上海市上海大学附属中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试卷

**基本信息** 聚焦数学思维与实际应用结合，通过梯度化问题设计考查运算能力、推理意识，适配高中月考学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|3/30|函数单调性、立体几何体积计算|综合考查推理能力与几何直观，融入生活情境体现应用意识|

2026年上大附中高二5月月考数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分 1.设全集U=R,集合A={1,2,3,4},B={x2≤x<3},则AnB= 2.若一圆锥底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为 (结果保留π) 3.己知f是定义在R上的可导函数若网@2-=1，则f②= h 4.春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是：，感冒发作的 概率是号，鼻炎发作且感冒发作的概率是：，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的 概率是一 5.已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn,若S6=S3,则其公比q=一 6.抛物线y2=x的焦点为F过该抛物线上的一点P作其准线的垂线，垂足为 Q,若∠PQF=60°，则1PQ1= 7.己知随机变量X服从二项分布B(4,)，则X+1的期望E[X+]= 8.在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩X服从正态分布 N(70,σ2).已知P(50≤X≤70)=0.4，则从中任选一名学生的数学成绩超过90 分的概率为一 9.己知(x-1)=ao+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a7(x+2)7,则a1ta2t…+a7= 10.已知函数f(x)、g(x)满足：f(x)+x2g(x)=ex-x,且f(1)=1,则f(1)+ g(1)=- 11.一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为1cm的球 状物体后，水面高度为6cm,如图所示.已知该水杯的底面圆半径为3cm,若从 t=0s时刻开始，该球状物体的半径以1cm/s的速度变长（在该球状物体膨胀的 过程中，该球状物体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出)，则在t=25时 刻，水面上升的瞬时速度为cm/s. 6c © 12.若函数y= 层，x之0的图像上点A与点B、点C与点D分别关于原点对 (ax2,x<0 称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数α的取值范围 是 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。 13.在空间直角坐标系中，0为坐标原点，对空间中任意一点P(x,y,z),则下列叙 述错误的是() A.点P关于x轴的对称点是P(x,一y,-z B.点P关于平面yOz的对称点是P(-x,y,z) C.点P关于y轴的对称点是P3(x,-y,z) D.点P关于原点的对称点是P(-x,一y,一) 14.已知函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的 是() A.函数y=f(x)在点x=一2处的切线斜率小于零 B.函数y=f(x)在区间(-1,1)上严格增 C.函数y=f(x)在x=1处取得极大值 D.函数y=f(x)在区间(-3,3)内至多有两个零点 15.己知f(x)=ax+bx2+cx+d(a≠0)，则”存在实数x0,使得x既是函数 y=f(x)的零点，又是函数y=f(x)的驻点”是”函数y=f(x)恰好有两个零 点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 16.若数列{an}满足：对任意的正整数n,总存在正整数m使得Sn=am(其中 Sn=1a,则称{an}具有”性质P”,对于以下两个结论，说法正确的是 () 结论①：若{an}具有“性质P”,则对{an}中任意一项ak(正整数k≥2)，均可 写成{a}中的两项之差； 结论②：等比数列an=2n不具有“性质P”. A.①对，②对 B.①对，②错 C.①错，②对 D.①错，②错 三、解答题（本大题满分78分） 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知集合A={x号<引，集合B=xx-ax+3<0). (1)当a=4时，求AnB; (2)若AUB=A,求实数a的取值范围 18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知等比数列{an}的公比q>1，a1+a2+a3=14,a2+1是a1,ag的等 差中项.等差数列{bn}满足2b1=a2,b4=ag· (1)求数列{an}，{bn}的通项公式： (2)cn=(n∈N),求数列{cn}的前n项和. 19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图所示四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别 为BC、PD的中点. (1)证明：MW∥面PAB: (2)若PA=PB=V5,平面PAB⊥平面ABCD,求二面角N-AM-B的余弦 值. 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 8分) 已知椭圆r学+长=1(a>b>0),B,B,分别是椭圆短轴的上下两个端点，，是椭 圆左焦点，M是椭圆上异于点B1,B2的点，△B1F1B2是边长为2的等边三角 形 (1)写出椭圆下的标准方程和离心率： (2)当直线MB1的一个法向量是(-1,1)时，求以MB1为直径的圆的标准方程， (3)设点P满足：PB:⊥MB1，PB2⊥MB2,求证：S△MBB2:S△PBB2为定值， 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 8分) 若定义域为R的函数y=f(x)和y=g(x)分别存在导函数f(x)和g(x),且 对任意实数x,都存在常k,使得f(x)≥kg(x)成立，则称函数y=f(x)是函 数y=g(x)的”k导控函数”，称k为导控系数 (1)判断函数f(x)=2x是否是g(x)=sinx的“2导控函数”，并说明理由： (2)若函数f(x)=-x-4x3-12x2-20x是函数g(x)=e×的"k导控函数”， 求导控系数k的取值范围： (3)若p(x)=2025+m·2025-*,q(x)=q(-x),函数y=p(x)是函数y=q(x)的 “1导控函数”，求证：“m=1”的充要条件是“存在常数c,使得p(x)-q(x)=c 恒成立”.2026年上大附中高二5月月考数学试卷 一.填空题 1.设全集U=R,集合A={1,2,3,4},B={x2≤x<3},则A∩B= 【解析】{1,3,4) 2.若一圆锥底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为 (结果保留π) 【解析】2π 3.己知f)是定义在R上的可导函数，若m@=2-®=1，则f2)= h 【解析】1 4.春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是：，感冒发作的 概率是，鼻炎发作且感冒发作的概率是，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的 概率是 【解析】 5.已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn,若S6=S3,则其公比q= 【解析】-月 6.抛物线y=x的焦点为F,过该抛物线上的一点P作其准线的垂线，垂足为 Q,若∠PQF=60°，则1PQ= 【解析】主 7.己知随机变量X服从二项分布B(4,)，则X+1的期望E[X+]= 【解析】3 8.在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩X服从正态分布 N(70,σ2).已知P(50≤X≤70)=0.4，则从中任选一名学生的数学成绩超过90 分的概率为 【解析】0.1 9.己知(x-1)=ao+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a7(x+2),则a1+a2+…+a7= 【解析】2059 10.己知函数f(x)、g(x)满足：f(x)+x2g(x)=e*-x,且f(1)=1,则f(1)+ 9(1)=_ 【解析】3-e. 11.一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为1cm的球 状物体后，水面高度为6cm,如图所示.已知该水杯的底面圆半径为3cm,若从 t=0s时刻开始，该球状物体的半径以1cm/s的速度变长（在该球状物体膨胀的 过程中，该球状物体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出)，则在t=2s时 刻，水面上升的瞬时速度为cm/s. 6cm e 【解析】4 12. 若函数y=信，x≥0的图像上点A与点B、点C与点D分别关于原点对 ax2,x<0 称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数α的取值范围 是」 【解析】 若f(x)有两组点关于原点对称， 则f(x)在(-∞，0)的图像关于原点对称后与(0，+∞)的图像有两个交点.由 x<0时，f(x)=ax2,得其关于原点对称后的解析式为y=-ax2.问题转化为y= 三与y=-Qx2在(0，+o)上有两个交点， 9下 2 即方程二=-ax2有两根，化简得-a=兰， 即y=-a与y=在(0，+o)上有两个交点. 对于y=总，求导y=, 令y=>0,解得x<1,即当xE(0,1)时，y=六严格增； 令y=<0,解得x>1,即当xE(,+)时，y=兰严格减， 所以x=1为其极大值点，ym=, 又x→0时，y→0；x→+∞时，y→0， 画出其大致图像，欲使y=-a与y=三在x>0时有两个交点， 则-ae(o,),即ae(-是，0）. 二选择题 13.在空间直角坐标系中，0为坐标原点，对空间中任意一点P(x,y,z),则下列叙 述错误的是() A.点P关于x轴的对称点是P1(x,-y,-z) B.点P关于平面yOz的对称点是P2(-x,y,z) C.点P关于y轴的对称点是P3(x,-y,z) D.点P关于原点的对称点是P(-x,-y,-) 【解析】C 14.已知函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的 是( 2 3 A.函数y=f(x)在点x=-一2处的切线斜率小于零 B.函数y=f(x)在区间(-1,1)上严格增 C.函数y=f(x)在x=1处取得极大值 D.函数y=f(x)在区间(-3,3)内至多有两个零点 【解析】D 15.己知f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则”存在实数x0,使得x0既是函数 y=f(x)的零点，又是函数y=f(x)的驻点”是”函数y=f(x)恰好有两个零 点”的( 人 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】B 16.若数列{an}满足：对任意的正整数n,总存在正整数m使得S=am(其中 Sn=,a,则称{an}具有”性质P”,对于以下两个结论，说法正确的是 结论①：若{an}具有“性质P",则对{an}中任意一项ak(正整数k≥2)，均可 写成{a}中的两项之差； 结论②：等比数列a=2n不具有“性质P”. A.①对，②对 B.①对，②错C.①错，②对 D.①错，②错 【解析】 对于①：若{an}具有“v性质P”,则对任意的正整数n,总存在正整数m使得 Sn=am 当n≥2时，an=Sn-Sn-1, 因为{an}具有“性质P”,则存在正整数m1,m2,使得Sn=amSm-1=am2, 所以an=am1一am2, 当m≥2时，am=Sm-Sm-1,由“性质P"可得，存在正整数t,p,使得Sm= at Sm-1 apr 则a1=am=a:-a,,即存在正整数m,使得n=1,a1=at-ap， 综上，{an}中任意一项均可写成{an}中的两项之差，故①正确： 对于②：因为am=2n,所以Sm=21-22=2n*1-2, 1-2 假设它具有“性质P”,则对任意的正整数n,总存在正整数m使得Sn=am,即 2n+1-2=am=2m, 当n=1时，S1=a1=2,此时m=1符合题意； 当n=2时，S2=6,6不是2的整数次幂，即不存在正整数m,使得2m=6,因此 等比数列an=2n不具有“性质P”,故②正确 三、解答题 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知集合A={x<引，集合B=r2-ax+3<0}. (1)当a=4时，求AnB; (2)若AUB=A,求实数a的取值范围. 【解析】 仙号号-0日0<00<x<2, 所以A={x0<x<2}, 当a=4时，B={x|x2-4x+3<0}={xl(x-1)(x-3)<0}={x1<x<3}, ·AnB={xl1<x<2}; (2)AUB=A,·B≤A, ①若B=⑦，则△=a2-12≤0，解得-2W3≤a≤2V3: ②若B≠⑦，要使B≤A,则f(x)=x2-ax+3应满足 A>0 a<-2v3或a>2V3 a 022 0<a<4 f(0)≥0 即Ka∈R 7 f(2)≥0 a≤2 解之得2V3<a≤子， 综上所述，所求实数a的取值范围是 -2W3, 18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 己知等比数列{an}的公比q>1，a1+a2+a3=14，a2+1是a1,a3的等 差中项.等差数列{bn}满足2b1=a2,b4=a3· (1)求数列{an}，{bn}的通项公式： (2)cn=(n∈N)，求数列{cn}的前n项和. an 【解析】 (1)依题有 0+2+ag=14→{a1+ag+a92=14 l2(a2+1)=a1+agl2(aq+1)=a1+ag2' 因为q>1,解得：a1=2,q=2,an=2m. :数列b}是等差数列，设其公差为d,6,+3d=8' (2b1=4 解得：倍=2n, (2)数列{cn}的前n项和记为Sn，则Sn=c1+c2+cn, 因为始=品， 所以S=+子++ 1.2 2n-, 1 12 25n=27+2+… 2n1 两武相减1中*+“客2一所拟4器 1 2可-2元= 19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图所示四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别 为BC、PD的中点. (1)证明：MN/∥面PAB: 6 (2)若PA=PB=V5,平面PAB⊥平面ABCD,求二面角N-AM-B的余弦 值. 【解析】 (1)设AD中点为Q,连接NQ,MQ, 因为M、N分别为BC、PD的中点，所以NQ/PA,MQ/BA,因为NQc平面 PAB,MQ4平面PAB, PAC平面PAB,ABC平面PAB, 所以NQ/∥平面PAB,MQ/平面PAB, NQc平面NQM,MQc平面WQM,且NQn MQ=Q, 所以平面NQM/∥平面PAB,因为MNc平面NQM,所以MN/I平面PAB. (2)设AB中点为O,CD中点为R,因为PA=PB,所以PO⊥AB,因为 平面PAB⊥平面ABCD,且平面PABn平面ABCD=AB,POC平面PAB, 所以PO⊥平面ABCD,进而PO⊥OR,因为四边形ABCD是正方形，所以 OR⊥AB, 以O为原点，分别以OB、OR、OP为x轴、y轴、z轴建立坐标系，因为若 PA=PB=V5,0A=0B=1,所以0P=2, A(-1,00),D(-1,2,0),M(11,0),P(0,0,2),N为PD中点，所以N（-1,1 设平面AMN的法向量为=(x1,y1,Z), 因为Am=(21,0),MN=（-三，0,1)，·A=0,·MT=0, 所以2x+y归=0，-x+2=0, 取x1=2,则y1=-4,21=3,=(2,-4,3), 平而AMD的法向量为=(0,0,1)， 二面角N-AM-B的余浓值为co9=一图需高-爱 29 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 8分) 已知椭圆T等+兰=1(a>b>0),B,B,分别是椭圆短轴的上下两个端点，P,是椭 圆左焦点，M是椭圆上异于点B1,B2的点，△B,F1B2是边长为2的等边三角 形 (1)写出椭圆下的标准方程和离心率： (2)当直线MB1的一个法向量是(-1,1)时，求以MB1为直径的圆的标准方程. (3)设点P满足：PB11MB1，PB21MB2，求证：S△MBB2S△PB,B2为定值. 【解析】 (1)因为△B,F,B2是边长为2的等边三角形，所以a=2b=2,c=V3b, 又b2+c2=a2,所以a=2,b=1,c=3 故椭圆T的标准方程为兰+y2=1,离心率为e=9 (2)因为MB1的一个法向量是(-1,1)，且直线MB1过点B,(0,1), 所以直线MB1方程为：x-y+1=0, 联立直线MB,方程与椭圆方程苦+y2=1,得5y2-2y-3=0,解得M(-号，- 所以线段MB,中点为（线段MB,长度为MB,=89， 枚以MB,为直径的园的标准方程为(x+)+(一)}-器： (3)由题意，点P为直线MB1过点B1的垂线与直线MB2过点B2的垂线的交 点， B 设点M(xoyo),所以直线MB1为：y=0x+1,直线MB2为：y=o2x-1, 则直线PB,为y=品%x+1,直线PB,为：y品x-1, 联立直线PB,方程与直线PB,方程，消去y,得%x+1=品x-1, 整理得 (品%+品)x-2,即忍x一2解得 xp=始-1、药 4 因为S△MB,82=B,B2lxol,SaPB82=lB,Ballpl=引B1B2l月， 所以S△MB,B2:S△PB,B2=4，得证。 9 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 8分)》 若定义域为R的函数y=f(x)和y=g(x)分别存在导函数f(x)和g'(x),且 对任意实数x,都存在常k,使得f(x)≥kg(x)成立，则称函数y=f(x)是函 数y=g(x)的”k导控函数”，称k为导控系数 (1)判断函数f(x)=2x是否是g(x)=six的“2导控函数”，并说明理由： (2)若函数f(x)=-x4-4x3-12x2-20x是函数g(x)=e×的“k导控函数”， 求导控系数k的取值范围； (3)若p(x)=2025x+m·2025-x,q(x)=q(-x),函数y=p(x)是函数y=g(x)的 “1导控函数”，求证：“m=1”的充要条件是“存在常数c,使得p(x)一q(x)=c 恒成立” 【解析】 (1)解：由函数f(x)=2x是否是g(x)=sinx,可得f(x)=2,g'(x)=cosx, 因为对x∈R,g'(x)∈[-1,1]，所以f(x)-2g(x)=2-2cosx≥0， 即对任意实数x∈R,f(x)≥2g'(x)成立， 所以函数f(x)=2x是函数g(x)=sinx的“2导控函数” (2)解：由函数f(x)=-x4-4x3-12x2-20x,且g(x)=e×, 可得f(x)=-4x3-12x2-24x-20,g(x)=ex>0, 对任意实数xER,都存在常数k,使得但≥k成立， g'(x) 设h)=f因=43-12-24x-20,则 9(x) h0=40-卫.40x-2002+x+2D ex e 由0， 。x ex 当x∈(-∞，1)时，h'(x)<0；当x∈(1，+o)时，h'(x)>0. 即h(x)在(-∞，1)上严格减，在(1，+∞)上严格增， 所以h(x)≥h(1)=-4-12-24-20=-60 e e 6 即对任意实数xER,但≥-0成立， g(x) e 所以导控系数k的取值范围是（-∞，一四。 (3)证明：充分性：若存在常数c,使得p(x)-q(x)=c恒成立， 因为q(x)=q(-x),所以p(x)=p(-x), 即2025x+m·2025-x=2025-x+m·2025x,， 即对任意实数x∈R,(m-1)(2025x-2025-x)=0成立，所以m=1. 必要性：若m=1,则p(x)=2025×+2025-x=p(-x), 因为函数y=p(x)是函数y=q(x)的“1导控函数”， 所以对任意实数x∈R,p'(x)≥q(x)①， 出q(-x)=q(x),p(-x)=p(x),得函数y=p(-x)是函数y=q(-x)的“1导控 函数”， 所以对任意实数x∈R,-p'(-x)≥-q(-x),即p'(-x)≤q(-x), 用-x代换x,得对任意实数x∈R,p'(x)≤q(x)②， 由①②可知：对任意实数x∈Rp'(x)=q(x),即p'(x)-q(x)=0, 所以存在常数c,使得p(x)-q(x)=c恒成立， 综上可得：“m=1”的充要条件是“存在常数c,使得p(x)-q(x)=c恒成立”. 11