上海金山中学、闵行中学、嘉定一中、青浦高级四校2025-2026学年高二第二学期阶段练习数学试卷

2025学年第二学期阶段练习高二数学试卷 参考答案与评分标准 一、填空题 1.(-0,-3]: 2.20: 3. 2x±y=0: 4.5: 5.60: 6. 5W2 2 7. 1 2 8. arccos: 9.0.75: 10.4: 11.n(n+1)2m2; 12.-27 二、选择题 13.B: 14.B: 15.A: 16.A 三、解答题 17.解：(1)由频率分布直方图中各小矩形的面积和为1， 得(0.005+0.02×2+0.025+x+0.01+0.005)×10=1,…(2分) 解得x=0.015.… …(3分) 故这1000家小微企业的月收入的平均数约为 0.05×15+0.2×25+0.2×35+0.25×45+0.15×55+0.1×65+0.05×75…(5分) =42.5(万元) …(6分） (2)因为月收入在[50,60)，[60,70)，[70,80)内的企业的比例为 0.15:0.1:0.05=3:2:1, 所以抽取的6家企业中月收入在[50,60)，[60,70)，[70,80)内的企业数分别为 3,2,1… …(7分) 所以从这6家企业中随机抽取3家企业， 其中月收入在[50,60)内的企业数X的所有可能取值为01,2,3， 参考答案第1页共7页 P(X=2)= 20, P(x-3)=cC-1 …(每个1分，11分) 20 0 1 所以X的分布为 1 9 9 …(12分) 20 20 20 20 9 13 所以数学期望为[X]=0+1× +2× +3× …(14分) 20 20 202 18.解：(1)设AC∩BD=O, 因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD,且O为AC、BD中点.…(2分) 因为AS=CS,所以SO⊥AC,…(4分) 又SO∩BD=O,SOC平面BDS,BDC平面BDS,…(7分) 所以AC⊥平面BDS. (2)因为底面ABCD是菱形，∠BAD= 3’AB=2, 所以△ABD是等边三角形，则BD=AB=2,AC=2√5.…(9分) 在△BDS中，BS=V5,DS=1,BD=2,满足BS+DS2=BD, 故SD⊥SB」 …(10分) √5x1V5 所以SaD= …(12分) 2 2 由(1)知AC⊥平面BDS, 1 所以V-ABCD= .4C-x 2×2W5=1 即四棱锥S-ABCD的体积为l.…(14分)》 19.解：(1)f(x)=2W3 sinxcosx+-sinx-cos2x incor2x-2sin …(3分) 参考答案第2页共7页 所以y=f(x)的最小正周期为T= 2π =兀，…(4分) 2 由-元+2hm≤2x-亚≤+2m,k∈Z,…(5分)】 2 62 相到-名ms骨+.c2, 所以y=∫(x)的单调增区间为 匹+m,+(k∈Z).…《6分 6 (2)由f(A)=2,得2sin 2A- =2,即sin 24- =1 6 6 又-刀<24-<11m 6 …(7分) 66 放2A-元=卫 62A= …(9分) 3 又角A的内平分线交BC于D,b=3,C=2, 由SABc=SAsD+SAcD, …(10分)》 即三bcsinA=-C·AD·sin∠BAD+-b·AD·sin∠CAD,…(12分) 和子6x9-4D,解得D 2 24 5 即AD的长为6V5 ………(14分) 5 20.解：(1)由椭圆定义，得AF+AF=2a,BF+BF=2a, ∴△FAB的周长为A+B+AF引+B=4a=8,故a=2.…(2分) 2C=2,.c=1,b=V5, =1 …(4分） @当a=2,b=L时，C+y1 参考答案第3页共7页 所以E(0,1),(N5,0,故EE=2.…(5分） 设P(xy) x2 +y2=1 ①若EF=|EP=2,则{4 …(6分)》 x2+(y-1)2=4 x= W2 4W2 解得 3 或 3 或/50 1 =3 =-1 乃=3 点P的坐标为 9到 。…(8分）》 +y=1 ②若E引=|E=2,则 4 …(7分）》 (x-3+y=4 =0 x=0 解得 y=-1或 y=1(舍)， ·点P的坐标为(0，-1) …(9分) 综上，点P的坐标为 4W21成421 变 33國33 或(0，-1).…(10分) 0当a=万.b=1时G号+y=1.C号=1 E(-1,0),F(1,0) 假设存在直线：y=k+m满足题意. 「y=c+m, 联立等+少 消去y,得(1+2k2)x2+4x+2m2-2=0. 由△=16k2m2-41+2k2)(2m2-2)=0,得m2=1+2k2.…(11分) 参考答案第4页共7页 y=c+, 联立x 消去y,得1-2k2)x2-4x-2m2-2=0. -y2=1, 2 4km x+= 设M(x,乃)，W(x,y),则 1-2k2, …(13分) -20m2-2 <0 1-2k2 由MLNF,得(：+1)(x-1)+=0, …(14分) 即(x+1)(x2-1)+(1+m)kx,+)=0, 整理，得1+k2)xx+x-+m(+x)+°-1=0. 其中x,-x=V伍+x,}-4x 4km -4.-2m2-2 1-2k2 1-2k2 2V2m+2-4_2V20+2k)+2-4k2 4 ,…(15分) I1-2k21 11-2k21 1-2k2 从而(0+k9).-22-2 4 1-22+1-2K+m: 4kan+m2-1=0, 1-2k 化简，整理，得m2=1, m=±1， 结合m2=1+2k2,得 …(17分） k=0. 故存在直线1：y=±1满足题意. …(18分) 21.解：(1)由于f(-f(2)上1，|g(①)-g(2)F3, 故f(I)-f(2)Kg()-g(2)川，…（理由，2分） 所以函数f(x)=x不是函数g(x)=x2在区间[1,2]上的1级控制函数.…(4分) (2)由函数f(:)=lhx是函数g(x)=e在区间 -,e 上的m级控制函数， e 得mx-lnx≥e-e, 参考答案第5页共7页 为<x2,.nx<nx3,e>e, 从而nx3-lnx≥(e-e),… …(5分) 即nx3+me≥lnx+eM在 -,e 上恒成立 …(6分） 令h()=lnx+me,则h(x,)≥(s)在 上恒成立， 即y=h(x)在 -,e 上为增函数， …(7分） 故H(x)≥0在 上恒成立， …(8分) 1 即h(x)=二-：ex≥0， 记p()=g,x>0,则4)=e-卫 上严格减，在(1，©]上严格增， 从而p(x)mn=p(I)=e,故实数m的最大值为e. …(10分) (3)因为函数y=f(x)在区间(L,+o)上存在两个零点b, 不妨设1<a<b,且f(a=f(b)=0, 因为函数y=f()是g(x)=x2-2x-1川在区间(L,+∞)上的2026级控制函数， 所以|f(a)-f(b)1≥mg(a)-g(b)1,即0>mlg(a)-g(b)1, 由m>0,得g(a=g(b),… …(12分) 即|a2-2a-1曰b-2b-11. 又函数y=x2-2x-1在(1，+0)上严格增， 故2-2a-1+b2-2b-1=0,即(a-1)2+(b-1)2=4,…(14分) 参考答案第6页共7页 令a=1+2cos0,b=1+2am0,0（径） 则ab=(1+2cos0)1+2sin)=1+2(cos日+sn0)+4sin6cos0,…(15分) 令1=c0s0+n0,则1=V2sim(0+∈0，V万，…(16分》 从而ab=1+2t+2(t-1)=2r+2t-1∈(3,3+2W2), 即ab的取值范围是(3,3+2√2).…(18分) 参考答案第7页共7页2025学年第二学期阶段练习 高二数学试卷 (练习时间：120分钟满分：150分) 一、 填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题 每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1.已知集合A={x|-3≤x≤2}，B={x|x≥a},且A≤B,则实数a的 取值范围是 2.样本数据2,5,7,11,14,16,20,25的第80百分位数为 3. 双曲线兰-心=1的新近线方程为 4. 设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位)，则z的模为 5. 在 的展开式中，x2项的系数为 (用数字作答) 6. 抛物线T上任意一点P(x,y)都满足 x+y+3 =x-12+y-12, V2: 则抛物线「的焦点到准线的距离为 7.现从5名男生和3名女生中随机选取3人参加数学建模竞赛，在女生甲 被选中的条件下，另有2名男生被选中的概率为 8.已知某圆台的上底半径为1，下底半径为2，若圆台上、下底面的面积 和等于圆台的侧面面积，则圆台的母线与底面所成角的大小为 (用反三角函数表示)· 9. 已知正实数a、b满足log.b+log6a= 2,且a°=b,则a+b的值为 10.已知b是ac的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4v-1= 0相交于A、B两点，则弦长|AB|的最小值为 1.设”为大于2的自然数，将二项式(1+)”=(C)两边同时求导，可 以得到组合恒等式+)=(C).类似地，我们可以得到组 合恒等式2(kC) 已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、 C,则AB.AC的最小值为 第1页共4页 二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每小题都给出四个选项， 其中有且只有一个选项是正确的，13-14选对得4分，1516选对得5 分，否则一律得零分 13.某校艺术节举行弹钢琴比赛，现有21位选手报名参赛，初赛成绩各不相 同，取前10名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自 己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成绩的( A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 14.已知等比数列{an}的公比为9，且a1>0,则“9>0”是“{an}为严 格增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 15设4,4，，4，是空间中给定的n个不同的点，则使(A)=0成立的 点M的个数为(). A.1 B.n C.无穷多个 D.以上均可能 16.在平面直角坐标系xOy中，将函数y=∫(x)的图像绕坐标原点逆时针方 向旋转α(0°<≤90°)后，所得到的曲线仍然是某个函数的图像，则 称y=f(x)为“α旋转函数”.现有以下4个命题，其中所有的真命题 为(). ①存在“90°旋转函数”； ②“70°旋转函数”一定是“80°旋转函数”； ③若g(x)=ax+二为“45°旋转函数”，则a=1: ④若hx)=为“450旋转函数”，则-e2≤b0 A.①③④ B.①②④ C.①④ D.①③ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必 要的步骤， 17.(本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 某市为了统计市内小微企业的经营发展情况，市税务局提供了1000家 小微企业的月收入数据.企业月收入（单位：万元）以10,20)，20,30)， [30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80)分组的频率分布直方图如图 所示 (1)求这1000家小微企业的月收入的平均数（同一组中的数据用该组区 第2页共4页 间的中点值作代表)： (2)若采用分层随机抽样的方式从月收入在[50,60)，[60,70)，[70,80) 内的企业中抽取6家进行问卷调查，再从抽取的6家企业中随机抽取3家企 业作进一步访谈，记抽 取的3家企业中月收入 频率/组距 在[50,60)内的企业数为 0.025 X,求随机变量X的分 0.020 布与数学期望. 0.010 0.005 1020304050607080企业月收入/万元 第17题图 18.(本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分) 如图，已知四棱锥S-ABCD的底面为菱形，∠BAD= 3 45=CS. (1)求证：AC⊥平面BDS; (2)若AB=2,BS=√3，DS=1, 求四棱锥S-ABCD的体积. 第18题图 19.(本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 己知定义域为R的函数y=∫(x)的表达式为 f(x)=2v3sinxcosx+sin2x-cos2x. (I)求y=f(x)的最小正周期及单调增区间； (2)在△ABC中，f(A)=2,b=3,C=2,若角A的内角平分线交 BC于D,求AD的长， 第3页共4页 20.(本小题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 已知椭圆G的方程为号+卡=(a>b>0).万、万分别为拼商G 的左、右焦点.双曲线C2的实轴为椭圆C的长轴，C2的虚轴为椭圆C,的 短轴.过F作直线I交椭圆于A、B两点. (1)当△F,AB的周长为8，椭圆C,的焦距为2时，求曲线C,及C2的方 程； (2)当a=2,b=1时，己知椭圆C1的上顶点为E,P是C1上的一个 动点，若△EF,P是等腰三角形，且EF,是该三角形的腰，求点P的坐标： (3)当a=√2，b=1时，是否存在椭圆C,的切线1，其与双曲线C2的 左、右两支分别交于点M、N,使得MF⊥NF,？若存在，求出所有满足 要求的直线1的方程；若不存在，请说明理由。， 21.（本小题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 设m>0,若对任意的x,x2∈D,且x<x2,函数y=f(x)、y= g(x)均满足： f(x)-f(x2)>m g(x)-g(x2), 则称函数y=f(x)是函数y=g(x)在区间D上的m级控制函数、 (1)判断函数f(x)=x是否是函数g(x)=x2在区间[1,2]上的1级控制函 数，并说明理由； (2)若函数f(x)=血x是函数g(x)=e在区间 e.e 上的m级控制函 数，求实数m的最大值； (3)若函数y=f(x)是函数g(x)x2-2x-1川在区间(1，+∞)上的 2026级控制函数，且函数y=f(x)在区间(1，+∞)上存在两个零点a、b, 求两零点之积ab的取值范围. 第4页共4页