精品解析：重庆市第十八中学2025-2026学年度高一下学期五月学情调研数学试题

重庆市第十八中学高2028届2025-2026学年（下）5月学情调研数学试题 考试说明：1．考试时间120分钟2．试题总分150分3．试卷页数2页 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若i是虚数单位，，则复数z的虚部是（ ） A. 1 B. i C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定等式求出复数z即可得解. 【详解】因，则， 于是得复数z的虚部是. 故选：C 2. 设有两条不同的直线，和两个不同的平面，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面平行的性质与判定逐个选项分析即可． 【详解】若，，则，可以平行、相交或异面，故A错误； 若，，则或相交，故B错误； 若，，则或，故C错误； 若，，则，故D正确． 故选：D. 3. 在△ABC中，，，，则（ ） A. 12 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 4. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面说法中错误的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 图（2）中水面EFGH所在四边形的面积为定值 C. 棱始终与水面所在平面平行 D. 当容器倾斜如图（3）所示时，是定值 【答案】B 【解析】 【详解】根据棱柱的定义可知，在图（1）（2）中棱柱的上下底面分别为， 图（3）中，棱柱的上下底面分别为，故A正确； 在四边形中长度不变，但到直线的距离一直在变化， 所以水面四边形的面积是变化的，故B错误； 因为棱始终与，平行，故棱始终与水面所在平面平行，故C正确； 因为水的体积是不变的，有水的部分始终呈棱柱形，且高始终是也不变， 所以底面积也不会变 ，即是定值，故D正确. 5. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式以及诱导公式化简可得或，进而可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 即，所以 所以或， 又因为，，为三角形内角，所以或， 即的形状为等腰三角形或直角三角形， 故选：D. 6. 点是所在平面内一点，若，则点的轨迹经过的（ ） A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 【答案】D 【解析】 【详解】取线段的中点，则， 因为，所以， 则，所以， 则点的轨迹经过的外心. 7. 云外楼（图1）是铁山坪森林公园的标志性建筑，位于山顶的云岭广场，登顶后可以俯瞰长江和铜锣峡的壮丽景色．我校某数学兴趣小组成员为测量云外楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则云外楼的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】设，用表示，再利用余弦定理，列式计算即得. 【详解】设，依题意，，，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， 可得： 解得： 8. 已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先把条件几何化，得出，从而计算出点到直线的距离，然后对所求表达式进行化简，最后利用三点共线的结论可得的几何意义即可求解. 【详解】已知 ，得，又 ，故 ， 设，，为中点，则，得，  ，已知，又， 故，得， 到直线的距离： ， ，因为  ， 所以是直线上任意点对应向量，其模长最小值就是点到直线的距离， 因此： ​，即最小值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知都是复数，下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】取特殊复数计算判断A，C，设复数结合复数乘法及复数模长计算判断B，根据已知复数运算律得出模长判断D. 【详解】对于选项A，取，，则，，满足，但，则A不正确； 对于选项B，设，， 因为，所以不同时为0，，则B正确； 对于选项C，取，，满足，则C不正确； 对于选项D，因为，所以，所以或，则，则D正确． 故选：BD． 10. 已知向量，，则（ ） A. 与向量平行的单位向量为 B. 当时， C. 当时，向量在向量上的投影向量为 D. 若与夹角为锐角，则的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用单位向量的定义、向量垂直的坐标关系、投影向量的计算公式以及夹角的表示依次判断即可. 【详解】对于A，与向量平行的单位向量为或，故A错误； 对于B，当时，，解得，故B正确； 对于C，当时，，， 则向量在向量上的投影向量为，故C正确； 对于D，若与夹角为锐角，则， 解得且，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 若平面，则的轨迹长度为 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥的外接球体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：先找平行的平行平面，确定过且与该平面平行的平面和底面的交线，该交线即为点的轨迹，再计算轨迹长度；对于B：先找过三点的平面与正方体各棱的交点，确定截面的形状，再用对应多边形面积公式计算截面面积；对于C：利用等体积法将三棱锥的体积转化为的体积，判断点到平面的距离是否为定值，即可判断体积是否为定值；对于选D：三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，利用长方体的外接球计算半径，再代入球的体积公式计算. 【详解】对于A：取的中点，连接， 因为是中点，是中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，，，所以，又因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，，所以平面平面， 要想平面，只需在平面内运动即可，又因为在平面内运动，所以点的轨迹为平面与平面在正方体内部的交线， ，即点的轨迹长为2，A正确； 对于B：，，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以，且，所以四点共面， 所以截面即为梯形，并且，，， 所以等腰梯形的高， 故其面积，B正确； 对于C：，为定值， C正确； 对于D：三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径， 所以体积 ，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 正方体的12条棱中，与AB异面的棱有________条． 【答案】4 【解析】 【分析】根据异面直线的概念及几何图形判断可得； 【详解】解：如图所示，在正方体的12条棱中与异面的直线有、、、共4条； 故答案为：4 13. 设复数，满足，且，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】法一：设，，借助模长公式及复数加减运算法则计算即可得；法二：借助复数模长性质有，再利用模长公式计算即可得. 【详解】法一：设，，， 由，则， 则 ， 即，， 则 ， ， 即 ， 故， 又 ， 则 . 法二：由复数模长性质可得， 则 ， 故. 14. 如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则_____________（用，表示）；已知，，，则的最大值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：由是中点得到，由是中点得到，由是中点得到，将、代入可得.第二空：①将用表达；②求出后结合余弦定理和基本不等式求乘积的最大值，从而求得的最大值. 【详解】第一空： 是中点，故， 是中点，故， 是中点，故， 将、代入可得： ， ， ， ， . 第二空： 由，得：， ， ， 又，， 在中由余弦定理： ， 即， 即 ，即 ， 又， 将 与， ， 又， 解得 ，当且仅当时取等号， 则 ， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，与的夹角为． （1）求； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意得，， ， 则 ； 【小问2详解】 因为， 所以 ， 得 16. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知，，，且． （1）求原平面图形的面积； （2）将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜二测画法的规则还原平面图形，得到原图形为直角梯形，利用梯形面积公式求解. （2）旋转体的结构特征：该几何体为一个圆柱内部挖去一个同底的圆锥，分别计算圆柱底面积和侧面积、挖去的圆锥侧面积，这些面积之和即为所求. 【小问1详解】 如图所示，由斜二测的画法规则，得到原图形为直角梯形且，， ，，. 所以，. 【小问2详解】 将原平面图形绕旋转一周，所形成的几何体为一个圆柱内部挖去一个同底的圆锥，如图所示： 圆柱的底面半径为3，母线长为6；圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5. 则圆柱侧面积 ，圆柱底面积 ，圆锥侧面积 . 则几何体的表面积为. 17. 如图，在正四棱台中，，，为边上一点，且，为棱上的动点（含端点）． （1）求四棱台的体积； （2）在边上求一点，使得平面，并说明理由； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2）为边上满足的点，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到上下底面正方形的边长，再结合侧棱长求出正四棱台的高，最后代入棱台体积公式计算体积即可. （2）当时满足要求，先可证得 ，再结合线面平行的判定定理即可推出平面. （3）将侧面和侧面展开到同一平面内，根据两点之间线段最短，可知的最小值就是展开平面中线段的长度，用余弦定理即可计算得结果. 【小问1详解】 由题意可知，下底边长 ，上底边长， 上下底面均为正方形，故 ， ， 上下底面中心与同底面各顶点的距离差为： ，  设棱台高为，由勾股定理： ，得， 由棱台体积公式可得：  . 【小问2详解】 由，,可得 ， 因为且 ，故得，则， 如图，若在边上取点，满足 ，连接, 则因且,故得，则 , 故 ,又因不在平面内，平面,故得平面. 即在边上存在点满足 ，使得平面. 【小问3详解】 如图将平面沿展开，使平面与平面共面， 因为棱上的动点，的最小值即图中的线段之长. 因，，可得， 则，由余弦定理 ， 即​，故的最小值为. 18. 的内角A，B，C的对边分别为．已知，． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用平方差公式化简已知等式,结合三角形面积公式进行边角替换,再借助余弦定理把边的关系转化为角的正余弦关系式,通过三角恒等变形求出角,接着代入条件求出,结合三角形内角范围舍去不合理解,最终确定角的值. （2）由三角形面积公式结合已求角算出关系式,设正弦定理比值为参数,利用内角和与两角和正弦公式求出,用表示出后代入等式解出,进而求出三边边长,最后相加得到三角形周长. 【小问1详解】 由， 又 ，所以．即， 由余弦定理得 ，得，即 ． 因为，所以，所以，所以． 所以． 因此或（舍去），所以． 【小问2详解】 因为的面积为，所以． 所以① 由正弦定理设，因为. 所以． 所以， ， ． 代入①式，解得，所以，，． 所以的周长为． 19. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）若，． ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； （2）求的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由已知条件结合三角恒等变换化简得，得解； ②由正弦定理求得，再由求得答案； （2）由结合内角和定理可得，，将所求式子由正弦定理边化角结合二倍角公式化简得，令，利用函数单调性求解. 【小问1详解】 ①， ，即得， 又，所以，所以， 所以或，即或， 因为，所以，即，故， 因为，所以. ②由①得. 在中，由正弦定理，得， 因为，所以 所以， . 【小问2详解】 ，，， 、B、C为的内角，， 由正弦定理得 令， ， ， 在单调递增， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十八中学高2028届2025-2026学年（下）5月学情调研数学试题 考试说明：1．考试时间120分钟2．试题总分150分3．试卷页数2页 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若i是虚数单位，，则复数z的虚部是（ ） A. 1 B. i C. D. 2. 设有两条不同的直线，和两个不同的平面，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 在△ABC中，，，，则（ ） A. 12 B. 6 C. D. 4. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面说法中错误的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 图（2）中水面EFGH所在四边形的面积为定值 C. 棱始终与水面所在平面平行 D. 当容器倾斜如图（3）所示时，是定值 5. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 6. 点是所在平面内一点，若，则点的轨迹经过的（ ） A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 7. 云外楼（图1）是铁山坪森林公园的标志性建筑，位于山顶的云岭广场，登顶后可以俯瞰长江和铜锣峡的壮丽景色．我校某数学兴趣小组成员为测量云外楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则云外楼的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知都是复数，下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知向量，，则（ ） A. 与向量平行的单位向量为 B. 当时， C. 当时，向量在向量上的投影向量为 D. 若与夹角为锐角，则的取值范围为 11. 如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 若平面，则的轨迹长度为 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥的外接球体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 正方体的12条棱中，与AB异面的棱有________条． 13. 设复数，满足，且，则____________． 14. 如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则_____________（用，表示）；已知，，，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，与的夹角为． （1）求； （2）若，求实数的值． 16. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知，，，且． （1）求原平面图形的面积； （2）将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积． 17. 如图，在正四棱台中，，，为边上一点，且，为棱上的动点（含端点）． （1）求四棱台的体积； （2）在边上求一点，使得平面，并说明理由； （3）求的最小值． 18. 的内角A，B，C的对边分别为．已知，． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 19. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）若，． ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； （2）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $