上海市曹杨第二中学2025-2026学年高二下数学5月数学练习

高二数学练习 班级 姓名 学号 一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题 5分) 1.已知数据x,x2,x3,x4,x的方差为1，则数据3x+1,3x2+1,3x+1,3x,+1,3x+1的 方差为 2.已知随机变量X服从正态分布N(10,o2),若P(9<X<11)=0.6,则 P(X≤9)= 3.样本数据：1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6的第75百分位数为 4.函数y=ln(1-2x)的导数是y'= A 5.如图，在三棱台ABC-AB,C的9条棱所在直线中， 与直线A,B是异面直线的共有 条 012 6.若随机变量X的分布为11 则X的期望E[X]为 -a 264 7.现有甲、乙两组数据，甲数据有5个数，其平均数为9，方差为8；乙组数据 有10个数，其平均数为6，方差为2.若将这两组数据混合成一组，则新的数据 的方差为 8.盒子中有大小与质地相同的3个红球和5个白球，从中随机取1个球，观察其 颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球2个，再从盒子中取1个球，则第二 次取出的球是白色的概率为 9.一个箱子里有5个大小与质地相同的球，编号为1、2、3、4、5，若有放回地 取三次，记至少取出一次的球的个数为X,则P(X=2)= 10.设a∈R,若关于x的方程ax+4=√4-x2+2a有两个不相等的实根x,x2, 则a的取值范围是 11.已知曲线C：(y-1)0x2-y21-2)=0,有下列说法：①曲线C是中心对称 图形；②曲线C有且仅有4条对称轴；③过点(0,1)的任意一条直线与曲线C的公 共点个数均为偶数；④曲线C所围成的封闭图形的面积S满足2π<S<8.其中正 确的为 (写出所有正确说法的序号) 1 12.设aeR,f(x)=e(3x-1)-ax+a,若存在唯一的整数n,使得f(n)<0,则 a的取值范围是 二、选择题（体大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第1516题每 题5分) l3.“中国天眼为500米口径球面射电望远镜(Five-hundred-.meter Aperture Spherical radio Telescope,.简称FAST),是具有我国自主知识产权、世界最大单 口径、最灵敏的射电望远镜.建造中国天眼的目的是（)· A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据 14.已知事件A,B满足P(AB)=0.7,P(A)=0.3,则（) A.事件A,B相互独立 B.事件A,B互斥 C.P(B|A)=0.3 D.P(BA)=0.3 15.设a∈R,f(x)=acosx-x2,则函数y=f(x)的极值点的个数情况可能为 (). A.没有极值点 B.有无穷多个极值点 C.有且仅有2026个极值点 D.有且仅有2027个极值点 16.已知曲线「的对称中心为O,如果对于曲线厂上的任意一点A,都存在「上 另外的两点B、C,使得△ABC的垂心为O,则称「为自垂曲线”.现有如下两 个命题：①任意双曲线都是“自垂曲线；②任意椭圆都是“自垂曲线”，则下列 判断正确的是（) A.①是真命题，②是真命题 B.①是假命题，②是真命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.(第1小题6分，第2小题8分，满分14分) 如图，在直三棱柱ABC-A,B,C中，AC=4,BC=3,AB=5. (1)求证：AC⊥BC; (2)设AC与底面ABC所成角的大小为60°，求三棱锥C-ABC的体积 2 18.(第1小题4分，第2小题10分，满分14分) 某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：c),按照区间 60,165),165,170),70,175),75,180),80,185]分组，得到样本身高的频率分布 直方图（如下图所示） (1)求身高在区间170,175)的学生人数； (2)将身高在[170,175)，[175,180)，[180,185]区间内的学生依次记为A,B,C三 个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人： ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率. 频率 组距 0.07 0.04 0.02 0.01 160165170175180185身高/cm 19.(第1小题6分，第2小题8分，满分14分) 设正方体ABCD-AB,CD,的棱长为1，记该正方体的8个J顶点构成集合M (1)从集合M中有放回地随机抽取两个点P、Q,令随机变量X为向量PQ模 长的平方，求X的分布及期望E[X]; (2)从集合M中随机抽取四个不同的点P、B、B、P,设事件A:PE=1, 事件B:PP,IPP,求P(A)、P(B)和P(AB) B 20.(第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，满分18分) 3 已知6>0,4、F分别是双曲线「：-茶-1的右顶点和右焦点，记厂过一 三象限的渐近线为l, (1)设b=2,求双曲线「的离心率和渐近线1，的方程； (2)设b=22,Q是，上一点，若线段QF与双曲线「交于点P,满足2FP=P9, 求点Q的坐标； (3)设b=1,过A作两条互相垂直的直线与双曲线「交于M、N两点(M在第 一象限)，若直线AM、AN分别与I,交于C、D两点，且△AMN与△ACD的面 积分别为S,、S,,满足S,=4S,求直线AM的方程 21.(第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分，满分18分) 已知a>1,b,c∈R,f(x)=a+bx2+c. (1)若a=3,b=0,c=-5,求不等式f(x)>0的解集； (2)若a=C,c=-1,存在b,使得函数y=f(x)有三个零点x,x2,x（ x<x2<x),且x,x2,x成等差数列，求b的值； (3)若a=2,b=c=0,g(x)=f(x)+x,数列{an},{bn}满足an=g(m),g(b)=n (n≥1，n∈N).{an}与{b,}的公共项按从小到大的顺序构成数列{c,},试问在数 列{C,}中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由 1.92.0.2 3.5 4、2 5363 7.6 1-2x 8 8 912 25 103 <a≤1 11.①④ 4 (5e2,4e】 13.C 14.A 15.D16.B .()由AC=4,8C=3,AB=5,得A8=4C+BC故∠1CB-号 即AC⊥BC 2分 由三棱柱ABC-AB,C,为直三棱柱，得CC⊥BC, 且BC与CC,是平面CB,内的两条相交直线， 故AC⊥平面CB. .4分 又因为BCc平面CB,所以AC⊥BC: .6分 (2)由CC,⊥底面ABC,得AC为AC在底面ABC上的射影， 知∠C,AC即为AC与底面ABC所成角，故∠C,AC=60°. .8分 又因为△C,AC为直角三角形，且AC=4, 所以CC=4V3. .10分 CC,为三棱锥C,-ABC的高，Sa4Bc=6, .12分 .-4c=4c=3ScCG=3x6x45=85, 1 即三棱锥C-ABC的体积为8√3…14分 【注：其他解答方法，如向量法等，均按步给分】 18. (1)由频率分布直方图可知 5x=1-5×(0.07+0.04+0.02+0.01), 所以x=1-5×0.14]=0.06.2分 所以身高在区间170,175)的学生人数为 100×0.06×5=30(人). ..4分 (2)A,B,C三组的人数分别为30人，20人，10人 因此应该从A,B,C三组中每组各抽取 3003人200-200*01W .8分 60 60 设A组的3位同学为A,A,A,B组的2位同学为B,B2,C组的1位同学为C,则 从6名学生中抽取2人有15种可能： (A,A),(4,4),(4,B),(4,B2),(4,C),(42,A),(4,B), (A2,B2),(A2,C),(A,B),(A,B2),(A3,C),(B,B2),(B,C),(B2,C1) 其中B组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能： (A,B),(A,B2),(A2,B),(A2,B2),(A,B),(A,B2),(B,B2),(B,C),(B2,C) 所以B组中至少有1人被抽中的概率为P=》=3 155 另：1-C3 ΓC5 .14分 012 3) 19.(1) 33 1 .4分 888 X]=3 2 6分 2)P=12-3 Q-7 .9分 P(B)= 36+124 CC35 ...12分 P4) 36=3 36+124 .14分 20. (1)离心率为√5， 2分 l为y=2x .4分 (2)b=22时，F的坐标为3,0) 设Q(x,2√2x),由2FP=P,则P的坐标为 x+6 2v2x 3’3 .6分 满起6〔1.解将 .8分 所以点Q的坐标为 99W2 -4’2 ......10分 (6)设直线AM:x=少+1,4N:x=-之+1 因为M在第一象限，所以0<t<1. 联立 x2-y=1,得d-10y2+2w=0, x=y+1, 所以点M的坐标为 1+22t 1-21-2 .12分 同理点N的坐标为 1+22t 1-2'1-2 y=x, 联立 解得点C的坐标为 11 x=y+1, 1-'1- 14分 同理点D的坐标为 ） △AMN的面积为S,= 11+t2,1+22t1+22t 21-21--1-*1-2, △4CD的面积为S,=)51-1×1-1.1+ 2 1-t1+221-2 则=1，解得=5 所以直线AM的方程为r=5-」 2y+1. .......18分 21.(1)(1og35,+o) .4分 (2)f(x)=e*+bx2-1,f0)=0, 所以0是函数y=f(x)的一个零点 6分 ①若x=0或x3=0,x,x2,x可以记作：0，x2,2x2, 满足 e+bx2-1=0, 解得e=3或e=1(舍) e2+4bx3-1=0, > 2 即x2=ln3,3+bn3)2-1=0,所以b=- (n32 .9分 ②若x2=0,x,x2,x3可以记作x,0,-x, 满足 e+bx2-1=0, 解得x=0(舍)· e+bx2-1=0, 综上，b= 2 In23 .11分 当x≠0时，若考虑b=1-e x2 令Tw5。T)=2-y-2 令F(x)=e(2-x)-2,F'(x)=e(I-x) (-00,1) (1,+00) F'(x) 0 F(x) 极大值 而F(0)=0,F)>0,F(2)<0, 由零点存在性定理知，存在唯一的x。∈(1,2)，使得F(x)=0. 所以 (-00,0) (0,x) (x,+0∞) T'(x) 0 + T(x) 可 极大值 回 而在x∈(-oo,0)时，T(x)>0, xe(0,+oo)时，T(x)<0 说明函数y=T(x)的图像与平行于x的直线至多只有2个公共点 因此三个零点中必然有一个为0. (3)g(x)=2+x, 8 an=2"+n,n=2.+bn, 因为{a,}中的每一项an都是整数，此时2+an一定是整数，所以{an}与{也n}的公 共项组成的数列即为{an} .....14分 而函数y=g(x)在(0，+oo)为严格增函数， 所以若存在a.,a1,a+2(n≥1，neN)成等比数列， 一定满足an·a+2=a元1 代入表达式，求出(n-2)2”-1=0 令T(x)=(x-2)·2-1 T(1)<0,T(2)<0,T3)>0 函数y=T(x)在(3，+oo)为严格增函数， 即(x-2)·2-1=0无符合要求的正整数解 所以不存在{a,}中连续三项构成等比数列： .18分