2026年普通高等学校招生全国统一考试（新1卷）模拟卷（九）

**基本信息** 2026年新1卷数学模拟卷（九）以核心素养为导向，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖函数、几何、概率等模块，注重数学思维与现实问题结合，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|集合、向量、等比数列、解三角形|基础概念辨析，如第3题向量垂直判定| |选择题（多选）|3/18|正态分布、三角函数、抛物线|多选项分层考查，如第11题抛物线几何性质| |填空题|3/15|二项式系数、函数最值、正方体截面|空间想象与运算能力，如第14题截面周长计算| |解答题|5/77|数列证明与求和、函数导数应用、立体几何、统计回归、椭圆综合|现实情境与综合应用，如第18题奶茶销量回归分析；逻辑推理与创新，如第19题椭圆定点证明|

《2026年普通高等学校招生全国统一考试（新1卷）数学模拟卷（九）》参考答案 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B 9 D 0 AC ACD ABD 1.B 【详解z+i=-1+,2=1+31-1+31_2+-1+2. 1+i(1+i)(1-i)2 .z=V12+22=V+4=√5 2.A 【详解】B={x|y=l0g2x-3}={xx>3},所以A∩B={4,6,8, 3.C 【详解】由AB⊥AC可得：(m-1×2+n×1=0，即n=-2(m-1), 则AB=m-1,-2(m-1),即AB坐标满足y=-2x比例关系， 又AB/EF,则EF也应满足y=-2x比例关系， x=1时，y=-2,即1，-2)符合条件 4.D 【详解】令正项等比数列{a,}的公比为q(9>0), a(g-1=15 消4得2g2-5g+2=0,解得g2或g=2 由题有 a(g3-g=6 又a-a=a,g4-1=15>0,a1>0,所以92，a1=1,则a=a92=4. 5.B b=c=a=↓ 【详解】由正弦定理，得sinB sinC sinA√2 所以b+2c =V2 sinB+2sinC sinA 2 6.A 【详舒】由到=0，得2=则届数y=2与y 的图象的交点横坐标就是a； x- 由gx=0,得lgx= 则函数y=lgx与y= 的图象的交点横坐标就是b; x-1 x-1 由hx=0,得log2x= 则函数y=log,x与y=1 的图象的交点横坐标就是C, x-1 -1 作出函数图象如图，可知a<c<b. /2 y=logx y=lgx a c x-1 7.C 【详解】如图，因为四边形MFNF2为矩形，所以MW=FF=2c(矩形的对角线相等)， 所以以MN为直径的圆的方程为x2+y2=c2. 6 直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为y=二x, b y= 一X x=a x=-a, 由 a 解得 x2+y2=c2, y=-b. 所以N(a,b),M(-a,-b或N(-a,-b),M(a,b) 不妨设Na,b),M-a,-b,又Aa,0, 所以AM=Va+a2+b2=V4a2+b2,AW=Va-a2+b2=b. 在△4N中，∠MAN=2 3 直余孩定里科uNf-AMf+NP-24M4Nco行， 即4c2=4a2+b2+b2+V4a2+b2×b, 则2b=V4d+,所以4=4a2+b,则62=号a,所以e= ,b2√21 3 1a2-3 8.D 【详解】令g(x)=xlnx-x,则g'(x)=lnx,0<x<1时，g'(x)<0,g(x)在(0,1上单调 递减，0<x<1时，gx)>g1=-1. 当a≥0时，(Wx+a)ln2x≥0，从而f(x)>-1,与0<x<1时，f(x)<-1矛盾. Inx+4+ 4a 4a 当a<0时，f()= Inx+4+ +2Vx x.Inx+Inx=- VX .In x. 2vx 2vx 设h(x)=lnx+4+- +2,=+-20>0,到在0，+四)上单建增， VX xvx 1+a)=h1+a)+4+4a+2+a-l1nll+2)+4+20+a>0, +a2 V1+a2 取x为-2a与e4中较小的值时，h(x)<0,所以h(x在(0，+oo)上存在唯一一个零点x, hx)=0,当0<x<x时，h(x)<0;当x>x时，h(x)>0. (i)若a=- 则=1，当x>0时，()20，f)单调递增，所以0<x<1时， f(x)<f(1)=-1,满足题意； 0)若-<a<0,0=6+40>0,则0<<1y 当x<x<1时，∫'(x)<0,f(x)单调递减，f()>f(I)=-1,与0<x<1时， f(x)<-1矛盾； 3 (ii)若a<- ，h)=6+4a<0,则x。>1, 2 当0<x<1时，f'(x)>0,f(x)单调递增，所以0<x<1时，∫(x)<f(1)=-1,满足题意. 综上，实数a的取值范围是 2 9.AC 【详解】因为Y~(2,2),所以连续型随机变量Y服从正态分布，且均值4=2，标准差 0=2, A选项，f(2)=P(2≤Y≤4，而P(4-0≤Y≤μ+o)≈0.68， 代入4=2、σ=2，得P(0≤Y≤4)≈0.68，由正态分布的性质得： P(2≤Y≤4)=P(0≤Y≤2)， 所以f2=P川2≤Y≤4到÷06=034，所以A选顶正角： 2 B选项，g0=PY≥0)，由解析A可知：P(0≤Y≤4≈0.68， 由正态分布的对称性可知：P(Y<0)=P(Y>4), 又P(Y<0)+P(0≤Y≤4)+PY>4=1, 所以2P(Y<0)≈1-0.68=0.32，解得：P(Y<0)≈0.16，因此 g(0)=P(Y≥0)=1-P(Y<0)≈1-0.16=0.84，所以B选项错误； 对于C,f(x=P(x≤Y≤x+2),则f(1+t)=P(1+t≤Y≤3+t, f(1-t)=P(1-t≤Y≤3-t), 而Y服从正态分布N(2,2),区间1+t,3+]和[1-t,3-]关于直线x=2对称， 故f1+=f(1-t),即f(x的图象关于直线x=1对称，C选项正确； 对于D,gx)=P(Y≥x,若gx)的图象关于点12 对称，则g(1+)+g(1-)=1, 即g(1+t)+g(1-t)=P(Y≥1+t)+P(Y≥1-t)=1, 而Y服从正态分布N(2,2),则P(Y≥1+)=PY≤3-)，P(Y≥1-t)=P(Y≤3+)， 故g(1+t)+g(1-t)=P(Y≤3-t)+P(Y≥1-t), 当t=1时，g(2)+g(0)=P(Y≤2)+P(Y≥0)=0.5+0.84=1.34≠1， 即g(x)的图象不关于点 12 对称，D错误 10.ACD 【详解】f(x=3sin2x+2cos2x=V5sin2x+cos2x+1=2sin2x+6) +1 所以最小正周期T= 2π 2 =元，A正确： ∫(x)的最大值为2+1=3，B错误； 令2m-号π≤2x+元≤2x+号x→km-}≤x≤km+L元k∈Z, 6 6 所以函数∫(x的单调递增区间 k-m+,k∈Z, 3 6 当k=0时，单调递增区间是 3'6 所以f(x)在区间 2 0, 上单调递增，C正确； 6 当f1=-1时，即sm20+=-1.则20+g子+2aez, 所以20=- +2kn(kEZ), 3 则tan20=tan =tan=√5，D正确. 3 3 11.ABD 【详解】如图，作出符合题意的图形， 抛物线y2=2px(p>0)中，焦点到准线的距离为P, 故p=2,抛物线方程为y2=4x, 由题意设过Mm,0的直线方程为x=y+m, 代入y2=4x得y2-4y-4m=0, 设A(x1,y),B(x2,y2),由韦达定理得y1+y2=4t,yy2=-4m, 选项A:由已知得p=2,A正确， 选项B:若F(1,0)为AOB重心， 由重心坐标公式得++0=L,当+少+0=0， 3 3 3 得y+y2=0=4t→t=0，,x+x2=t(y+y2)+2m=2m=3→m= 由弦长公式得AB=V1+2以-y=以-y2, 百0-⅓=0+-4=0-4×4引=24， 故y-9=2Q6,即AB=2Q6,B正确， 选项C:若∠AOB=90°，则0A.0B=xx2+yy2=0, 又6=父至-02=m, 4416 代入得m2-4m=0→m=4(m>0),C错误， 选项D:M2=0c-m)2+y2=(y)2+y2=y2(1+12）, 1 +好 司理M®=1+，改M00M81+r多 代入+y2=4t,y2=-4m,得y2+y=1612+8m,yy=16m2, 1 116t2+8m 2t2+m 整理得M00M&201+-16m22m2(2+1 要该式为定值对任意t成立，则需22+m=kt2+1)对任意t城立， 故k=2,m=k=2,即m=2,D正确. 12.121 【详解】通项：T41=C· 2=Cg2x兰，其中=0.l2,3.45 展开式的奇数项对应k=0,2,4(第1、3、5项) 当k=0时：C92°=11=1 当k=2时：C8·22=10.4=40 当k=4时：C·24=516=80 所以奇数项的系数和为：1+40+80=121. 13. 5 6 【详解】由cos3x=cos(x+2x)=cosxcos2x-sinxsin2x=2cos3x-cosx-2sin2 xcosx =2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx=4cosx-3cosx, 所以71=osx+52osx-0+写4 aco-3ons0-号cosx+cosx分 3 2, 令1=c0sxe[-1,川，则f)=g0=4+2- 所以g0=r+2=22z+,当1<0时g0<0,当-1s1<-支0<1s1时 g'(t)>0, 所以g1在(0)上单调递减，在[-1，之、Q,小上单调递始， 由g-)=吾<g0=分故=间的最小值为各 14.10W5+713+5 R 6 【详解】如图，延长DD至R,使得DR=1, B B 连接AR交AD,于M,连接RF交CD,于N,连接MN, 取HD的中点S,DD,上一点O,使D0= 3 连接SE,SQ,QF, 因为SE/DC且SE=DC,QFI/DC且QF=DC,所以SEI1QF且SE=QF, 所以四边形SEFQ是平行四边形，则SQI1EF. DR=I,D0=专得R=0D,+DR-DD-D0+DR3 则Q为DR的中点，则SQIIAR,所以EF//AR.所以平面AEFNM即为所求平面， 又△RD,N∽△FC,N,△RD,MP△AAM, 82器-，20- ’AMAA2' 2 uav-号0c-手-p4-号 .4 3 在R4w-+4-2--2 在Rt△C,FN中，NF=CF2+CN2= 在ac8F,-GE+F-,4[- 在Rt△ABE中，AE=√AB2+BE2=√22+12=√5， 所以过点A,E,F的平面截正方体得到的截面图形的周长为： 25,2M3+5+5+V5-105+7i3+5 3362 6 15.【详解】(1)证明：由Sn+1=Sn+2an+1,得Sn+1-Sn=2an+1, 则01=2a,+1,所以a+1=2(a,+1),因为a,+1=2≠0，所以1+ =2, a,+1 故数列{a,+1是以2为首项，2为公比的等比数列. (2)由(1)可知，an+1=2×2"-1=2",所以a=2”-1. an +1 2” 11 aa+1（2”-1(2m1-12”-12-1? 故虹--后》品 2m+1-2 16.【详解】(1)若a=1,函数f(x)=x2+x-lnx,定义域为0，+∞），f'(x)=2x+1- 所以f(1=2,f'1=2. 所以曲线y=f(x)在点1，f(1)处的切线方程为y-2=2(x-1,即2x-y=0 (2)函数f(x)=a2x2+ax-lnx,定义域为(0，+oo). 若a=0,则f(x=-lnx是减函数，值域为R,不满足f(x)≥1恒成立，所以a≠0. 若a≠0，f'x)=2ax+a-1_2ar+ax-1_(2axr-llar+l 令f"x=0,得x=1或x=-1 2a a 当a>0时，a+1>0恒成立，所以当0<x<时，f(x<0,所以f(x)单调递减 2a 当x>2。时，"（刘>0，所以f()单调递增所以(x)在x=处取得极小值，即最小值 2a a这安心这名女 2a2a 化简件n2a≥分解符a≥ 22 当a<0时，2ax-1<0恒成立，所以当0<x<--时，∫'x<0,所以fx单调递减： a 当x>-上时，x>0,所以f(x单调递增。 所以fx)在x=-1处取得极小值，即最小值 若f(x)≥1恒成立， 则》，即诗+a}-n(1 化简得ln-a≥1，解得a≤-e. 综上，a的取值范围是 17.【详解】(1)证明如图，取AB的中点G,连接CG交BD于H,连接FH,CG 因为BG=二DC,BG∥DC,所以Ci=2HG,又 CF=2FC,所以FH∥C,G 由于AG∥EC,AG=EC,所以AE∥GC,,从而有AE∥HF 又AE丈平面BDF,FHC平面BDF,所以AE∥平面BDF: (2)设平行六面体各条棱长为6.因为平面CC,DD⊥平面ABCD,且AD⊥DC, 所以AD⊥平面CCDD,由于∠C,CD=60°，所以∠DD,E=60°，DD1=6,DE=3, 由余弦定理得DE=V6+32-2x6x3cos60=3√5，DE2+D,E2=DD2,所以DE⊥D,E, 以D为原点，DA,DC,DE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 D(0,0,0),C(0,6,0),B(6,6,0),C0,3,33),DB=(6,6,0),DC=(0,6,0), 由cF=2c得CF-cc-0-33=0,-2.2w)， 从而BF=CF-CB=(0,-2,25-(6,0,0)=(-6,-2,2V5） 设平面BDF的一个法向量为万=(x,y,2), ZA 则 i·DB=6x+6y=0 i.BF=-6x-2y+2V3z=0 可取--1故sm0=o贼.-0 10 18.【详解】（1)x=2+4+5+6+8-5, 万=3+4+6+5+7=5， 5 5 而∑xy-5x·y=6+16+30+30+56-5×5×5=13, 2y-5 2-5=4+16+25+36+64-5×25=20,故6- 13 20 =0.65, i- ∑-5 而a=y-bx=5-5×0.65=1.75,故回归方程y=0.65x+1.75 当x=10时，y=0.65×10+1.75=8.25, 故预测日访问量为10万人次时的日销售量为825（杯）. (2)由题设X可取1,2,3,4，…，n, 而rX=利-1s≤m-1,PX=-目) 地制-+子++”+目 -+++ ”)4"+ g 13 放=4-4 <4 (3)由题设Y可取2,3,4,5,6， 而P(Y=2)= C%21014,P(y=3)=CcC-808 CC6=15=1 C。21021' P(Y=4= 图-”r器 C。21035’ P(Y=6) CC8=1 2101 故m=4时，PY=m的概率最大 B【许】令描间子若=1的羊电为，期则F0e50-. 由△PFE,面积的最大值为5，得2cb=bc=V5, 田直线2x-3y=0交C于点M,N，MG1y轴，得M(GCc)则C9c 3 461, 而a2=b3+c2,联立解得a=2,6=V5,c=1,所以椭圆c的方程为少+ ，+ -=1 4 3 由D知，椭圆C+,M,设P心，由对称件得，N关于原 0对称则w3-小.m=号1-%网=(}1-由丽网-} 得-+片-1=子即+后=4，西要+手=1，解得=0%=2，即点P02, 43 6 又MW=2ON=V3,点P到直线l:2x-3y=0的距离d=- 所以△PMN的面积为S,PMw=|MN|d=3. 2 (3)设A(x,y),B(x2,2),当直线AB斜率存在时，设其方程为y=kx+m, A y=kx+m 由 3y2+4x2=12 消去y, 得(3k2+4)x2+6kmx+3m2-12=0, △=36k2m2-12(3k2+4)(m2-4)=48(3k2+4-m2)>0, 6km X1+x2= 3k2+4 3m2-12 xx,=3k2+4 项=化多-丽=传为小.面k顺=0， 3 gG多-0-0，-=G-3s多》+低+0-1+m-0 3 3 =+x+m-+)+0m-+号 3 =(K2+1)· 3m2-12 (km-k(m-10 3k2+4 23k2+4 整理得(3k-14m+2(3t+2m-2)=0,由直线AB不过点M(,,得3k+2m-2≠0， 3,1 4k+7,直线AB:y=k(x+ 3、,1 因此3k-14m+2=0,即m= 14 147 3 当直线B斜率不存在时，设其方程为x=化≠，则Ay小8，-， m=《-+--男-)=--3+号=0，面f=4, 4 联立得2812361-9三0，而1≠解得1=-3 3 4直线AB:x三一3 过定点R(4, 31、 14 圆此直线B过定点R名又MD上AB,则点D在以线段wR为直径的圆上 圆心生标为哈子，◆点@哈子.则D0-My5, 所以存在定点Q各争，使得DQ为定值3y5 94 2026年普通高等学校招生全国统一考试（新1卷） 数学模拟卷（九） ★祝大家学习生活愉快★ 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案答案不能答在试卷上， 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1．若，则（    ） A． B． C．3 D．5 2．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知非零向量，若，则可能为（   ） A． B． C． D． 4．已知正项等比数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知分别为函数、、的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，至少有两个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 9．已知连续型随机变量Y服从正态分布，记函数，，则（    ）．（注：若，则，） A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．在区间上单调递增 D．当时， 11．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过点的直线交于两点，设为坐标原点，则（     ） A． B．若为的重心，则 C．若，则 D．若为定值，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．的展开式中所有奇数项的系数和为______． 13．已知函数，则的最小值为____. 14．已知正方体的棱长为2，为的中点，为上靠近的四等分点，则过点，，的平面截该正方体得到的截面图形的周长为______. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答题卷上写出必要的解题步骤 15．（13分）记为数列的前n项和，已知，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和． 16．（15分）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围. 17．（15分）如图，平行六面体的所有棱长均相等，，，平面平面，点，满足，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 18．（17分）某奶茶品牌发现旗下一款新品的日销售量与品牌官方小程序的日访问量呈线性相关关系，为提升销量，小程序推出了和两项互动活动，参与互动可领取新品优惠券.该新品日销售量（单位：百杯）与小程序日访问量（单位：万人次）的统计数据如下表： 日访问量/万人次 2 4 5 6 8 日销售量/百杯 3 4 6 5 7 (1)求出关于的回归方程，并预测日访问量为万人次时的日销售量； (2)项活动规则：顾客每次参与都有的概率获得新品优惠券，一旦获得，则活动结束；若未获得，可继续参与；每位顾客共有次参与机会，第次无论获得与否都结束活动.设为顾客参与活动的次数，的数学期望为，证明：； (3)B项活动规则：有张不同的助力卡，编号为，参与者从中随机抽取张，记录编号后放回，再重新随机抽取张，记被重复抽到的助力卡数量为，并向参与者发放张新品优惠券，求使取得最大值时的值. 参考公式：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 19．（17分）已知椭圆C：的上、下焦点分别为，，直线l：和C交于M，N两点，轴，P为C上的动点，面积的最大值为． (1)求C的方程； (2)若，求的面积； (3)设C上有两点A，B（A，B与M都不重合）满足，且，垂足为D，证明：存在定点Q，使得为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $