第04讲 基本不等式讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式核心考点，涵盖成立条件、求最值方法、重要不等式及变形，按比较大小、求积与和的最值、对勾函数、“1”的妙用、恒成立问题、实际应用等题型系统编排，通过基础回顾、题型精讲、课时精练环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点。 讲义以题型分层训练为特色，结合高考真题案例，如“1”的妙用中通过常数代换转化目标函数，培养数学思维，实际应用中引导建立函数模型，提升数学语言表达能力。设置基础巩固与综合应用练习，配合方法总结，确保学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

第04讲 基本不等式 题型一 由基本不等式比较大小 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】AC 9．【答案】BCD 10．【答案】ACD 题型二 利用基本不等式求积的最大值 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】BD 9．【答案】AC 10．【答案】ABD 题型三 利用基本不等式求和的最小值 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】AC 9．【答案】BCD 10．【答案】ACD 题型四 利用对勾函数求最值 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】ACD 9．【答案】ACD 10．【答案】CD 题型五 “1”的妙用 【例题精讲】 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】BC 9．【答案】ACD 10．【答案】ABC 题型六 与基本不等式有关的恒(能)成立问题 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】BCD 9．【答案】BCD 10．【答案】AC 题型七 基本不等式的实际应用 1．（【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 8．【答案】 【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 9．【答案】 10 8 【分析】根据已知可得，应用基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得. 【详解】设矩形铁片的面积为， 因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时. 故答案为：， 10．【答案】8000 【分析】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ， 当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故答案为：8000 课时精练 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】AD 10．【答案】CD 11．【答案】ABD 12．【答案】 【分析】由题意得出，所以，于是得出，令，可得，利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】因为关于的不等式解集为，即不等式解集为， 所以，所以， 故，令， 则， 令，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，故， 因此的取值范围是. 13．【答案】0 【详解】已知，则， ， ， ， 设，则，， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为0． 14．【答案】 【分析】根据题意得，再结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 15．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 16．【答案】(1)9； (2). 【分析】（1）根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案. （2）根据不等式得，再结合条件得，解出即可得到最大值. 【详解】（1）由，得， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. （2）由基本不等式得，，当且仅当时等号成立， 因为， 所以，当且仅当，再结合a，b，c均为正实数， 即时，等号成立， 解得， 又为正实数，所以， 则b的最大值为. 17．【答案】（1）证明见解析；（2）18． 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）利用均值不等式求解. 【详解】（1）证明：， 因为，，所以，所以，所以； （2）解：因，，可得 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为18． 18．【答案】(1)， (2)，59000元 【分析】（1）根据十字形区域总面积即可求出表达式，再根据，求出范围； （2）分别求出各部分面积以及总价，再利用基本不等式即可求出. 【详解】（1）因为十字形区域总面积为，所以，解得. 因为，，所以，解得. 所以，. （2）中心正方形面积为，造价为； 四个矩形的总面积为， 造价为； 四个三角形的总面积为， 造价为； 总造价为 ， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以，当时取等号. 故当的长为时，总造价最低，为59000元. 19．【答案】(1) (2)当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元 【分析】（1）利用时，，计算出，再根据已知模型计算即可； （2）利用二次函数及基本不等式结合分段函数的性质计算即可. 【详解】（1）当时， 当时， 因为时，，解得 （2）当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时， 又， 所以当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 基本不等式 题型一 由基本不等式比较大小 2 题型二 利用基本不等式求积的最大值 3 题型三 利用基本不等式求和的最小值 4 题型四 利用对勾函数求最值 5 题型五 “1”的妙用 7 题型六 与基本不等式有关的恒(能)成立问题 8 题型七 基本不等式的实际应用 9 课时精练 12 【基础回顾】 知识点1：基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)其中，叫作正数a，b的算术平均数；叫作正数a，b的几何平均数． 知识点2：利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 知识点3：几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2（a，b同号）． (3)ab≤(a，b∈R)。 (4)≥ (a，b∈R)。 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 知识点4：基本不等式的常见变形 (1)积、和与平方和的相互转化关系：ab≤≤。 (2)不等式串：≤≤≤(a>0，b>0)。 (3)“1”的代换。 题型一 由基本不等式比较大小 【例题精讲】 1．（2026·北京朝阳·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三·上海·二轮复习）已知实数满足，则（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 3．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·北京·开学考试）已知，且，则下列不等关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 6．（24-25高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·安徽合肥·月考）如图所示为一个矩形和一个正方形，矩形的边长分别为a，b（），当正方形的周长与矩形周长相等时正方形的边长为x，当正方形面积与矩形面积相等时正方形的边长为y，当正方形对角线与矩形对角线相等时正方形的边长为z，则（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·安徽·月考）设为非零实数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． （多选）9．（25-26高一上·江西景德镇·期中）已知正实数a，b满足，则下列选项正确的是（    ）. A． B． C． D． （多选）10．（25-26高三上·辽宁·期中）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 题型二 利用基本不等式求积的最大值 【例题精讲】 1．（2026·四川绵阳·三模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 3．（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东江门·月考）下列函数的最值中错误的是（   ） A．已知的最大值是 B．的最大值为5 C．已知的最小值为3 D．的最小值为2 5．（25-26高三上·江西上饶·月考）已知正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 6．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知，则的最大值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 7．（25-26高三上·湖南长沙·月考）下列说法正确的是（    ） A．当时，的最小值为2 B．当时，的最小值为4 C．的最小值为 D．当时，的最大值为1 （多选）8．（2026·重庆·模拟预测）已知为直线：在第一象限内的一点，则下列结论正确的是（） A．的最大值为2 B．的最小值为8 C．的最小值为3 D．的最小值为 （多选）9．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为4 （多选）10．（2026·四川攀枝花·一模）已知，，且，则（   ） A．有最大值 B．有最小值8 C．有最大值1 D．有最小值 题型三 利用基本不等式求和的最小值 【例题精讲】 1．（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 3．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 4．（2026·山西临汾·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B．5 C．4 D．3 5．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 6．（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 7．（2026·河北邢台·二模）设，，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．8 D．4 （多选）8．（2026·河北雄安·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则“”是“”的充要条件 C．的最小值为3 D．若，则 （多选）9．（2026·河北沧州·二模）若，，，则（   ） A． B． C． D． （多选）10．（2026·河北廊坊·一模）已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则 题型四 利用对勾函数求最值 【例题精讲】 1．（25-26高一上·上海·月考）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河南信阳·期中）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 3．（25-26高一上·河北保定·期中）下列结论正确的是（    ） A．若则 B．函数的最小值是 C．的最小值是2 D．若，则 4．（25-26高一上·天津西青·月考）下列说法正确的个数是（    ）． ①； ②函数的最小值为4； ③若，则最大值为1； ④已知时，，当且仅当，即时，取得最小值8． A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26高三上·山东潍坊·月考）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 6．（25-26高一上·河北保定·月考）下列选项不正确的是（   ） A．当时，的最小值是3 B．已知，则的最大值是 C．当时，的最大值是5 D．设，则的最小值为2 7．（25-26高三上·山东·月考）的最小值为（    ） A． B． C．2 D．16 （多选）8．（25-26高一上·广东·期中）下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 （多选）9．（25-26高一上·湖北武汉·月考）已知，，，则下列结论正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 （多选）10．（25-26高一上·广东佛山·月考）下列函数中，最小值为2的是（   ） A． B． C． D． 题型五 “1”的妙用 【例题精讲】 1．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 3．（2026·宁夏银川·一模）已知实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽滁州·二模）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 6．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）设正实数，满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．（25-26高一上·广东广州·期末）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 （多选）8．（25-26高一下·河南商丘·月考）下列结论正确的是（    ） A．若，，则的最小值为7 B．当时，的最小值是4 C．设，，且，则的最小值是 D．当时，的最小值是3 （多选）9．（25-26高一上·湖南娄底·期末）下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 （多选）10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为9 B．ab的最大值为 C．的最小值是 D．的最小值是 题型六 与基本不等式有关的恒(能)成立问题 分离参数，求参数范围 “任意大，取最小，任意小，取最大；存在大，取最大，存在小，取最小” ∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a； ∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a. ∀x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)max≤a. ∀x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)min≥a. 【例题精讲】 1．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽·月考）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 3．（25-26高一上·福建三明·月考）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 4．（25-26高三上·河北衡水·期中）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 5．（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 6．（25-26高一上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·湖南长沙·月考）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． （多选）8．（25-26高一上·云南昭通·月考）若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 （多选）9．（25-26高一上·山东日照·月考）已知，，当时，不等式恒成立，则m的值可以是（    ） A． B．2 C． D．4 （多选）10．（2025·浙江·三模）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 题型七 基本不等式的实际应用 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值． 【例题精讲】 1．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏淮安·期中）若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 3．（25-26高一上·安徽·月考）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 4．（25-26高一上·福建莆田·月考）某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·北京·月考）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．（22-23高一上·安徽黄山·月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 7．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 8．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    9．（25-26高一上·广西桂林·期中）如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 10．（25-26高一上·北京通州·月考）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一下·贵州毕节·月考）函数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 2．（25-26高一上·江苏扬州·期末）设为正实数，若，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（25-26高一上·宁夏石嘴山·期末）若正实数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．7 C．9 D． 4．（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 5．（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案： 方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价； 方案丙：第一次和第二次均提价； 方案丁：第一次提价，第二次降价； 其中，则四个方案中提价最多的方案为（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．（25-26高三下·云南楚雄·月考）下列说法正确的是（  ） A．函数的最小值是2 B．函数的最小值为4 C．“”是“”的充分不必要条件 D．不等式与有相同的成立条件 7．（25-26高二上·全国·月考）已知都是正实数，若，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 8．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 （多选）9．（25-26高一下·海南海口·期中）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 （多选）10．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． （多选）11．（25-26高一下·浙江衢州·期中）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一下·浙江杭州·期中）若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 13．（2026·陕西咸阳·三模）已知，且，则的最小值为______． 14．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 四、解答题 15．（25-26高一下·江苏盐城·月考）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 16．（25-26高一下·广东江门·月考）设a，b，c均为正实数，且． (1)求的最小值； (2)若，求b的最大值． 17．（25-26高一上·云南曲靖·期末）（1）已知，若，求证：； （2）若，且，求的最小值． 18．（25-26高三·上海·二轮复习）为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边形休闲广场，其中两个相同的矩形和构成的十字形区域总面积为.中心正方形区域将安装国产太阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为2100元；周围四个矩形区域（图中阴影部分）铺设透水地砖，造价为105元；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为40元.设总造价为（单位：元），（单位：m）. (1)设长为（单位：m），用表示，并求出的取值范围； (2)取何值时可使总造价最低，并求出最低造价. 19．（25-26高一上·广东深圳·期末）第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉祥物以中华白海豚为原型､分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象.因其配色被网友亲切地戏称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. (1)求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式； (2)当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 基本不等式 题型一 由基本不等式比较大小 2 题型二 利用基本不等式求积的最大值 6 题型三 利用基本不等式求和的最小值 11 题型四 利用对勾函数求最值 15 题型五 “1”的妙用 21 题型六 与基本不等式有关的恒(能)成立问题 25 题型七 基本不等式的实际应用 30 课时精练 37 【基础回顾】 知识点1：基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)其中，叫作正数a，b的算术平均数；叫作正数a，b的几何平均数． 知识点2：利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 知识点3：几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2（a，b同号）． (3)ab≤(a，b∈R)。 (4)≥ (a，b∈R)。 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 知识点4：基本不等式的常见变形 (1)积、和与平方和的相互转化关系：ab≤≤。 (2)不等式串：≤≤≤(a>0，b>0)。 (3)“1”的代换。 题型一 由基本不等式比较大小 【例题精讲】 1．（2026·北京朝阳·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先根据基本不等式求的范围，再根据集合的包含关系判断充分，必要条件. 【详解】因为，所以，则， 因为 ，所以“”是“”的充分不必要条件. 2．（25-26高三·上海·二轮复习）已知实数满足，则（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】对AD选项用特殊值验证可得，对B选项可用基本不等式可得，对C选项用作差比较法判断可得. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：因，则，，则，当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C：因且，所以，即，故C正确； 对于D：若，则，故D错误. 故选：C 3．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 4．（25-26高三下·北京·开学考试）已知，且，则下列不等关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，基本不等式以及作差法，即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A,由于，则，故，进而，A错误， 对于B,由于，则，故，B正确， 对于C, 由于，则，故，C错误， 对于D, ，由于，则，故 ，故，D 错误， 5．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，解得，同理可得， 由，可得，又，可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 6．（24-25高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式，利用不等式的性质比较大小即可得解. 【详解】由于，则. 故选：C. 7．（25-26高一上·安徽合肥·月考）如图所示为一个矩形和一个正方形，矩形的边长分别为a，b（），当正方形的周长与矩形周长相等时正方形的边长为x，当正方形面积与矩形面积相等时正方形的边长为y，当正方形对角线与矩形对角线相等时正方形的边长为z，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，，然后利用基本不等式比较大小即可. 【详解】由题意可得，，，，且， 由基本不等式的关系可知，当且仅当时等号成立， 所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ，所以， 所以. 故选：B （多选）8．（25-26高一上·安徽·月考）设为非零实数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用重要不等式，可判断A，C；利用特值法，可判断B，D. 【详解】对于A：该式可变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立，故A正确； 对于B：取，则显然成立，故该不等式不一定成立，故B错误； 对于C：该式可变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立，故C正确； 对于D：可取，得，故该不等式不一定成立，故D错误. 故选：AC. （多选）9．（25-26高一上·江西景德镇·期中）已知正实数a，b满足，则下列选项正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知条件有且、，再应用不等式的性质或基本不等式“1”的代换判断各项的正误. 【详解】由，则，可得，B对， 所以，则，， 所以，当且仅当时取等号，A错， 由，则， 所以， 当且仅当，即时取等号，即，C对， 且， 当且仅当，即时取等号，即，D对. 故选：BCD （多选）10．（25-26高三上·辽宁·期中）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用作差法可判断A；由基本不等式可判断BCD. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，当，时，不成立，故B错误； 对于C，因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，时等号成立，D项正确． 故选：ACD． 题型二 利用基本不等式求积的最大值 【例题精讲】 1．（2026·四川绵阳·三模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题可知， 若，则，当且仅当“”时取“”， 则； 若取，满足，但， 故“”是“”必要不充分条件. 2．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 3．（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得，，进而得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意，为正数，且，则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为. 故选：A 4．（25-26高一上·广东江门·月考）下列函数的最值中错误的是（   ） A．已知的最大值是 B．的最大值为5 C．已知的最小值为3 D．的最小值为2 【答案】D 【分析】利用基本不等式逐项验证即可求解. 【详解】对于A，由，所以，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，所以的最大值为，故A正确； 对于B， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，由，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，当，当且仅当，即时，等号成立， 当时，，当且仅当，即时，等号成立，故D错误； 故选：D. 5．（25-26高三上·江西上饶·月考）已知正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】设，结合基本不等式可得，再结合可得，可得，即可求解. 【详解】由题意，，设， 则，当且仅当时等号成立， 因为，所以，解得， 当时，，即时等号成立， 故的最大值为2. 故选：B. 6．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知，则的最大值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】因为， 则，所以， 当且仅当时，即当，且，等号成立， 故的最大值为3． 故选：A． 7．（25-26高三上·湖南长沙·月考）下列说法正确的是（    ） A．当时，的最小值为2 B．当时，的最小值为4 C．的最小值为 D．当时，的最大值为1 【答案】D 【分析】根据题意，利用对勾函数的单调性，可判定A、B错误，由不是定值，可判定C错误；结合基本不等式，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，单调递减，所以，所以A错误； 对于B，当时，可得，令， 则在上单调递减，时，函数取得最小值5，所以B错误； 对于C，由于不是定值，所以不是的最小值，所以C错误； 对于D，当时，，当且仅当，即时取等号，所以D正确． 故选：D. （多选）8．（2026·重庆·模拟预测）已知为直线：在第一象限内的一点，则下列结论正确的是（） A．的最大值为2 B．的最小值为8 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】由题意得且，对于选项A，结合基本不等式，即可推导的最值；对于选项B，可将变形为，再利用基本不等式求解最小值；对于选项C，可利用代入转化为二次函数求解最小值；对于选项D，结合将原分式转化为单变量函数，再用换元法结合基本不等式求解最小值 【详解】由题意得且， 对A，由基本不等式，得，即，当且仅当时取等号，最大值为，A错误 对B，，， 所以，当且仅当即等号成立，最小值为，B正确 对C，代入得开口向上，对称轴，代入得最小值为，C错误 对D，代入得， 令，则 其中，当且仅当即时取等号， 所以 即的最小值为，D正确 （多选）9．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为4 【答案】AC 【分析】选项A，由，，，直接利用基本不等式求出的范围，从而得到的最大值；选项B，将所求的的分子转化为，利用基本不等式求解即可；选项C，设，则，由得到从而得到的范围，即可得到的最大值；选项D，将所求的转化为，利用基本不等式求解即可. 【详解】选项A，，，，， ，当且仅当，即时，等号成立； 故ab的最大值为，故选项A正确； 选项B，，， 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为，故选项B错误； 选项C，设，则， ，， ，，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为，故选项C正确； 选项D，，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故选项D错误. 故选：AC. （多选）10．（2026·四川攀枝花·一模）已知，，且，则（   ） A．有最大值 B．有最小值8 C．有最大值1 D．有最小值 【答案】ABD 【分析】直接使用基本不等式可判断A；利用常数代换法，结合基本不等式可判断B；消元后结合二次函数性质可判断C；配方后使用基本不等式可判断D. 【详解】对A，因为，，且，所以， 整理可得，当且仅当，即时等号成立，正确； 对B，因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，正确； 对C，因为，所以，当时等号成立， 又，故取不到等号，即的最大值不是1，错误； 对D，因为，所以， 由上知，，所以，当且仅当时等号成立，正确. 故选：ABD 题型三 利用基本不等式求和的最小值 【例题精讲】 1．（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 2．（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 3．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【详解】由，，，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为9. 4．（2026·山西临汾·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为5． 5．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用“1”的代换并变形，再利用基本不等式求解. 【详解】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 6．（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由配凑法结合换1法得出，再使用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 7．（2026·河北邢台·二模）设，，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．8 D．4 【答案】B 【分析】通过换“1”法，再通过基本不等式求解即可. 【详解】由题得，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为9. （多选）8．（2026·河北雄安·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则“”是“”的充要条件 C．的最小值为3 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用存在量词命题的定义判断A；利用充要条件的定义判断B；利用基本不等式求出最小值判断C；利用不等式的性质判断D. 【详解】对于A，解不等式，得，因此，A正确； 对于B，当时，或，即能推出，但不能推出， 因此“”是“”的充分不必要条件，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，因此的最小值为3，C正确； 对于D，，当时，，D错误. （多选）9．（2026·河北沧州·二模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式可得，进而可判断A；根据基本不等式“1”的妙用计算可判断B；根据基本不等式计算可判断C；利用换元法结合二次函数性质计算可判断D. 【详解】对于A选项，因为，，，所以， 当且仅当时取等号，即，所以，所以A选项不正确； 对于B选项，因为， 当且仅当时取等号，所以B选项正确； 对于C选项，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以C选项正确； 对于D选项，因为，，， 所以， 又因为，所以，所以D选项正确. （多选）10．（2026·河北廊坊·一模）已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则 【答案】ACD 【详解】，，又，，故A正确， 令，，故B错误， ，即，，又，，， ，当且仅当时，即等号成立，故C正确， ， 又，，则， 又，，当且仅当，即时等号成立，故D正确. 题型四 利用对勾函数求最值 【例题精讲】 1．（25-26高一上·上海·月考）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可． 【详解】对于A，函数（），当时，， 当且仅当时取等号；当时，， 又，当且仅当时取等号， 所以此时，因此，函数无最小值，故A错误； 对于B，函数，当时，，； 当时，，，因此，函数无最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故C正确； 对于D，令，则，函数变为（）， 函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误． 故选：C． 2．（25-26高一下·河南信阳·期中）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 3．（25-26高一上·河北保定·期中）下列结论正确的是（    ） A．若则 B．函数的最小值是 C．的最小值是2 D．若，则 【答案】D 【分析】利用作差法判断A，利用基本不等式判断B，根据对勾函数的性质判断C，根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A：若，则，所以，故A错误； 对于B：因为，所以, 当且仅当，即时，原式取最大值是,故B错误; 对于C：令，则， 因为在上单调递增， 所以当时取得最小值是， 所以的最小值是，当且仅当时取到，故C错误； 对于D：因为，可得， 所以，故D正确. 故选：D 4．（25-26高一上·天津西青·月考）下列说法正确的个数是（    ）． ①； ②函数的最小值为4； ③若，则最大值为1； ④已知时，，当且仅当，即时，取得最小值8． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可. 【详解】对于①只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则①不正确； 对于②, ，令， 则在上单调递增，则最小值为, 则②不正确； 对于③,，则③正确； 对于④,当时，，当且仅当 时，即，等号成立，则④不正确. 综上只有1个正确， 故选：B. 5．（25-26高三上·山东潍坊·月考）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据对勾函数的性质可得最小值. 【详解】由，令，则. ，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增， 所以时，函数. 故函数的最小值为. 故选：C. 6．（25-26高一上·河北保定·月考）下列选项不正确的是（   ） A．当时，的最小值是3 B．已知，则的最大值是 C．当时，的最大值是5 D．设，则的最小值为2 【答案】D 【分析】根据基本不等式及对勾函数的性质直接可得. 【详解】对于A：当时， ， 当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是3，故A正确； 对于B：当，则，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以，即的最大值是，故B正确； 对于C：当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是5，故C正确； 对于D：令，所以， 由对勾函数的性质可知，在单调递增，所以，故D错误. 故选：D. 7．（25-26高三上·山东·月考）的最小值为（    ） A． B． C．2 D．16 【答案】B 【分析】先求展开式，进而利用基本不等式求解. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故选：B （多选）8．（25-26高一上·广东·期中）下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式结合对勾函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是，故C正确； 对D：当时，，当且仅当，即时取得等号，故，即的最大值是，故D正确. 故选：ACD （多选）9．（25-26高一上·湖北武汉·月考）已知，，，则下列结论正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式可判断A选项；求得，设，则，利用对勾函数 单调性求出的最小值，可判断B选项；利用重要不等式可判断C选项；由结合基本不等式可判断D选项. 【详解】因为，，， 对于A选项，由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，A对； 对于B选项，设，则， 因为对勾函数在上单调递减，故当时，取最小值，即， 故的最小值为，B错； 对于C选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，C对； 对于D选项， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，D对. 故选：ACD. （多选）10．（25-26高一上·广东佛山·月考）下列函数中，最小值为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】用基本不等式可对选项进行判断，注意基本不等式等号成立的条件，用二次函数的性质可判断选项. 【详解】对于选项. 函数，定义域为. 当时，，当且仅当，即时等号成立，即； 当时，，当且仅当，即时等号成立，即. 综上，函数的最小值不是2，选项错误. 对于选项. 函数，定义域为. 对，，当且仅当时等号成立，但没有能满足此条件，故此函数最小值不是2，选项错误. 对于选项. 函数，其中，故. ，当且仅当，即时等号成立. 故函数的最小值为2，选项正确. 对于选项. ，定义域为，且 则，由函数的性质可知，当时，有最小值4. 故当时，有最小值，故选项正确. 故选： 题型五 “1”的妙用 【例题精讲】 1．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， ， 当且仅当，时，等号成立， 的最小值为． 2．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】首先判断的符号，再将待求式变形为可利用基本不等式或其变形的形式，进而求最值. 【详解】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 3．（2026·宁夏银川·一模）已知实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为实数，满足， 对于A：取，此时，命题不成立，故A错误； 对于B：由，所以， 当且仅当，即，时取等号，故B正确； 对于C：，所以不存在，使成立，故C错误； 对于D：由可得，所以， 故不存在，使得，故D错误． 4．（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由条件和基本不等式可得最小值. 【详解】因为，所以，且， 所以 ， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 5．（2026·安徽滁州·二模）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4. 6．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）设正实数，满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据基本不等式“1”的妙用计算求解. 【详解】， 当且仅当，时取等． 7．（25-26高一上·广东广州·期末）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【详解】因为实数，满足，所以， . 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. （多选）8．（25-26高一下·河南商丘·月考）下列结论正确的是（    ） A．若，，则的最小值为7 B．当时，的最小值是4 C．设，，且，则的最小值是 D．当时，的最小值是3 【答案】BC 【详解】对于A，由，得 ，当且仅当，即时取等号，A错误； 对于B，当时，， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由，，得， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，当时，，则， 当且仅当，即时取等号，D错误. （多选）9．（25-26高一上·湖南娄底·期末）下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 【答案】ACD 【详解】对于A：因为，根据均值不等式：， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为2，故A正确； 对于B：因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，显然无解， 所以的最小值取不到2，故B错误； 对于C：因为，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故C正确； 对于D：因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为8，故D正确. （多选）10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为9 B．ab的最大值为 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】ABC 【详解】对于A，， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，所以， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，由，则，而， 所以，当且仅当时等号成立，故D错误. 题型六 与基本不等式有关的恒(能)成立问题 分离参数，求参数范围 “任意大，取最小，任意小，取最大；存在大，取最大，存在小，取最小” ∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a； ∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a. ∀x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)max≤a. ∀x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)min≥a. 【例题精讲】 1．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据基本不等式求出的最小值，再结合条件求出参数的取值范围； 【详解】变形为， 则， 由均值不等式，，故， 当即，时代入原方程，解得时等号成立 因为恒成立，所以，解得. 故选：A. 2．（25-26高一上·安徽·月考）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，求得，得到，进而求得实数的范围，得到答案. 【详解】由正实数满足，可得， 所以 ， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 3．（25-26高一上·福建三明·月考）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】借助基本不等式“1”的活用可得，则可得. 【详解】当时，，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 即恒成立，则，故， 故实数的最大值为. 故选：A. 4．（25-26高三上·河北衡水·期中）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据均值不等式即可求解. 【详解】由可得， 不等式可化为，所以. 故选：A 5．（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】，，恒成立， 而 ， 当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为. 