第02讲 常用逻辑用语 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦常用逻辑用语核心考点，涵盖充分必要条件判定、含量词命题的否定与真假判断等高考高频内容，按概念梳理-题型突破-应用拓展的逻辑架构组织知识点，通过基础回顾夯实概念、题型精讲提炼方法、课时精练强化应用，系统帮助学生构建逻辑用语知识网络。 讲义创新采用集合关系转化条件判定、“改变量词否定结论”规律破解命题否定等策略，结合模拟真题分层训练（单选、多选、解答），培养学生逻辑推理与符号表达能力，助力高效突破考点难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用教学支撑。

第02讲 常用逻辑用语 题型一 充分、必要条件的判定 2 题型二 已知充分、必要条件求参 3 题型三 含量词的命题的否定 4 题型四 含量词的命题的真假判断 6 题型五 含量词的命题的应用 8 课时精练 9 【基础回顾】 知识点1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 知识点2.全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“∀”表示。 （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“∃”表示。 知识点3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立 简记 ∀x∈M, p(x) ∃x∈M, p(x) 否定 ∃x∈M,¬p(x) ∀x∈M,¬p(x) 【必备知识】 1.充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}。 （1）若p是q的充分条件，则A⊆B； （2）若p是q的充分不必要条件，则A⫋B； （3）若p是q的必要不充分条件，则B⫌A； （4）若p是q的充要条件，则A＝B. 2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”。 3.命题p与p的否定的真假性相反。 题型一 充分、必要条件的判定 充分、必要条件的三种判定方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断。 （2）集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断，小集合⇒大集合。 （3）等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止。 【例题精讲】 1．（2026·山东泰安·模拟预测）若，下列选项中，使成立的充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·重庆·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·辽宁沈阳·三模）命题“ ”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆渝中·模拟预测）对于实数、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·天津河东·二模）已知，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．（2026·河北衡水·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （多选）8．（2026·河北雄安·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则“”是“”的充要条件 C．的最小值为3 D．若，则 （多选）9．（2026·江西宜春·模拟预测）用表示不超过的最大整数，则（    ） A． B．是的充分不必要条件 C．函数的值域为 D．方程的解集为 （多选）10．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若，则成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 题型二 已知充分、必要条件求参 求参数问题的解题策略 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解。 （2）要注意区间端点值的检验。 【例题精讲】 1．（2026·重庆·模拟预测）已知：，：，若是的既不充分又不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·福建·月考）已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．3 3．（25-26高一上·天津·月考）已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·天津·一轮复习）已知集合，．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25高三上·河北邯郸·月考）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·安徽滁州·月考）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 7．（22-23高三上·河南安阳·月考）若“”是“”的必要不充分条件，则实数（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 （多选）8．（2026·云南昆明·模拟预测）若“”是“”的充分不必要条件，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C． D．2 题型三 含量词的命题的否定 全称命题的否定（∀→∃，并否定结论） 原命题：∀x∈M，P（x）（所有x属于M，都满足P(x）） 否定命题：∃x∈M，¬P（x）（存在x属于M，不满足P(x）） 存在命题的否定（∃→∀，并否定结论） 原命题：∃x∈M，P（x）（存在x属于M，满足P(x）） 否定命题：∀x∈M，¬P（x）（所有x属于M，都不满足P(x）） 【例题精讲】 1．（2026·浙江温州·二模）已知命题，，那么为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知命题，；命题，.则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 3．（2026·陕西咸阳·三模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·天津和平·二模）命题“，，使得”的否定是（   ） A．，，使得 B．，，使得 C．，，使得 D．，，使得 5．（2026·广西南宁·三模）下列命题为真命题的是（   ） A．命题，，则命题p的否定是：， B．“”是“”的充分不必要条件 C．方程的两根都大于1的充要条件是 D．是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件 6．（25-26高二下·陕西西安·期中）命题，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（25-26高三上·浙江金华·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， （多选）8．（25-26高一上·湖南常德·期末）下列说法正确的有（    ） A．对任意实数都有 B．若，则 C．当时，的最小值是2 D．若，则 （多选）9．（2026·河南南阳·模拟预测）（多选题）下列结论正确的有（   ） A．， B．“，”是假命题 C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D．“，”的否定是“，” （多选）10．（2025·四川泸州·一模）下列命题正确的有（   ） A．与表示同一函数 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题“”的否定为“” D．若，则 题型四 含量词的命题的真假判断 一、全称命题（∀x∈M，P (x））的真假判断 定义：命题 “对所有 x 属于 M，P (x) 成立”。 判断方法： 为真：需证明论域 M 中的每一个元素 x都满足 P （x）。 为假：只需找到至少一个反例（即存在 x∈M，使得 P (x) 不成立）。 二、存在命题（∃x∈M，P (x））的真假判断 定义：命题 “存在 x 属于 M，使得 P (x) 成立”。 判断方法： 为真：只需找到至少一个实例（即存在 x∈M，使得 P (x) 成立）。 为假：需证明论域 M 中没有任何元素 x满足 P （x）（即∀x∈M，¬P (x) 为真）。 【例题精讲】 1．（2026·陕西铜川·一模）下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（    ） A． B． C．任何实数都有算术平方根 D．任意两个无理数之和仍为无理数 2．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知命题，则命题的真假以及否定分别为（   ） A．真， B．真， C．假， D．假， 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知命题，则，命题，，则（   ） A．和都是假命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．和都是真命题 4．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知命题，；命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 5．（2026·四川巴中·一模）下列命题中为真命题的是（    ）． A．， B．， C．， D．， 6．（2026·河北·一模）已知命题，命题，则（    ） A．p和q都是假命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p和q都是真命题 7．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高三·全国·一轮复习）下面四个命题错误的是（　　） A．，恒成立 B．， C．， D．， （多选）9．（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知命题：平行四边形的对角线相等，，则（    ） A．是存在量词命题 B．是存在量词命题 C．：有些平行四边形的对角线不相等 D．是真命题 （多选）10．（25-26高三上·广东梅州·期中）设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论正确的是（    ） A．若是集，则或 B．若集合是集，集合是非空数集，则是集 C．若集合是集，集合，则为集 D．，且，使得是集 题型五 含量词的命题的应用 含量词命题的解题策略 （1）判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可。当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假。 （2）由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围。 【例题精讲】 1．（25-26高三上·北京·月考）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·云南大理·月考）命题：“，都有一元二次不等式”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津河东·月考）已知命题: “，”，若命题是真命题，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东江门·模拟预测）若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·云南·开学考试）若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江西赣州·期末）使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一上·吉林长春·专题练习）命题：“，”为假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_____________ 9．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）若“”为真命题，则实数的取值范围是______. 10．（2026·青海西宁·二模）已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏淮安·月考）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高二下·贵州遵义·月考）命题“，”的否定形式是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2026·天津河东·一模）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（    ） A．菱形是矩形 B．存在一个菱形，它是矩形 C．存在菱形不是矩形 D．存在是菱形的矩形 4．（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题为假命题的是（　　） A．有些实数是无限不循环小数 B．每一个末位是0的整数都是5的倍数 C．至少有一个整数，使是4的倍数 D．对任意负数，的平方是正数 5．（25-26高三上·新疆·月考）已知p：，；q：，，则（   ） A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，是真命题 C．是真命题，q是真命题 D．是真命题，是真命题 6．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 8．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知命题，命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 二、多选题 （多选）9．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）下列命题中，正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题 C．“，”是假命题 D．“”是“”的必要不充分条件 （多选）10．（25-26高二上·江西宜春·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为 B．不等式的解集为 C．若，，，则 D．当时，的最小值是 （多选）11．（25-26高一下·湖南长沙·期末）以下四个命题中，是真命题的是（   ） A． B．存在整数x，y，使得 C．，二次函数的图像都关于轴对称 D．若命题，则的否定为： 三、填空题 12．（25-26高一上·山东德州·期末）若“，”是真命题，则的取值范围是__________ 13．（25-26高一上·河南许昌·期末）若命题“，”为真命题，则实数的一个值为________． 14．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）若“，”为假命题，则的取值范围为______. 四、解答题 15．（25-26高一上·福建宁德·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 16．（25-26高一上·四川南充·期中）（1）已知命题：存在实数，使成立.若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）已知命题：任意实数，使恒成立.若命题是假命题，求实数的取值范围. 17．（25-26高一上·湖南·期中）已知命题，，命题，． (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 18．（25-26高一下·湖北恩施·开学考试）设，. (1)解关于x的不等式； (2)设命题p：，，若为真命题，求a的取值范围. 19．（25-26高一上·河北承德·期末）设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 常用逻辑用语 题型一 充分、必要条件的判定 2 题型二 已知充分、必要条件求参 6 题型三 含量词的命题的否定 10 题型四 含量词的命题的真假判断 13 题型五 含量词的命题的应用 18 课时精练 21 【基础回顾】 知识点1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 知识点2.全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“∀”表示。 （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“∃”表示。 知识点3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立 简记 ∀x∈M, p(x) ∃x∈M, p(x) 否定 ∃x∈M,¬p(x) ∀x∈M,¬p(x) 【必备知识】 1.充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}。 （1）若p是q的充分条件，则A⊆B； （2）若p是q的充分不必要条件，则A⫋B； （3）若p是q的必要不充分条件，则B⫌A； （4）若p是q的充要条件，则A＝B. 2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”。 3.命题p与p的否定的真假性相反。 题型一 充分、必要条件的判定 充分、必要条件的三种判定方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断。 （2）集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断，小集合⇒大集合。 （3）等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止。 【例题精讲】 1．（2026·山东泰安·模拟预测）若，下列选项中，使成立的充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解不等式，得， 则不等式的解集为， 记使不等式成立的充分不必要条件为集合， 则集合为集合的真子集， 所以集合. 2．（2026·江苏·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由且在上单调递增，， 若，则， 由且在上单调递减，， 若，则， 显然可推出，反之不一定成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 3．（2026·重庆·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式，利用集合之间的包含关系，充分条件、必要条件的概念即可得解 【详解】因为，所以，解得， 由， 因为是的真子集， 所以是成立的充分不必要条件. 4．（2026·辽宁沈阳·三模）命题“ ”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式等价于，解得. 找充分不必要条件，即找集合的真子集，仅 C选项是原解集真子集. 5．（2026·重庆渝中·模拟预测）对于实数、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当，时，满足，但，所以”推不出“，充分性不成立， 因为，所以，又因为，所以，即 “能推出“”，必要性成立， 综上“”是“”的必要不充分条件. 6．（2026·天津河东·二模）已知，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】先解出不等式，再根据集合间的关系，即可得答案． 【详解】或，解得或， ，解得或， 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件． 7．（2026·河北衡水·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先由对数函数和幂函数的单调性得到a和b的关系，即可判断出答案. 【详解】因为在定义域上是单调递增函数， 所以由等价于， 由可知且， 又因为函数在上是单调递减函数， 所以等价于， 因此，“”是“”的充要条件. （多选）8．（2026·河北雄安·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则“”是“”的充要条件 C．的最小值为3 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用存在量词命题的定义判断A；利用充要条件的定义判断B；利用基本不等式求出最小值判断C；利用不等式的性质判断D. 【详解】对于A，解不等式，得，因此，A正确； 对于B，当时，或，即能推出，但不能推出， 因此“”是“”的充分不必要条件，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，因此的最小值为3，C正确； 对于D，，当时，，D错误. （多选）9．（2026·江西宜春·模拟预测）用表示不超过的最大整数，则（    ） A． B．是的充分不必要条件 C．函数的值域为 D．方程的解集为 【答案】BCD 【分析】根据函数的新定义逐项分析即可. 【详解】对于A，当不是整数时，如，则有，不满足，故A错误； 对于B，若，则有，区间长度小于，因此，因此充分性成立， 若，不妨令，此时有，但，，因此必要性不成立， 即是的充分不必要条件，故B正确； 对于C，由于，，不妨设，由于，从而， 因此函数变为， 当时，，此时，，， 当时，， 当时，，此时，，， 因此，函数的值域为，故C正确. 对于D，方程可变为，根据取整函数的性质有， 代入得，即，解得， 又因为必须是整数，不妨设，则，同时， 因为，因此的可能取值为， 当时，，当时，，舍去，当时，，符合条件； 当时，，当时，，符合条件，当时，，舍去； 当时，，当时，，符合条件，当时，，舍去； 因此方程的解集为，故D正确. （多选）10．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若，则成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合充分条件、必要条件的定义，由函数单调性和举反例进行判断，得到结论 【详解】A选项，若，则， 若，则，若，则，所以，充分性成立， 若，不妨设，但不满足，必要性不成立，A正确； B选项，若，不妨设，此时，充分性不成立，B错误； C选项，若，则，充分性成立， 当时，无意义，必要性不成立，C正确； D选项，若，则，当时，， 故为成立的充分必要条件，D错误. 题型二 已知充分、必要条件求参 求参数问题的解题策略 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解。 （2）要注意区间端点值的检验。 【例题精讲】 1．（2026·重庆·模拟预测）已知：，：，若是的既不充分又不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解，得， 因为是的既不充分又不必要条件，所以和互不包含， 所以，所以的取值范围是. 2．（25-26高三上·福建·月考）已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【分析】首先解一元二次方程求出集合，从而求出，依题意可得真包含于，即可求出的取值范围，从而得解. 【详解】由，即，解得， 所以， 则， 又，“”是“”的充分不必要条件， 所以真包含于， 所以，结合选项可知D正确. 故选：D 3．（25-26高一上·天津·月考）已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知集合是集合的真子集，根据包含关系即可得结果. 【详解】因为条件，即为，条件， 若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则，所以实数的取值范围为. 故选：D. 4．（25-26高三·天津·一轮复习）已知集合，．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式可得，即可写出，由题意知且，即可根据集合之间的关系求得m. 【详解】由，即，故． “”是“”的必要不充分条件且． 由且，结合， 故. 故选：C 5．（24-25高三上·河北邯郸·月考）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意，是的子集，利用子集思想求解即可. 【详解】是的必要不充分条件，则是的子集， 又因为，或，所以. 故选：C. 6．（22-23高一上·安徽滁州·月考）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】求得不等式的解，由已知可得（两个等号不能同时成立），求解即可. 【详解】因为，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以（两个等号不能同时成立），解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 7．（22-23高三上·河南安阳·月考）若“”是“”的必要不充分条件，则实数（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】解方程得或-3，再将“”是“”的必要不充分条件转化为且，然后根据集合间的包含关系求即可. 【详解】解的或-3，设集合，方程的解集为集合，则且，所以或， 当时，，所以； 当时，不成立； 故选：B. （多选）8．（2026·云南昆明·模拟预测）若“”是“”的充分不必要条件，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】BC 【分析】应用二倍角公式结合充分不必要条件定义计算求解. 【详解】当 时，，则，得， 所以，则“”是“”的充分必要条件，A不正确； 当 时，，则，得，所以， 当，则，得， 所以或，则不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，B正确； 当 时，，则，得，所以， 当，则，得， 所以或，则不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 当时，由，即不成立， 且时有，显然不成立， 所以“”不是“”的充分不必要条件，D不正确； 题型三 含量词的命题的否定 全称命题的否定（∀→∃，并否定结论） 原命题：∀x∈M，P（x）（所有x属于M，都满足P(x）） 否定命题：∃x∈M，¬P（x）（存在x属于M，不满足P(x）） 存在命题的否定（∃→∀，并否定结论） 原命题：∃x∈M，P（x）（存在x属于M，满足P(x）） 否定命题：∀x∈M，¬P（x）（所有x属于M，都不满足P(x）） 【例题精讲】 1．（2026·浙江温州·二模）已知命题，，那么为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题，，是存在量词命题， 其否定是全称量词命题，注意到要否定结论， 所以为，. 2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知命题，；命题，.则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】因为当时，，所以命题为假命题，所以是真命题， 因为当时，，所以q是真命题，所以是假命题. 3．（2026·陕西咸阳·三模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定， 故“”的否定为：. 4．（2026·天津和平·二模）命题“，，使得”的否定是（   ） A．，，使得 B．，，使得 C．，，使得 D．，，使得 【答案】C 【详解】命题“，，使得”的否定是“，，使得”. 5．（2026·广西南宁·三模）下列命题为真命题的是（   ） A．命题，，则命题p的否定是：， B．“”是“”的充分不必要条件 C．方程的两根都大于1的充要条件是 D．是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件 【答案】B 【分析】对于A，根据全称量词的命题的否定要求判断；对于B，利用不等式的性质与举反例说明即可；对于C，利用三个二次的关系，数形结合列不等式求解即可判断；对于D，根据参数的取值分类讨论，并结合图像列不等式求解即得. 【详解】对于A，因含全称量词的命题的否定需要改变量词，否定结论， 故命题，的否定是：，，故A错误； 对于B，由可得；但时，满足，却得不到， 故“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，设，则方程的两根都大于1等价于： ，解得，故C错误； 对于D，对于x的不等式，当时，不等式恒成立， 当时，不等式对一切实数x恒成立等价于，解得. 综上可得，是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件，故D错误. 6．（25-26高二下·陕西西安·期中）命题，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题，的否定是：，. 7．（25-26高三上·浙江金华·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】命题“，”为存在量词命题， 其否定为：，. （多选）8．（25-26高一上·湖南常德·期末）下列说法正确的有（    ） A．对任意实数都有 B．若，则 C．当时，的最小值是2 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据绝对值的概念可判断A的真假；利用不等式的基本性质可判断B的真假；利用基本不等式可判断C的真假；根据特称量词命题否定是全称量词命题可判断D的真假. 【详解】对于A：绝对值大于等于0恒成立，故A正确； 对于B：由，由同向不等式可加性有，即，故B正确； 对于C：因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以C错误； 对于D：由特称量词命题的否定是全称量词命题，所以得，故D错误. 故选：AB （多选）9．（2026·河南南阳·模拟预测）（多选题）下列结论正确的有（   ） A．， B．“，”是假命题 C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D．“，”的否定是“，” 【答案】AB 【分析】由全称量词、存在量词命题的定义及真假逐个判断选项. 【详解】选项A：将不等式变形：，配方得：， 对所有实数恒成立，因此选项A正确； 选项B：由绝对值的非负性，， 因此，不可能小于0，因此选项B正确； 选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”， 是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C错误； 选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变的取值范围，因此选项D错误. 故选：AB. （多选）10．（2025·四川泸州·一模）下列命题正确的有（   ） A．与表示同一函数 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题“”的否定为“” D．若，则 【答案】BD 【分析】对于A，与定义域不同，故不是同一函数，得到答案； 对于B，根据充分不必要条件定义和不等式关系，即可判定真假； 对于C，根据含全称量词的命题的否定直接求解即可判定真假； 对于D，先求出，然后再求，即可对D项判断. 【详解】对于A，与定义域不同，故不是同一函数，故A错误； 对于B，，则有，但，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件，故正确； 对于C，由含全称量词命题的否定知，命题“，”的否定是“，”，故C错误； 对于D：，，故D项正确； 故选：BD. 题型四 含量词的命题的真假判断 一、全称命题（∀x∈M，P (x））的真假判断 定义：命题 “对所有 x 属于 M，P (x) 成立”。 判断方法： 为真：需证明论域 M 中的每一个元素 x都满足 P （x）。 为假：只需找到至少一个反例（即存在 x∈M，使得 P (x) 不成立）。 二、存在命题（∃x∈M，P (x））的真假判断 定义：命题 “存在 x 属于 M，使得 P (x) 成立”。 判断方法： 为真：只需找到至少一个实例（即存在 x∈M，使得 P (x) 成立）。 为假：需证明论域 M 中没有任何元素 x满足 P （x）（即∀x∈M，¬P (x) 为真）。 【例题精讲】 1．（2026·陕西铜川·一模）下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（    ） A． B． C．任何实数都有算术平方根 D．任意两个无理数之和仍为无理数 【答案】A 【分析】对于A，含有全称量词，再根据指数函数的值域即可判断；对于B，不含有全称量词，故可判断；对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断；对于D，含有全称量词，举例说明即可判断. 【详解】对于A，含有全称量词，而，所以，故A正确； 对于B，不含有全称量词，故B错误； 对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断，故C错误； 对于D，含有全称量词，是无理数，而，而是有理数，故D错误. 故选：A 2．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知命题，则命题的真假以及否定分别为（   ） A．真， B．真， C．假， D．假， 【答案】B 【分析】根据命题的真假判断即可. 【详解】，故命题为真． 又，． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知命题，则，命题，，则（   ） A．和都是假命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】对于命题，当时，，所以为假命题； 对于命题，解不等式，得，所以为真命题． 4．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知命题，；命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】当时，不成立，所以命题是假命题，是真命题； 根据指数函数和对数函数的图像可知，函数与在上有一个交点， 则，，即命题是真命题，是假命题. 5．（2026·四川巴中·一模）下列命题中为真命题的是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】对四个选项进行一一分析，即可求得答案. 【详解】对于A：,都有，所以，故不存在使得成立，所以是假命题，故A错误. 对于B：当时，，所以是假命题，故B错误. 对于C：，为非负整数，且自然数集包含所有非负整数，故该命题是真命题，故C正确. 对于D：，，故不存在，所以是假命题，故D错误. 故选：C 6．（2026·河北·一模）已知命题，命题，则（    ） A．p和q都是假命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p和q都是真命题 【答案】C 【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法确定给定命题真假即可. 【详解】命题是全称量词命题，当时，，所以是假命题； 命题是存在量词命题，当时，，所以是真命题. 故选：C 7．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题意说明：“，恒成立”是真命题，然后对分类讨论可得. 【详解】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题， 时，不等式为恒成立，满足题意， 时，则，解得， 综上，的范围是. （多选）8．（25-26高三·全国·一轮复习）下面四个命题错误的是（　　） A．，恒成立 B．， C．， D．， 【答案】ABC 【分析】判断全称量词命题和存在量词命题的真假. 【详解】对A：由 或. 所以命题“，恒成立”为假命题； 对B：由 或，所以为无理数，故“，”为假命题； 对C：对，，所以方程无解，故命题“，”为假命题； 对D：因为 ，恒成立，所以命题“，”为真命题. 故选：ABC （多选）9．（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知命题：平行四边形的对角线相等，，则（    ） A．是存在量词命题 B．是存在量词命题 C．：有些平行四边形的对角线不相等 D．是真命题 【答案】BCD 【分析】根据存在量词命题和全称量词命题的概念可判断ABC；利用零点存在性定理可判断D. 【详解】“平行四边形的对角线相等”的意思为“所有的平行四边形的对角线都相等”， 故命题为全称量词命题，其否定为“有些平行四边形的对角线不相等”，故A错，C对； 由存在量词命题的形式可知，为存在量词命题，B对； 记，因为，， 由零点存在性定理可知，在区间内有零点， 即，D对. 故选：BCD （多选）10．（25-26高三上·广东梅州·期中）设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论正确的是（    ） A．若是集，则或 B．若集合是集，集合是非空数集，则是集 C．若集合是集，集合，则为集 D．，且，使得是集 【答案】ACD 【分析】根据集的定义求出，即可判断A，举反例判断B，根据集的定义判断C、D. 【详解】对于A：由集的定义及已知得，，或，或， 解得或（舍去），故A正确； 对于B：若取，则，，显然不符合集的定义，故B错误； 对于C：由是集，所以存在（两两不等），使得， 因为中的元素个数不小于，所以且，使得， 且两两不等，由，得，所以为集，故C正确； 对于D：设， 取， 满足（两两不等），存在, 是集，故D正确. 故选：ACD. 题型五 含量词的命题的应用 含量词命题的解题策略 （1）判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可。当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假。 （2）由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围。 【例题精讲】 1．（25-26高三上·北京·月考）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 2．（25-26高一上·云南大理·月考）命题：“，都有一元二次不等式”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解集的形式求的取值范围. 【详解】因为一元二次不等式的解集为， 所以 . 故选：A 3．（25-26高一上·天津河东·月考）已知命题: “，”，若命题是真命题，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】命题是真命题等价于，再利用对勾函数求出函数的最大值即得解. 【详解】当时，不等式可化为， 所以，，等价于， 函数，在单调递减，在单调递增， 又当时，，当时，， 所以， 所以， 故选：A 4．（2025·广东江门·模拟预测）若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】得到命题的否定后结合根的判别式计算即可得. 【详解】命题“”的否定是“”， 则“”是真命题， 则有，解得. 故选：C. 5．（25-26高一下·云南·开学考试）若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为“，”为真命题，结合二次函数性质列不等式可得结论. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 则，解得， 即的取值范围是． 6．（25-26高一上·江西赣州·期末）使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据命题是假命题可得命题是真命题，从而可得，再根据包含关系可得. 【详解】因为命题“”为假命题， 所以命题“”为真命题，所以. 所以的一个必要不充分条件. 故选：A 7．（2025高一上·吉林长春·专题练习）命题：“，”为假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“命题与命题真假性相反”，可以把原问题转化成恒成立问题，然后分类讨论可得答案. 【详解】“，”为假命题， 等价于“，”为真命题. 当时，，成立； 当时，需满足， 解得； 综上：. 故选：A 8．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_____________ 【答案】或 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和命题的否定的真假关系即可求解. 【详解】由已知命题“存在，使得等式成立”是假命题， 等价于“任意，使得等式成立”是真命题， 又因为，所以，要使，则需或. 所以实数的取值范围为或. 故答案为：或 9．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）若“”为真命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据特称命题证明方法，构造函数，根据定义域，对函数解析式进行参变分离，求出参数范围. 【详解】设， ，即，在上有解， 则，由变形得， 当时，，根据有解，得. 故答案为：. 10．（2026·青海西宁·二模）已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据题意，分、两种情况，结合一元二次不等式恒成立列不等式计算求解. 【详解】可化为， 由题意可知，恒成立， 当时，原不等式为，解得，不合题意； 当时，依题意得，解得， 综上所述，的取值范围为． 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏淮安·月考）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定是“，”. 2．（25-26高二下·贵州遵义·月考）命题“，”的否定形式是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】，”的否定形式是“，”. 3．（2026·天津河东·一模）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（    ） A．菱形是矩形 B．存在一个菱形，它是矩形 C．存在菱形不是矩形 D．存在是菱形的矩形 【答案】B 【分析】由全称命题的否定，即否定条件，否定结论即可求解. 【详解】原命题可以写作：全部的菱形，都不是矩形，是全称命题， 所以该命题的否定是存在量词命题，即：存在一个菱形，它是矩形. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题为假命题的是（　　） A．有些实数是无限不循环小数 B．每一个末位是0的整数都是5的倍数 C．至少有一个整数，使是4的倍数 D．对任意负数，的平方是正数 【答案】C 【分析】对于A，根据实数的定义分析判断即可；对于B，根据5的倍数的特点判断即可；对于C，利用反证法判断即可；对于D，根据负数的平方的特点判断即可. 【详解】对于A，比如是实数，而且是无限不循环小数，故A正确； 对于B，每一个末位是0的整数都是5的倍数，故B正确； 对于C，假设有一个整数，使是4的倍数，则为偶数， 所以为奇数，可设， 则， 所以除以4余2，则不是4的倍数，与是4的倍数矛盾， 所以假设不成立，则不存在整数，使是4的倍数，故C错误； 对于D，对任意负数，的平方是正数，故D正确. 故选：C 5．（25-26高三上·新疆·月考）已知p：，；q：，，则（   ） A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，是真命题 C．是真命题，q是真命题 D．是真命题，是真命题 【答案】C 【分析】举例说明命题p，q的真假，进而判断其否定的真假. 【详解】对于命题p：当时，， 可知p是假命题，即是真命题； 对于命题q：当时，， 可知q是真命题，即是假命题. 故选：C. 6．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由判别式即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以实数的取值范围为， 故选：A 7．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】判断出、的真假，即可得出结论. 【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，由可得或，则命题为真命题， 因此，和都是真命题. 故选：B. 8．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知命题，命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】首先通过取特值判断命题与命题的真假，进而判断选项的正误即可. 【详解】对于命题：当时，，因此命题为真命题，从而为假命题； 对于命题：当，时，，，可得：，故命题为假命题，从而为真命题； 综上可得：命题与命题均为真命题. 故选：C 二、多选题 （多选）9．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）下列命题中，正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题 C．“，”是假命题 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【分析】根据特称命题的否定判断A，根据全称命题及特称命题定义判断B，根据全称命题及特称命题的真假判断C，利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】命题“”的否定是“”，A选项正确； “至少有一个，使成立”是特称量词命题，B选项错误； 当时，，，C选项正确； 对于D，若，不妨取，则不成立， 若，则必有，所以“”是“”的必要不充分条件，D选项正确； （多选）10．（25-26高二上·江西宜春·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为 B．不等式的解集为 C．若，，，则 D．当时，的最小值是 【答案】ACD 【分析】对A，根据题意可得，运算得解；对B，求解不等式判断；对C，利用对数和指数函数的单调性判断；对D，利用基本不等式求解判断. 【详解】对于A，由题可得，即，解得，故A正确； 对于B，不等式，解得，所以不等式的解集为，故B错误； 对于C，因为，，， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， ， 当且仅当，即时，取等号，故D正确. 故选：ACD. （多选）11．（25-26高一下·湖南长沙·期末）以下四个命题中，是真命题的是（   ） A． B．存在整数x，y，使得 C．，二次函数的图像都关于轴对称 D．若命题，则的否定为： 【答案】AC 【分析】逐项判断各选项的正确性即可. 【详解】对于A，显然为真命题； 对于B，一定为偶数，故B选项为假命题； 对于C，设，易知其定义域为，又，所以为偶函数，故C选项为真命题； 对于D，若命题，则p的否定为：，故D选项为假命题， 故选：AC. 三、填空题 12．（25-26高一上·山东德州·期末）若“，”是真命题，则的取值范围是__________ 【答案】 【详解】当时，恒成立， 或当，得， 综上，的取值范围是. 13．（25-26高一上·河南许昌·期末）若命题“，”为真命题，则实数的一个值为________． 【答案】（不唯一） 【分析】分离参数后，求出的最小值为，得出的取值范围，即可得解. 【详解】由题意，，对任意恒成立， 因为，所以当时，的最小值为， 所以， 故答案为：（不唯一） 14．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）若“，”为假命题，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】先求出原命题为真命题的时候的范围，再取其补集即可. 【详解】假设若“，”为真命题，则， 令，不等式即为，当时，， 由对勾函数单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 故其最大值在端点处取得，比较与， 可知，则， 所以若“，”为假命题，则的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高一上·福建宁德·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况进行讨论即可； （2）分真假和假真两种情况进行讨论求解，再取并集即可． 【详解】（1）因为为真命题， 所以当时，不等式为，在上恒成立，符合题意； 当时，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）若为真命题，即， 则对于． 由于， 所以，解得， 又因为有且只有一个是真命题， 所以当真假时， 解得； 当假真时， 解得． 所以实数的取值范围为． 16．（25-26高一上·四川南充·期中）（1）已知命题：存在实数，使成立.若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）已知命题：任意实数，使恒成立.若命题是假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）把存在问题转化为判别式大于等于零，再解一元二次不等式即可； （2）方法一：根据不等式恒成立得出，，再结合最值计算求解；方法二：求出的最大值即可. 【详解】（1）：存在实数，使成立， 则， 解得或 所以实数的取值范围为. （2）方法一：任意实数，使恒成立，. 因为时，， 则， 根据命题为假命题，则，故实数的取值范围为. 方法二：，， 因为时，， 则即， 根据命题为假命题，则，故实数的取值范围为. 17．（25-26高一上·湖南·期中）已知命题，，命题，． (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为真命题求出实数的取值范围，则其补集就是为假命题实数的取值范围； （2）分真假、假真两种情况求解. 【详解】（1）若为真命题，则当，不等式变为解集为，满足； 若，则，解得， 所以实数的取值范围为， 所以当为假命题时，实数的取值范围为. （2）若命题为真，即，， 令，则，不等式变为，即， 设， 的图像开口向下，对称轴为，在单调递减， 所以，所以， 即命题为真时，实数的取值范围为. 若真假，则，解得； 若假真，则或，解得 综上，若，中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为. 18．（25-26高一下·湖北恩施·开学考试）设，. (1)解关于x的不等式； (2)设命题p：，，若为真命题，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对进行因式分解，得到，再分别对与进行讨论，求解即可. （2）法一：因为为真命题，故对，，分别对与进行讨论求解即可. 法二：分离参变量，利用基本不等式求解的最小值. 【详解】（1），即， 当时，此时不等式的解集为 解方程得或， 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为， 综上，当时，此时不等式的解集为 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为 （2）因为为真命题，故对，，即， 法1：当，即时，函数在上单调递增， 故对， ，满足条件； 当，即时，则，解得， 综上，实数的取值范围是 法2：因为，所以，又，所以， 所以， 又，当且仅当，即时取“”. 所以， 所以实数的取值范围是. 19．（25-26高一上·河北承德·期末）设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简集合，由题意可得是的真子集，列不等式求参数范围； （2）根据原命题为真则否命题为假，计算时的取值范围，由（1）可得或，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题意． “”是“”的必要而不充分条件，是的真子集． ，解得， 即实数的取值范围为； （2）若“，使得”是假命题，则． 由（1）得，或． ①当时，，解得，此时满足题意； ②当时，则，无解； 即当命题为假命题时，实数的取值范围为， ∴当命题为真命题时，实数的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 常用逻辑用语 题型一 充分、必要条件的判定 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】AC 9．【答案】BCD 10．【答案】AC 题型二 已知充分、必要条件求参 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】BC 题型三 含量词的命题的否定 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】AB 9．【答案】AB 10．【答案】BD 题型四 含量词的命题的真假判断 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】ABC 9．【答案】BCD 10．【答案】ACD 题型五 含量词的命题的应用 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】A 8．【答案】或 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和命题的否定的真假关系即可求解. 【详解】由已知命题“存在，使得等式成立”是假命题， 等价于“任意，使得等式成立”是真命题， 又因为，所以，要使，则需或. 所以实数的取值范围为或. 故答案为：或 9．【答案】 【分析】根据特称命题证明方法，构造函数，根据定义域，对函数解析式进行参变分离，求出参数范围. 【详解】设， ，即，在上有解， 则，由变形得， 当时，，根据有解，得. 故答案为：. 10．【答案】 【分析】根据题意，分、两种情况，结合一元二次不等式恒成立列不等式计算求解. 【详解】可化为， 由题意可知，恒成立， 当时，原不等式为，解得，不合题意； 当时，依题意得，解得， 综上所述，的取值范围为． 课时精练 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】ACD 10．【答案】ACD 11．【答案】AC 12．【答案】 【详解】当时，恒成立， 或当，得， 综上，的取值范围是. 13．【答案】（不唯一） 【分析】分离参数后，求出的最小值为，得出的取值范围，即可得解. 【详解】由题意，，对任意恒成立， 因为，所以当时，的最小值为， 所以， 故答案为：（不唯一） 14．【答案】 【分析】先求出原命题为真命题的时候的范围，再取其补集即可. 【详解】假设若“，”为真命题，则， 令，不等式即为，当时，， 由对勾函数单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 故其最大值在端点处取得，比较与， 可知，则， 所以若“，”为假命题，则的取值范围为. 故答案为： 15．【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况进行讨论即可； （2）分真假和假真两种情况进行讨论求解，再取并集即可． 【详解】（1）因为为真命题， 所以当时，不等式为，在上恒成立，符合题意； 当时，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）若为真命题，即， 则对于． 由于， 所以，解得， 又因为有且只有一个是真命题， 所以当真假时， 解得； 当假真时， 解得． 所以实数的取值范围为． 16．【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）把存在问题转化为判别式大于等于零，再解一元二次不等式即可； （2）方法一：根据不等式恒成立得出，，再结合最值计算求解；方法二：求出的最大值即可. 【详解】（1）：存在实数，使成立， 则， 解得或 所以实数的取值范围为. （2）方法一：任意实数，使恒成立，. 因为时，， 则， 根据命题为假命题，则，故实数的取值范围为. 方法二：，， 因为时，， 则即， 根据命题为假命题，则，故实数的取值范围为. 17．【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为真命题求出实数的取值范围，则其补集就是为假命题实数的取值范围； （2）分真假、假真两种情况求解. 【详解】（1）若为真命题，则当，不等式变为解集为，满足； 若，则，解得， 所以实数的取值范围为， 所以当为假命题时，实数的取值范围为. （2）若命题为真，即，， 令，则，不等式变为，即， 设， 的图像开口向下，对称轴为，在单调递减， 所以，所以， 即命题为真时，实数的取值范围为. 若真假，则，解得； 若假真，则或，解得 综上，若，中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为. 18．【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对进行因式分解，得到，再分别对与进行讨论，求解即可. （2）法一：因为为真命题，故对，，分别对与进行讨论求解即可. 法二：分离参变量，利用基本不等式求解的最小值. 【详解】（1），即， 当时，此时不等式的解集为 解方程得或， 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为， 综上，当时，此时不等式的解集为 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为 （2）因为为真命题，故对，，即， 法1：当，即时，函数在上单调递增， 故对， ，满足条件； 当，即时，则，解得， 综上，实数的取值范围是 法2：因为，所以，又，所以， 所以， 又，当且仅当，即时取“”. 所以， 所以实数的取值范围是. 19．【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简集合，由题意可得是的真子集，列不等式求参数范围； （2）根据原命题为真则否命题为假，计算时的取值范围，由（1）可得或，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题意． “”是“”的必要而不充分条件，是的真子集． ，解得， 即实数的取值范围为； （2）若“，使得”是假命题，则． 由（1）得，或． ①当时，，解得，此时满足题意； ②当时，则，无解； 即当命题为假命题时，实数的取值范围为， ∴当命题为真命题时，实数的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $