湖南长沙市南雅中学2026届高三下学期四月保温训练数学试卷

南雅中学2026届高三四月保温训练试卷 数 学 命题：高三数学备课组 审题：高三数学备课组 本试题卷分为单项选择题、多项选择题、填空题与解答题四个部分，共4页。时量120分钟， 满分150分。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。) 1.函数fx为定义在R上的奇函数，当x<0时，fx)=log2(6-x),则f(2)的值为() A.-3 B.- C.1 D.2 2.一袋中有大小相同的3个红球和2个白球.若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取 到红球”为事件A,“第二次取到白球”为事件B,则P(BA)=() A号 B月 c D.青 3.“2x-1≥3"是x-2 +1≥0“的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在C上.若0是坐标原点，|FPI=3,则OF.OP=() A.4 B.3 C.2 D.1 5.AI的横空出世让科技装上了新的引擎，促进了科技的高速发展。某实验室新型AI处理器的算力每月提 升10%，传统处理器的算力每月衰减5%.若初始二者算力相同，则当新型I处理器算力是传统处理器的2 倍时，大约需要经过() (参考数据：1g2≈0.3010，lg1.1≈0.0414,1g0.95≈-0.0223) A.4个月 B.5个月 C.6个月 D.7个月 6.(2x-1)+=ao+ax+a2x2+a3x3+a4xaol+lal+la21+la31+la4l=( A.82 B.80 C.81 D.27 7.双曲线 云F-1(a>0,b>0)的左右焦点为P,P2,过F,作一条浙近线的垂线，垂足为点M,垂线与另 一条渐近线相交于点N若M是线段F2N的中点，则双曲线的离心率为() A.2 B.3 C.3 D.2 第1页共4页 8.设方程e*+x+e=0和nr+x+e=0的根分别为P和q,函数f(x)=e+(p+q)x,则() A.f()<f()<f(2) B.f()<f()<f(2) c.f()<f(2)<f() D.f(2)<f(f)<f() 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9.下列说法正确的是() A.已知同=1，=2，则万（ā+2b)的最小值为6 B.在△ABC中，若AB.BC<0,则△ABC为钝角三角形 C若风=2，何-2.ā与5的夹角为公。则豆在5方向上的投影向餐为 D.已知向量a=(2,一1)，b=0,3),若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是3， 且1≠-6. 10、在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2 bcosA=ccosA+acosC,△ABC的外接 圆半径R=2,下列选项正确的是() AA-冒 B.若b=2,则△ABC为等腰三角形 C.bc的最大值为12 D.△ABC的周长最大值为6v3 11.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱 的高相等“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，O,O2为圆柱上下底面的圆心 O为球心，EF为底面圆O的一条直径，若球的半径r=2,则() A.球与圆柱的表面积之比为1：2 B.平面DBT截得球的截面面积最小值为兮π 16 .0 c.四面体CDzP的体积的取值范围为0， 321 D.若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE+PF的取值范围为[2+2V54V3 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。) 12.己知等比数列{an的前n项和为S,若S3=10,S6=90,则公比q=_ 13.若圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a的值等于 第2页共4页 14如图，圆周上有三点A,B,C,某质点从A处出发在各点间移动，每次移动都是等可能 地沿顺时针方向或逆时针方向到相邻的点.记移动2n(n∈N步后回到点A的概率为An, 则A1=一，An=-·(用n表示) 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分)已知函数f()=2 sinxsin(x+)-2 (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间： (2)将函数f(x)的图象向左平移匹个单位长度得到函数(x)的图象，若(x)在[0，a上恰有2个零点，求实 6 数a的取值范围. 16.(本小题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形， PA1平面ABCD.点E为棱PA上的动点，棱锥E一ABD外接球半径最大值为2. (1)求证：平面PAC1平面EBD: (2)当点E运动什么位置时，点C到平面EBD的距离为等？求出此时平面EBD与平面PCD A 的夹角的余弦值. D 17.(本小题满分15分)已知在平面直角坐标系xOy中，动点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和M到定直线 x=4的距离的比是常数 (1)求动点M的轨迹G的方程： (2)过点P(O,3)作斜率为k的直线与M的轨迹G相交于A,B两点，y轴上存在点Q使得直线QA与直线QB 的斜率之和为0. (i)求点Q的坐标： (i)求△ABQ的面积的最大值. 第3页共4页 18.(本小题满分17分)已知函数fx)=x+cosx-1,g(x)=eax,a∈R. (1)若曲线y=fx)在点(0,0)的切线也是曲线y=g(x)的切线，求a的值； (2)讨论函数()-巴的单调递减区间； x-11 (3)若(f'(x)-1)g(x)+x>0对任意x∈(0，+o)恒成立，求a的取值范围. 19.（本小思清分17分)在数列包}中，马-至ac0,习，且sia1=saco0sa1· (1)证明：数列 1 是等差数列； sin'a, (2)记b.=2log,（coa),数列{b}的前n项和为Sn,且cn=3”×4,数列{cn}的前n项的积为Tn,若Tn≥T 对n∈N恒成立，求正整数k的值； (3)证明：in41+sin4Sina2+-sina2o25sina42o26>ln2027. 第4页共4页南雅中学2026届高三四月保温训练试卷数学答案 2 3 4 5 6 7 P 9 10 11 A B B C B C 0 A AD ACD BCD 12.2 13.2 14分名)-1+号 1.函数fx)为定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=log2(6-x),则f(2)的值为() A.-3 B吉 C.1 D.2 【答案】A【解析】因为函数fx)为定义在R上的奇函数，当x<0时，fx)=Iog26-x),则f(-2)=log28=3, 故f2)=-fl-2)=-3. 故选：A. 2.一袋中有大小相同的3个红球和2个白球.若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取 到红球”为事件A,“第二次取到白球”为事件B,则P(BA)=() A号 B c. D 【答案】B【解析】P(BA)=总==. 3 故选：B. P(A) 3.“2x-1≥3"是x-2 0"的() x+1 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 x-2≥0 【答案】B【详解】解不等式2x-1≥3可得之2或x≤-1，其解集为0，-1小2，+o):解不等式x+1之0可 得≥2或x<1,其解集为0，-1[2，+o),显然（0-)[2+)是(0，-1小[2，+)的真子集，因此 x-2z0 2x-1≥3"是“x+1"的必要不充分条件。 4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在C上.若0是坐标原点，IFP|=3,则O下.OP=() A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C解：抛物线C:y2=4x的方程可得焦点为F1,0)准线方程为x=-1, 设P(xo,yo),由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，所以/FP/=xo+1=3,可得xo=2,则OF.OP= (1,0)·(2,yo=2,故选：C. 5.A1的横空出世让科技装上了新的引擎，促进了科技的高速发展。某实验室新型AI处理器的算力每月提 升10%，传统处理器的算力每月衰减5%.若初始二者算力相同，则当新型4I处理器算力是传统处理器的2 倍时，大约需要经过() (参考数据：lg2≈0.3010，lg1.1≈0.0414，lg0.95≈-0.0223) A.4个月 B.5个月 C.6个月 D.7个月 【答案】B【详解】设经过n个月，新型A1处理器算力是传统处理器的2倍，若初始算力均为P,则 P(1+0.1)”=2P(1-0.05)”,整理得 1.1) =2,两边取常用对数，得 0.95 1g2 0.3010 0.3010 n=1g111g0.95*0.0414-(-0.023)0063 ≈4.725，所以大约需要经过5个月. 6.(2x-1)4=ao +ax+a2x2+a3x3+ax aol lal+la21+la31+la4l=() A.82 B.80 C.81 D.27 试卷第1页，共8页 【答案】C 7.双曲线 正厅1(a0,b>0)的左右焦点为F,F2,过P2作一条渐近线的垂线，垂足为点M,垂线与另 一条渐近线相交于点N若M是线段F2N的中点，则双曲线的离心率为() A.√2 B.√5 C.3 D.2 【答案】D 8.设方程e+x+e=0和nx+x+e=0的根分别为P和q,函数f(x)=e+(p+q)x,则() A.f()<f()<f2) B.f()<f(3)<f(2) c.f)<f2)<f) D.f(2)<f()<f() 【详解】由e+x+e=0得e=-x-e,由lnr+x+e=0得lnx=-x-e,因为方程e+x+e=0的根为P,所 以函数y=e*与y=-x-e的图象交点P的横坐标为P,同理：函数y=lhx与y=-x-e的图象交点2的横坐 标为9，因为y=e与y=x互为反函数，所以两函数图象关于y=x对称，易知直线y=x与直线y=-x-e 互相垂直，所以P,Q两点关于直线y=x对称，即P,Q的中点M一定落在y=x,亦即点M为y=x与 y=-x-e的交点， e X=- V =x 联立 y=-x-e 解得 e y=-2 即 所以p+q=-e, 故f(x)=e+(p+qx=e*-x,则f'(x)=e-e,令'(x)>0,得x>l;令f'(x)<0,得x<l;所以f(x) 在(-0,1)上单调递减，在(L,+∞)上单调递增，即有f(2)>f(), 下面比较了)[)的大小关系，设g(创=f四-f2-,xeQ山，所以 g'(x)=f'(x)+f"(2-x)=e-e+e2-e=e+e2-2e>26+2r-2e=0,故g(x)在x∈(0,1)上递增， 88=0,即有得2引0，亦分)眉 故选：A 9.下列说法正确的是() A.己知=1,5=2，则6-(a+25)的最小值为6 B.在△ABC中，若AB.BC<0,则△ABC为钝角三角形 C若风-25，同=2，a与5的夹角为0，则五在5方向上的投影向量为5 D.己知向量1=(2，一1)，b=a,3》,若1与b的夹角为钝角，则的取值范围是3，且≠一6 【答案】AD【详解】对于A选项，因为=1，=2， 所以b.(a+b)=ā-6+2b2=cosa,6+25=2coa,6+8, 试卷第2页，共8页 又0≤a,b≤元，所以-1≤cosa,b≤1，所以b.(a+2b)=2cosa,b+8≥8-2=6， 当cos远，b=-1,即a,b反向共线时等号成立，故A正确： 对于B选项，由ABBC=A团：BC.cos(π-∠ABC, 又AB.BC<0,所以cos(π-∠ABC)<0,即元-∠ABC为钝角，所以∠ABC为锐角， 故不能判断VABC为钝角三角形，故B错误； 对于C选项，因为同=23，=2，a与5的夹角为 6 所以a在方方向上的投影向量为a.B乃 2W5x2xcos5π 心66=36，故C错误. 同 22 由<0，即21-30，解得k3,由/%得：6=一1，即1=一6.因此的取值范围是K3,且≠一6，D正确。 2 综上所述，选项AD都正确. 10、在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2 bcosA=ccosA+acosC,△ABC的外接 圆半径R=2,下列选项正确的是() AA-号 B.若b=2,则△ABC为等腰三角形 C.bc的最大值为12 D.△ABC的周长最大值为63 【答案】ACD 11.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球， 这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图 是一个圆柱容球，O,O,为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O的一 条直径，若球的半径r=2,则() A.球与圆柱的表面积之比为1：2 B.平面DEF截得球的截面面积最小值为16， C.四面体CDBP的体积的取值范围为0,2 ”3 D.若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE+PF最大值为4V3 【详解】BCD 由球的半径为”，可知圆柱的底面半径为？，圆柱的高为2r,则球表面积为4π2，圆柱的表面积 2 2π2+2xr2=62,所以球与圆柱的表面积之比为了，故A错误： 过0作0G1D0于G,则由题可得oG=!x2x4-25 F2×255 设O到平面DEF的距离为4，平面DEF截得球的截面圆的半径为h, 16 则d≤0G,r=Pd=4d之455，所以平面D8F截得球的截面面积最小值为；π，故B正确 试卷第3页，共8页 由题可知四面体CDEF的体积等于2V-ca,点E到平面DCO的距离d∈(0,2]，又 01 4k4=8,所以2乎m号1e0},故c正确： 由题可知点P在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P在底面的射影为P', 则Pp'=2,Pg=V22+P'g,Pr=V2+P'r,P'g2+p'r2=16,设t=Pg2,则t∈[0,42]，PE+PF=V2+t+V22+16-t, 所以(PE+PF2=（N22+i+2+16-1=24+22+1&+80=24+2(t-8)2+144e24+85,48],所 以PE+PF∈2+25,43，故D正确 故选：BCD 三、填空题 12.已知等比数列{am}的前n项和为S,若S3=10,S6=90,则公比q= 【答案】2 13.若圆x2+y2--2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a的值等于一： 【答案】由于圆x2+y2-ax-2y+1=0的圆心为M 圆x2+y2-4x+3=0的圆心为N(2,0),且直线x-y-1=0的斜率为1，由题意可知，点M、N关于直线 1一1 &.2 x-y-1=0对称，所以 2 ,解得a=2,此时圆x2+y2-ax-2y+1=0的方程为x2+y2-2x-2y+1=0, +21-1=0 、2 2 其标准方程为(x-1)+(y-1)=1,圆心为M(1,1),半径为1，符合题意故答案为：2 14如图，圆周上有三点A,B,C,某质点从A处出发在各点间移动，每次移动都是等可能地沿顺时针方向或 逆时针方向到相邻的点.记移动2n(nEN)步后回到点A的概率为An,则A1=一，A,=一·（用n表示） 【答案】A1表示移动2步后回到点A的概率，其包含两种情况： 顺时针逆时针各移动1步或逆时针顺时针各移动1步，所以41=()2+()2= 到达点B,C的概率分别为B,C,逆时针移动2步，则C1=× 设移动2n(n∈N*)步后回到点B的概率为Bn, 又A+1=[()2+()]An+(×2)Cm+(经×)Bn=A+1-A,),即A+1-号=4-) 因此4-是首项为后公比为的等比数列，所以An=()”-1+号 故答案为：)-1+。 试卷第4页，共8页 15.己知函数f)=2 sinxsin(x+写)-2 (1)求∫(x)的最小正周期和单调递增区间： 2)将函数f(x)的图象向左平移汇个单位长度得到函数(x)的图象，若(x)在0，a上恰有2个零点，求实 6 数a的取值范围. 【答案】(1)化简得f()=sin(2x-名)，3分 所以∫()的最小正周期为T=-2π=2 =兀，…4分 02 令-正+2m≤2x-亚s+2m,k∈Z,解得-亚+m≤x≤亚 +m,k∈Z, 2 62 6 所以f(x)的单调递增区间为- 6 (2)由题可知，h()=sin(2x+名)8分 当x∈[0，时，(2x+g)∈[g,2a+g1]10分 若y)在0，a上有2个零点，则2m≤2a+8<3m,即受≤a<竖12分 所以实数a的取值范围是[晋，臣).13分 16.(本小题满分15分)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形， PA1平面ABCD.点E为棱PA上的动点，棱锥E-ABD外接球半径最大值为2. (1)求证：平面PAC1平面EBD; (2)当点E运动什么位置时，点C到平面EBD的距离为2？求出此时平面EBD与平面 PCD的夹角的余弦值 解析：(1)因为底面ABCD是正方形，所以AC LBD,又PAL平面ABCD,可得PALBD, D 所以BDL平面PAC,又因为BDC平面EBD,所以平面PAC⊥平面EBD. (2)易知E与点P重合时，三棱锥E一ABD的外接球半径达到最大，此时PC=4,求得PA=2√2.以A为原 点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则B(200)、C(220)、D(020). 设E(00t),平面EBD的法向量为.向量EB=(20-t),ED=(02-t). 设而=小山西亚=0和而面=0，得：效经二0 令21=2，所以元=(2).点C(220)到平面EBD的距离d=园画，其中EC=(22,-t). xl 计算得：d=斜==9，两边平方得2-青，解得t=2t>0),所以(002） Vt2+t2+4 V2t2+4 2 由t=2,得=(222)，可简化为=(111). 试卷第5页，共8页 向量P元=(22-2W2,PD=(02-2W2）.设2=(x2y2z2), 由P元=0和历=0，得：2+222=0令，=1，则2=V2,k=0,所以=(0v24） 2y2-2V2z2=0 设平面EBD与平面PCD的夹角为0，则：c0s0=m码=+=2+1 Inil2l V3-V3 3 17、已知在平面直角坐标系xOy中，动点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和M到定直线x=4的距离的比是常 (1)求动点M的轨迹G的方程： (2)过点P(0O,3)作斜率为k的直线与M的轨迹G相交于A,B两点，y轴上存在点Q使得直线OA与直线OB 的斜率之和为0. (i)求点Q的坐标： (i)求△ABQ的面积的最大值. 【详解】(1)兰+号-1. (2)设直线AB的方程为y=+3, 设点A,B的坐标分别为(，)，(x2,y2),点Q的坐标为(0，心)，如下图所示： 0 (i)联立方程 43-消去y后整理为(4k2+3)x2+24x+24=0,有 B y=k你+3 △=(24-4x244+3)>0,可得>6或k<-5,又有5+= 24k 24 2 2 42+3’ 42+3,可得 =-,直线01的斜率为m_红3-”=+3，同理可得直线28的斜率为+3-加 XX2 又由直线O1与直线QB的斜率之和为0，有2让+3-m+3-m=0,可化为2k+3-0儿+-0，有 X, XX2 2k-k(3-m)=0,有k(m-1)=0,由k的任意性可得m=1,故点Q的坐标为(0,1)： (i）8soa=8e-8e=×Pex-=k,-x-V+-4:= 24k -4x24-4V6(22-3 4k2+3 4k2+34k2+3 46t 46t4v64v6_25 令V2-3=t>0),可得2k=+3,所以502C+3列+32严+9 ,9 93 2+22× 当H仅当f-号等号成立.到k=+变，收△10的白积的最人伯为 2 3 试卷第6页，共8页 18.(本小题满分17分)己知函数fx)=x+cosx-1,gx)=e,a∈R. (1)若曲线y=fx)在点(O,0的切线也是曲线y=gx)的切线，求a的值， 2讨论函数W-的单调性， 3)若(f(x)-1)g(x)+x>0对任意x∈(0，+∞恒成立，求a的取值范围. 【答案】解：(1f'x)=1-sinx,k=fo)=1, ∴.fx在点O(O,0)处的切线方程为y=x. 设y=x与y=gx切于P(xo,eao),gx)=aear,k=aeao, .faearo=1 leaxo=x0' 解得a=总 ②w=名定义越-w小），=e (x-12 a=0,h(x)<0,h(x)在(-o,l)和(1，tm)单调递减 a>0.xc(m1221()<0.xea2()0. 所以h)在(-a)利12。)单调隐减xe。,净调避 a<0x(w()-0.xe(pt-)大0 a 所以4侧一告）单运塔（会〕L)单壁波 (3)由(f(x)-1)g(x)+x>0可得eaxsinx<x,即esinx--x<0对vx∈(0，+∞J恒成立， F(x)=eaxsinx-x,Fx)=aeaxsinx+eaxcosx-1=eax(asinx+cosx-e-ax), 令p(x=asinx+cosx-eax,得p'x)=acosx-sinx+ae-ax，p'(0)=2a, 若a>0,存在m∈(O,+∞使得在区间(0，m)上，px)>0,即函数p(x)在区间0，m)递增， 则p(x)>pO)=0,则F'x在区间O,m上递增，即Fx)>FO)=0,不合题意， 所以a≤0，可得e<1令Gx)=sinx-云≤sinx-x<0,(易证明sinx-x<0)“Fx)<0恒成立，符合， 综上：a的取值范围为(-o,0]. =4,4e0, 19.在数列{a}中，4=元， 2 且sina+1=snan·c0san+ (1)证明：数列 1 是等差数列： sin'a, (2)记bn=2log2(cosa,),数列b}的前n项和为Sn,且cn=3”×4,数列{c}的前n项的积为T.,若Tn≥T 对neN恒成立，求正整数k的值； (3)证明：sina+sin4sina,+-in4,o2 s sina26>ln2027. 试卷第7页，共8页 【详解】（1)己知sina,+1=sind·cosa+1,两边平方得：Sin2an+1=inan,(1-sin2aa+), 1 11, sin'd sin'd. 1 2 因此， sin'a, 是公差为1，首项为sin'a 的等差数列. 2 2)由a得a=+1ma=又a引ca>0,所以a=码 1 log.1og,-log,(+1)5=(log,1-log,2)+(log,2-1og 3)++(log n-log+1)--log,(n Cn=3”×41= m十2)，可分析求得c,}单调递增，且0<G<G,<1<G, 3” 故满足Tn≥T,对eN恒成立，正整数k的值为2. 1 2061 (3)由（1)得sina.= Fn+,左边和式为：sna+sind sin4,+sii6=j 台Vn+1)1 放缩通项：需证刀 ha+)-hn,令1-是则不等式化为千>h+0), n(n+1) 物0后山+小80-0求导将：s的-2品严 t 令a0)-21-27ho)-0,h0-1>0~0撇0 g'(t)>0,g(t)递增，g(t)>0,不等式成立，故 1>n(n+1）-n n(n+1) 2026 1 求和： >1n2027. 台√n(n+1) 试卷第8页，共8页