故选：C. 6．（25-26高一上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，则，再根据恒成立问题转化为最值即可． 【详解】即， （当且仅当时取等号）， 又不等式恒成立， 所以． 故选：C． 7．（25-26高一上·湖南长沙·月考）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】由题意可得，由基本不等式可得的最小值等于，故，从而得到实数的最大值． 【详解】由不等式可得， 故 的最小值． 因为，当且仅当时，等号成立， 故的最小值等于， 故，所以，则实数的最大值为. 故选：A． （多选）8．（25-26高一上·云南昭通·月考）若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【分析】先利用基本不等式求出的最大值，再根据恒成立思想得到参数范围即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由题意得恒成立，故得. 故选：BCD． （多选）9．（25-26高一上·山东日照·月考）已知，，当时，不等式恒成立，则m的值可以是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】BCD 【分析】利用“1”的妙用和基本不等式求出的最小值，再由不等式恒成立，解不等式求出的范围，再逐一检验各选项即可. 【详解】因，，故，又， 则，当且仅当时等号成立， 依题意，可得恒成立，即，解得. 当时，由，解得，此时恒成立； 当时，由，解得此时恒成立； 当时，由，解得，此时恒成立. 故选：BCD. （多选）10．（2025·浙江·三模）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 【答案】AC 【分析】利用基本不等式求解A，利用基本不等式的取等条件判断B，利用基本不等式结合“1”的代换判断C，先分离参数，再对平方后利用换元法和判别式法求解最值，得到的最小值判断D即可. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号， 即，得到，解得．故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故B错误； 对于C，因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 则的最小值为8，故C正确， 对于D，因为恒成立，且，， 所以恒成立，而 ， 令，则可化为， 令，则， 化简得， 而该一元二次方程一定有实数根，得到， 解得，当时，， 故，故即， 得到，则的最小值为，故D错误. 故选：AC 题型七 基本不等式的实际应用 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值． 【例题精讲】 1．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 2．（25-26高一上·江苏淮安·期中）若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 【答案】C 【分析】设直角三角的两条直角边分别为，进而得，再根据基本不等式即可得的最小值. 【详解】设直角三角的两条直角边分别为， 因为直角三角形的面积为32， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以两条直角边的和的最小值是. 故选：C 3．（25-26高一上·安徽·月考）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 4．（25-26高一上·福建莆田·月考）某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意有，进而有，再应用基本不等式，即可比较大小. 【详解】由题意且， 则由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号，故. 故选：B 5．（25-26高一上·北京·月考）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ，当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故选：B． 6．（22-23高一上·安徽黄山·月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，结合及，即可求解. 【详解】因为，点在直径上，不妨设点在线段上，如图所示， 则， 当与不重合时，因为，则， 当与重合时，，，也满足， 又易知，所以，    故选：D. 7．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 8．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【答案】 【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 9．（25-26高一上·广西桂林·期中）如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 【答案】 10 8 【分析】根据已知可得，应用基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得. 【详解】设矩形铁片的面积为， 因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时. 故答案为：， 10．（25-26高一上·北京通州·月考）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 【答案】8000 【分析】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ， 当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故答案为：8000 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一下·贵州毕节·月考）函数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】当时，，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 2．（25-26高一上·江苏扬州·期末）设为正实数，若，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求的最小值. 【详解】因为为正实数，故由基本不等式可得， 故，当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：B. 3．（25-26高一上·宁夏石嘴山·期末）若正实数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．7 C．9 D． 【答案】C 【分析】根据有条件的基本不等式计算可得. 【详解】因为正实数满足， 所以 ， 当且仅当等号成立，将代入解得. 即时等号成立，所以的最小值为9. 故选：C 4．（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】方法一：条件等式可化为，再结合关系利用基本不等式求结论； 方法二：由条件等式可得，消元变形可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】（方法一）由，可得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为13． 5．（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案： 方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价； 方案丙：第一次和第二次均提价； 方案丁：第一次提价，第二次降价； 其中，则四个方案中提价最多的方案为（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【详解】设商品原价为， 对于甲：最终价格为； 对于乙：最终价格为； 所以甲、乙方案结果相同， 对于丙：最终价格为； 由均值不等式，，所以方案丙的最终价格高于甲、乙， 对于丁：最终价格为：，该式存在负项，所以明显小于其他方案的结果， 综上，提价最多的是方案丙. 6．（25-26高三下·云南楚雄·月考）下列说法正确的是（  ） A．函数的最小值是2 B．函数的最小值为4 C．“”是“”的充分不必要条件 D．不等式与有相同的成立条件 【答案】A 【详解】对于A，显然，所以由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号，故函数的最小值是2，故A正确； 对于B，由，得，则. 当且仅当，即时，等号成立，显然等号不能成立，故B错误； 对于C，当时，，当且仅当时，等号成立； 当时，，解得，所以“”是“”的充要条件,故C错误； 对于D，当时，成立；当时，成立，故D错误. 7．（25-26高二上·全国·月考）已知都是正实数，若，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解. 【详解】由可知，，则 ，根据基本不等式可知，，解得， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值为. 8．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对不等式进行变形，然后利用已知条件，将其转化为关于的函数，再通过均值不等式求函数的最值来确定实数的取值范围. 【详解】令，则代入得， 将代入原不等式，得， 两边同时除以，得， 把代入，得， 即， 由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，， 恒成立， 故实数的取值范围为. 故选：. 二、多选题 （多选）9．（25-26高一下·海南海口·期中）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【详解】A：由基本不等式：， 两边平方得，即，等号成立当且仅当， 即，符合条件，因此最大值为，A正确； B：， 得到的最小值为，无最大值，B错误； C：将代入得：， 这是开口向上的二次函数，对称轴， 代入得最小值为，C错误； D：， 等号成立当且仅当即，符合条件，因此最小值为，D正确. （多选）10．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】CD 【详解】因为，所以，，， 当时，， 当时，， 结合选项，的值可能为或． （多选）11．（25-26高一下·浙江衢州·期中）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式可判断AD选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断B选项；将代入，结合二次函数的基本性质可判断C选项. 【详解】因为，，， 对于A选项，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，B对； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C错； 对于D选项，， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立，D对. 三、填空题 12．（25-26高一下·浙江杭州·期中）若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由题意得出，所以，于是得出，令，可得，利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】因为关于的不等式解集为，即不等式解集为， 所以，所以， 故，令， 则， 令，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，故， 因此的取值范围是. 13．（2026·陕西咸阳·三模）已知，且，则的最小值为______． 【答案】0 【详解】已知，则， ， ， ， 设，则，， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为0． 14．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意得，再结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 四、解答题 15．（25-26高一下·江苏盐城·月考）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 16．（25-26高一下·广东江门·月考）设a，b，c均为正实数，且． (1)求的最小值； (2)若，求b的最大值． 【答案】(1)9； (2). 【分析】（1）根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案. （2）根据不等式得，再结合条件得，解出即可得到最大值. 【详解】（1）由，得， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. （2）由基本不等式得，，当且仅当时等号成立， 因为， 所以，当且仅当，再结合a，b，c均为正实数， 即时，等号成立， 解得， 又为正实数，所以， 则b的最大值为. 17．（25-26高一上·云南曲靖·期末）（1）已知，若，求证：； （2）若，且，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）18． 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）利用均值不等式求解. 【详解】（1）证明：， 因为，，所以，所以，所以； （2）解：因，，可得 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为18． 18．（25-26高三·上海·二轮复习）为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边形休闲广场，其中两个相同的矩形和构成的十字形区域总面积为.中心正方形区域将安装国产太阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为2100元；周围四个矩形区域（图中阴影部分）铺设透水地砖，造价为105元；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为40元.设总造价为（单位：元），（单位：m）. (1)设长为（单位：m），用表示，并求出的取值范围； (2)取何值时可使总造价最低，并求出最低造价. 【答案】(1)， (2)，59000元 【分析】（1）根据十字形区域总面积即可求出表达式，再根据，求出范围； （2）分别求出各部分面积以及总价，再利用基本不等式即可求出. 【详解】（1）因为十字形区域总面积为，所以，解得. 因为，，所以，解得. 所以，. （2）中心正方形面积为，造价为； 四个矩形的总面积为， 造价为； 四个三角形的总面积为， 造价为； 总造价为 ， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以，当时取等号. 故当的长为时，总造价最低，为59000元. 19．（25-26高一上·广东深圳·期末）第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉祥物以中华白海豚为原型､分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象.因其配色被网友亲切地戏称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. (1)求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式； (2)当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 【答案】(1) (2)当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元 【分析】（1）利用时，，计算出，再根据已知模型计算即可； （2）利用二次函数及基本不等式结合分段函数的性质计算即可. 【详解】（1）当时， 当时， 因为时，，解得 （2）当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时， 又， 所以当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $