值可以是， 根据二次函数的对称性可知，当价格为这5个价格时， 当时，最小，， ∴，解得， ∴的最小值是160． 23. 综合与探究 问题情境：在数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题展开探究．如图1，在菱形纸片中，，，菱形纸片沿对角线剪开得到两个全等的三角形，将绕点B顺时针旋转得到． （1）猜想验证：如图2，当点与点C重合时，判断四边形的形状，并说明理由； （2）深入探索：如图3，在旋转的过程中，当时，线段与线段交于点O，求线段的长； （3）拓展延伸：在旋转的过程中，当直线与直线垂直时，请直接写出线段的值． 【答案】（1）菱形，理由见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由四边形是菱形和得，又，故是等边三角形，故，由旋转性质和与重合得，，故四边形是菱形； （2）由题意得，在中，，，过点O作于点M，在中，，故，又，故，故，解得，在中，，故，故； （3）直线与直线垂直，旋转角有两种情况，分情况讨论，当时，，​​当时，． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， 理由：四边形是菱形，， ， ， 是等边三角形， ， 由旋转性质得，，，， 当与重合时，， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：在中，， 旋转角， ， 在中，，， 如图，过点O作于点M， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， ； 【小问3详解】 解：或，理由如下： 由题意得，旋转角是顺时针转的，， 如图，当，即时，过作交于点M， 在中，， ， ， ， 在中，， 如图，当，即时，过作交的延长线于点N， 在中，， ， ， ， 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $