2026年普通高等学校招生全国统一考试（新1卷）模拟卷（四）

**基本信息** 聚焦新高考命题趋势，以新能源充电桩统计、蒙日圆定理等情境融合基础知识与创新应用，覆盖函数、几何、概率等核心模块，适配模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数、集合、向量、数列、函数、排列组合|第8题以蒙日圆定理为背景考查椭圆与圆的位置关系，培养数学眼光| |填空题|3/15|二项式定理、函数最值、解三角形|第14题结合锐角三角形条件求范围，体现数学思维的严谨性| |解答题|5/77|统计回归、立体几何证明、双曲线、概率递推、导数应用|第15题以新能源充电桩数据考查回归分析与分布列，用数学语言表达现实世界；第18题传球模型构建概率递推关系，发展逻辑推理能力|

《2026年普通高等学校招生全国统一考试（新1卷）数学模拟卷（四）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A C A D B B ABD BD ABC 1．B 【详解】设复数，则，因为，所以， 因为，所以，即，所以. 2．C 【详解】对于集合，， 所以. 对于集合，，所以. 所以. 3．A 【详解】由题设，则， 由，则. 4．C 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 方法二：，，所以，， 从而，于是，所以． 5．A 【分析】通过构造函数，将、、转化为函数值，对函数求导确定其在时单调递减，再根据自变量大小比较函数值大小. 【详解】由题意设函数， 则，，， 又因为（），令，得， 所以当时，，单调递减， 又因为，且都在递减区间， 所以，即. 6．D 【分析】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论，结合排列数和组合数的计算公式，以及分类计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论： 当是第1个时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法； 当不是第1个且不是最后一个时，先排第1个，从中选一人为第1个，有种选法； 再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法， 所以共有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排列情况. 7．B 【分析】分析可知的一个周期为2，根据周期性结合偶函数性质以及对数运算求解. 【详解】因为，则， 又因为为偶函数，则，可得，可知的一个周期为2， 因为，且， 可得， 且，所以. 8．B 【分析】首先明确蒙日圆的方程是根据椭圆方程得出，对于椭圆，其蒙日圆方程为.本题中先求出椭圆的蒙日圆方程，再根据圆与圆的位置关系，即两圆有且仅有一个公共点时的情况来求解的值. 【详解】对于椭圆，其中，，根据蒙日圆方程， 可得蒙日圆方程为，其圆心坐标为，半径. 圆，其圆心坐标为，半径. 因为两圆有且仅有一个公共点，所以两圆内切或外切. 当两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和. 两圆的圆心距，由，即，，两边平方得，解得，. 当两圆内切时，两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值. 由，即，两边平方得，（无解）.   所以的值为. 9．ABD 【详解】对于A，因为，所以，又因为，所以，故A正确； 对于B，命题“”的否定形式是“”，故B正确； 对于C，当时，可得，所以“”是“”的充分条件； 当时，可得，所以，所以，解得或， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D， ， 所以函数的图象关于点成中心对称，故D正确. 10．BD 【分析】利用周期公式求出，利用平移得到，利用图象关于直线对称，结合余弦函数的图像和性质得到，由得到的值，从而得到和的表达式，利用正余弦函数的图像和性质分别对选项一一求解. 【详解】函数的最小正周期为， ，， 将其图象向左平移个单位长度后得到的， ， 图象关于直线对称， ，， ，， ，， 选项A，，故选项A错误； 选项B，，故选项B正确； 选项C，， ， ，故选项C错误； 选项D，，，， 在上单调递增，故选项D正确. 11．ABC 【分析】对于A，根据中心对称计算即可；对于B和D，由计算通项公式分析即可；对于C，结合关于点成中心对称，且，进行分组求和即可. 【详解】对于A， ，则， 又因为，所以上式 ，故关于点成中心对称，A正确； 对于B 和D，由，得，因为， 当时，，则， 所以，即， 当时，，且，故当时，是常数列成立， 故是常数列，所以， 所以，故B正确，D项与通项公式矛盾，故错误； 对于C，因为关于点成中心对称， 所以，又因为数列，所以， 故， 所以 ，故C正确. 12．29 【分析】先求出展开式的通项公式，分别令和，求出k值，代入求解，分析计算，即可得答案. 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得，则； 令，解得，则， 所以的展开式中常数项为. 13．1 【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值. 【详解】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 14． 【分析】先用正弦定理将边转化为角，结合三角形内角和定理、三角恒等变换公式推导的值；再利用正弦定理将​转化为关于角和的三角函数式，再结合锐角三角形的条件确定角的取值范围，最后利用三角函数的性质求取值范围 【详解】已知，由正弦定理得， 又，故， 代入上式得 化简得，中，因此，即， 由​，得​，故​，即， 因为为锐角三角形， 所以由正弦定理得， 因为，故，代入得，设​，则， 对所求式子变形：， 函数​在单调递增，代入端点得​，， 因此. 15．【详解】（1）， , .所以，回归直线方程为. （2）由题意知随机变量的可能取值为，则： ， ， ， ， X 0 1 2 3 P 故均值. 16．【详解】（1）是直径，， 平面，，平面， 平面，，，∴四边形是平行四边形， 则，平面，平面，∴平面平面； （2）依题意，以C为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， ，即， 令，得，则， 设平面的一个法向量为， ，即， 令，得，则， ， ∴面与面所成的二面角的正弦值. 17．【分析】（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）解法一：设点、、，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线相交可得出关于的不等式组，求出的取值范围，利用韦达定理求出点的坐标，再消去可得出点的轨迹方程，根据与的关系求出的取值范围，即可得出答案； 解法二：设点、、，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线相交可得出关于的不等式组，求出的取值范围，再利用点差法求出点的坐标，再消去可得出点的轨迹方程，根据与的关系求出的取值范围，即可得出答案. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，由离心率，得， 又，所以，即. 将点代入方程，得，即，所以，. 故双曲线的标准方程为. （2）解法一：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意，故直线的斜率存在，设直线的方程为，即. 联立方程，代入消去，整理得. 则， 即，且，所以. 于是，中点的横坐标，则. 又点在直线上，所以，即. 因为，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 故线段的中点的轨迹方程为或. 解法二：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意，故直线的斜率存在，设直线的方程为，即. 联立方程代入消去，整理得. 则即，且， 由、两点在双曲线上得，作差得，① 当时，易知； 当时，①式可化为，即. 故（由题意可得且）， 可得， 因为，所以. 当时，也在直线上. 又，可得，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 综上，线段的中点的轨迹方程为或. 18．【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解，利用全概率公式求解； （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为，分析可得，，由此可得，变形可得，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可； （3）结合第（2）问结论和题设条件，运用等比数列求和公式分组求和即可求解. 【详解】（1）第1次由甲将球传出，第次传递后球在甲手中的概率为． 所以第次传球后，球在甲手中有两种情况： 第1次甲将球传给乙，第2次乙将球传给甲，其概率为； 第1次甲将球传给丙，第2次丙将球传给甲，其概率为； 所以； 第次传球后，球在甲手中，则第次传球后，球不在甲手中， 所以. （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为，， 若发生，即经过次传球后，球再次回到甲手中， 那么第次传球后，球一定不在甲手中，即事件一定不发生， 则有，，必有，即， 即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. （3）由题意次传球后球在甲手中的次数服从两点分布，且， 所以，， 由（2）得， 则. 19．【分析】（1）由题已知函数，先求导函数，再令，又解出对应的不等式的解集，可得单调减区间； （2）由为增函数得出在上恒成立，在构造函数，求出导函数得出单调性求出在上的最大值，即可求出实数的取值范围； （3）先求出导函数，再构造函数，应用导函数得出单调性结合分类讨论计算求解. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 当时，，则， 令，即，解得，所以 所以函数的单调递减区间为； （2）因为在区间上，为增函数，且， 所以在区间上，恒成立， ， 设，则， 是在上是减函数，，即， 所以在上单调递减， ，即的取值范围是. （3）当时，因为，所以， 设，则， 单调递减，单调递增， 又，所以， 又，所以，使得， 当单调递增，； 当单调递减，； 当单调递增，； 当时，在上取最小值为. 当时，因为，不合题意； 当时，因为，不合题意； 综上，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试（新1卷） 数学模拟卷（四） ★祝大家学习生活愉快★ 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案答案不能答在试卷上， 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1．已知复数满足，且，则（    ） A．1 B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（    ） A．4 B．16 C．1 D．3 4．记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（    ） A．42 B．50 C．54 D．60 7．若偶函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 8．19世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，至少有两个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 9．下面说法正确的是（    ） A．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，若，则 B．命题“”的否定形式是“” C．已知，则“”是“”的必要不充分条件 D．函数的图象关于点成中心对称 10．已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于直线对称，则（   ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C． D．在上单调递增 11．若,且，数列的前n项和为，且，，则下列说法正确的是（   ） A．关于点成中心对称 B．数列是等差数列 C． D．数列的通项公式为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．的展开式中常数项为__________． 13．函数的最小值为______. 14．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若为锐角三角形，则的取值范围为______． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答题卷上写出必要的解题步骤 15．（13分）随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（如：表示2021年），具体参考数据如下表： 统计量 数值 55 72.6 21 (1)请根据表中数据，建立关于的回归直线方程； (2)现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值. （参考公式：） 16．（15分）如图所示，是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，垂直于半圆O所在的平面，，，. (1)证明：平面平面； (2)当C点为半圆的中点时，求面与面所成的二面角的正弦值. 17．（15分）已知双曲线的离心率为，且经过点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 18．（17分）甲、乙、丙三人相互做传球训练，传球规则如下：每次传球时，甲等可能地将球传给乙、丙；乙传给甲、丙的概率分别为，；丙传给甲、乙的概率分别为，．第1次由甲将球传出，记第次传递后球在甲手中的概率为． (1)求，； (2)求； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，，则．记前次（即从第1次到第次）传递后球在甲手中的次数为，求． 19．（17分）已知函数，． (1)当时，求的单调递减区间； (2)若在区间上，为增函数，求的取值范围； (3)若时，的最小值为0，求． 学科网（北京）股份有限公司 $