湖南省长沙市2026届高三考前保温数学试卷（二）

**基本信息** 湖南省长沙市2026届高三考前保温数学试卷（二），以高考命题趋势为导向，通过基础题型与创新情境题结合，考查数学抽象、逻辑推理、数据观念等核心素养，适配高三模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量、数列、双曲线、函数单调性、不等式恒成立、概率|第8题结合“雨伞携带”生活情境，考查概率应用，体现数学语言表达现实世界| |多选题|3/18|立体几何位置关系、数列求和与性质、椭圆几何性质|第11题融入阿基米德椭圆面积史料，考查数学文化与几何直观| |填空题|3/15|二项式定理、球与旋转体、函数零点|第13题以正方形旋转为载体，综合空间想象与二面角计算，发展空间观念| |解答题|5/77|解三角形、导数应用、统计与正态分布、立体几何折叠、抛物线综合|第17题结合生产线质量监控，考查正态分布与数据处理，体现数据观念；第19题抛物线与圆综合，考查逻辑推理与创新意识|

湖南省长沙市2026届高三考前保温数学试卷（二） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知是虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知在平行四边形中，，，记，，则（   ） A． B． C． D． 4．正项数列中，，且，则的值为（ ） A． B． C． D．1或 5．已知双曲线的左右焦点分别为为右支上一点，的垂直平分线过点，线段与轴交于点，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 6．已知函数的定义域为，，且在上单调递增，记，，，则（   ） A． B． C． D． 7．不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线 C．与平行 D．直线与共面 10．设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．是等比数列 D．若，数列前n项和，则 11．伟大的古希腊哲学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的标准方程可以为 B．若，则 C．有且仅有一个点，使得 D．的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．二项式展开式中的第4项为___________． 13．边长为的正方形的顶点均在表面积为的球O的球面上，为正方形的中心，绕旋转，其顶点接触到球面时设为E，则二面角的大小为_____________. 14．设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(13分)在中，角所对的边分别为，且,,． (1)求； (2)求的面积． 16．(15分)已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值； (3)当时，讨论方程的实数解的个数. 17．(15分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并检测其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布． (1)假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望； (2)一天内检验零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （i）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95  10.12  9.96  9.96  10.01  9.92  9.98  10.04 10.26  9.91  10.13  10.02  9.22  10.04  10.05  9.95 经计算得，其中为抽取的第个零件的尺寸，． 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）． 附：若随机变量服从正态分布，则， ，． 18．(17分)如图，在等腰梯形ABCD中，，且，E是CD的中点．将沿AE折起到的位置． (1)若为棱上动点，是AE的中点，证明． (2)若平面平面ABCE，求二面角的余弦值． 19．(17分)在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点. (1)求抛物线的方程. (2)如图，分别以为直径作圆. （i）求圆的面积之和的最小值； （ii）当变化时，求圆的公切线的所有交点的运动轨迹的方程． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《湖南省长沙市2026届高三考前保温数学试卷（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B A C B C BD ACD 题号 11 答案 AD 1．C 【详解】集合，集合，则. 2．C 【详解】，. 3．D 【分析】根据向量加法计算，再由平行四边形对边相等得解. 【详解】因为在平行四边形中， 所以， 又因为， 所以. 故选：D 4．B 【详解】法一：由递推关系式可知，， 代入得：. 法二：不妨设， ，，， . 5．A 【分析】过M作MP垂直x轴，交x轴于点P，则，根据条件，可得，根据勾股定理，可得点M的坐标，代入双曲线方程，根据离心率公式，化简计算，即可得答案. 【详解】设焦距，因为的垂直平分线过点，所以， 因为，所以，则， 过M作MP垂直x轴，交x轴于点P，则， 所以，则，所以， 则，即， 因为点M在双曲线E上，所以， 因为离心率，所以， 则，整理得， 解得或（舍），所以. 故选：A 6．C 【分析】由题意可得,，结合和单调函数的定义可知在上单调递增，进而求解. 【详解】由，可得, 因为，，当且仅当时等号成立， 因为在上单调递增，所以 由题意知，， 所以， 当，则 由，在上单调递增， 得， 当，， 综上，， 所以. 故选：C 7．B 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 8．C 【分析】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”,对下雨的次数进行分类讨论，求出各种情况下，两天都不淋雨的概率，再结合对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，连续上两天班，上班、下班的次数共有次． （1）次均不下雨，概率为； （2）有次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为； （3）有次下雨但不淋雨，共种情况： ①同一天上下班均下雨； ②两天上班时下雨，下班时不下雨； ③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨， 概率为； （4）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，概率为； （5）次均下雨，概率为：； 两天都不淋雨的概率为， 所以至少有一天淋雨的概率为：， 故选：C． 9．BD 【分析】根据异面直线的概念结合正方体性质可判断AB；根据直线的平行的判定可判断C；利用四点共面可判断D. 【详解】对于A，三点在平面内，M点不在直线上， A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误； 对于B，三点在平面内，不在直线上， M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，取的中点E，连接，又N为的中点， 则有，， 所以四边形是平行四边形，所以， ，则与不平行，故C错误； 对于D，连接， 因为M，N分别为棱的中点， 所以， 由正方体的性质可知：， 所以，则有四点共面， 所以直线与共面，故D正确. 故选：BD. 10．ACD 【分析】根据关系及等比数列的定义求数列的通项公式，进而判断A、B、C，应用裂项相消法求判断D. 【详解】当时，，解得. 当时，， ，即， 数列是以首项为2，公比为2的等比数列，故. A，，正确； B，， ， ，错误； C，，则， 是以4为首项，2为公比的等比数列，正确； D，， ， ， ，正确. 11．AD 【分析】由椭圆的性质判断A；由定义结合余弦定理、三角形面积公式判断B；由余弦定理得出的最大角为钝角，从而判断C；由基本不等式判断D． 【详解】对于：由，解得， 则椭圆的标准方程为，故A正确； 对于B：由定义可知， 由余弦定理可得， ， 解得， 则，故B错误； 对于C：当点为短轴的一个端点时，最大， 此时为钝角， 则椭圆上存在四个不同的点，使得，故C错误； 对于D ， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确； 故选：AD． 12． 【分析】利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】二项式展开式的通项公式为，， 所以展开式的第4项为. 故答案为：. 13．120°或60° 【分析】先计算出AB边长及球的半径，作出二面角的平面角，解三角形，求的大小. 【详解】 如图示，取中点H，连接，，，由垂径定理得：，， 则即为二面角的平面角. 由球O的表面积为得:， ∵正方形的边长为，∴∴， ∴， ， ∴， ∴.∵，，∴，， 同理当E在下方时. 故答案为：60°或120°. 【点睛】求二面角的平面角的方法：①几何法：作出二面角的平面角，解三角形求出角的大小；②向量法：建立直角坐标系，用向量法计算. 14． 【分析】先作出图象，利用换元法，结合题意得到方程在内有两个不同的实数根，再利用二次函数根的分布得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】作出函数的图象，如图，    令，则方程化为， 要使关于的方程恰好有六个不同的实数解， 则方程有个不同的实数解，结合图象可知，此时， 则方程在内有两个不同的实数根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 15．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边角互化可求得，结合条件求出的正弦值，利用正弦定理即可求出的值； （2）利用和角的正弦公式求出的值，再由三角形的面积公式计算即得. 【详解】（1）由， 得， 因为，所以， 所以，则， 因为，所以， 由正弦定理，，因为， 则； （2）因为， 所以 ， 则. 16．(1)的减区间是，的增区间是 (2)极小值为，无极大值 (3)答案见解析 【分析】（1）根据导数的正负与函数单调性的关系进行求解即可； （2）根据极值的定义，结合导数的性质进行求解即可； （3）利用转化法，把方程问题转化为直线与曲线交点个数问题，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】（1）该函数的定义域为，， 令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以的减区间是，的增区间是； （2）由（1）知的减区间是，的增区间是， 所以当时，取得极小值，无极大值； （3）方程的实数解的问题转化为直线和函数的图象交点个数问题， 易知，，， 由（1）作出函数的大致图象，如图所示： 由图象知： 当或时，直线和函数的图象无交点，即方程无实根； 当时，直线和函数的图象有2个交点，即方程有2个实根； 当或时，直线和函数的图象有1个交点，即方程有1个实根； 综上所述： 当或时，方程无实根； 当时， 方程有2个实根； 当或时，方程有1个实根. 17．(1)，数学期望为0.0416； (2)（i）理由见解析；（ii）需检查；的估计值为10.02，的估计值为 【分析】（1）根据题意得出，即可求解； （2）（i）根据出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小即可说明理由；（ii）由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外,则需要检查；再根据公式分别计算和即可． 【详解】（1）抽取的一个零件的尺寸在之间的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故， 因此， 的数学期望为． （2）①如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026， 一天内的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的． ②由=9.97，，得的估计值，的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查． 剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为，因此的估计值为10.02， ．剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为， 因此的估计值为． 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据折叠前后的量，角度不变，得到，，从而得到平面，即平面，则. （2）先证明面，以为原点建立空间直角坐标系，通过求两个面的法向量的夹角计算二面角. 【详解】（1）证明：连接，如图所示． 因为，且， 所以四边形ABED和四边形ABCE均为菱形． 因为为AE的中点，所以，    因为为AE的中点，所以，   又平面，所以平面，   又因为，所以平面，     因为平面，所以． （2）因为平面平面ABCE，平面平面， 所以平面ABCE， 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，     设，则，    所以，．    设平面的法向量为， 则有 取，所以．    设平面的法向量为， 则有 取，所以．   设二面角的平面角为， 则， 又因为为钝角，所以， 故二面角的余弦值为． 19．(1) (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）根据题意求得抛物线的方程； （2）（i）根据圆的面积公式和直曲联立计算得到结果； （ii）根据直线的不同情况分类讨论，结合两圆的位置关系求得公切线的所有交点的轨迹方程； 【详解】（1）由题意知，，所以，所以抛物线的方程为. （2）（i）由题意知，圆的面积之和， 设直线的方程为， 联立整理得，所以， 又点， 所以 ， ， 令，则，则， 这是个图象开口向上的二次函数，在时单调递增， 所以时，. （ii）由题意知，圆外切，有一条内公切线和两条外公切线. 当时，直线的方程为， 此时圆的圆心横坐标均为4，半径均为2， 三条公切线分别为， 公切线的交点有两个：； 当时，内公切线为过点且与直线垂直的直线，直线的方程为. 设直线交于点，由对称性可知点在直线AB上， 圆的半径之比为， 又，所以， 记，上式化简得， 又， 代入，整理得， 因为，所以，即， 故点在直线上运动，又点不可能为原点， 所以点的轨迹方程为． 如图，设直线与的交点为，直线与的交点为，直线与轴交于点，    下面探究点和的轨迹． 易知， 故， 由直线的方程为，可得， 所以， 所以，即为PR的中点， 所以点的轨迹方程为. 由对称性可得， 所以点的轨迹方程为. 综上，圆的公切线的所有交点的运动轨迹是3条直线， 方程分别为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $