2026年普通高等学校招生全国统一考试（新1卷）模拟卷（五）

**基本信息** 立足新高考模拟预测，覆盖函数、几何、统计等核心知识，解答题融合生物繁殖量统计、抛物线定点探究等情境，突出数学眼光（数据处理）、思维（逻辑推理）与语言（模型应用）的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|上四分位数、复数、椭圆离心率等|单选基础巩固，多选综合数列与解三角形| |填空题|3题/15分|向量数量积、集合、导数极值|注重数学抽象与运算能力| |解答题|5题/77分|统计相关系数、立体几何线面角、导数证明|统计题结合残差分析，导数题融合切线与不等式证明，体现创新应用|

《2026年普通高等学校招生全国统一考试（新1卷）数学模拟卷（五）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C C D C D A D BCD ABD AC 1．C 【详解】由题知，，所以这组数据的上四分位数为第8个数据135. 2．C 【详解】因为，所以，所以 3．C 【详解】依题意甲选了运城盐湖，只需再从剩余的6个景区中选2个，选法数为：； 乙未选鹳雀楼，则乙从剩余的6个景区中选3个，选法数为：， 可得甲选了运城盐湖且乙未选鹳雀楼的选法共有种． 4．D 【分析】对分类讨论，解方程求得，进而求解即可. 【详解】当时，，即，无解； 当时，，解得， 所以. 5．C 【详解】当时，， 结合余弦函数的图象，可得，解得. 6．D 【详解】已知，. 又指标的部件为正品，即区间为正品. 要使次品率不高于，即满足正品率大于或等于. 因此要保证区间，则， 所以，解得，故选项A、B、C均可能，选项D不可能. 7．A 【详解】由，求导可得，， 取得到，解得， 此时，则. 8．D 【详解】由题意可得，, 由题意可知四边形是正方形，所以与垂直且平分，即， 因为在椭圆上， 所以，即， 所以椭圆的离心率为. 9．BCD 【详解】因为，即． 因为，所以的公差小于零， 则，，则，故，A错误； 因为当时，，且当时，，则当时，最大，B正确； 因为，，， 所以，，C正确； 因为当时，，且当时，， 所以当时，，此时． 又因当时，最小，且时，单调递减， 所以数列的最大值为，故数列的最小项为，所以D正确． 10．ABD 【详解】由正弦定理及，得. 对于A，若，则， 所以，是等腰直角三角形，所以，故A正确； 对于B，若，则，所以或， 若，则，舍去，若， 则是等边三角形，周长为3，故B正确； 对于C，若，则，则或， 若，则，，， 若，则，，，，故C错误； 对于D，若，则， 得或，若，则，不构成三角形，舍去，故， ，此时边上的高为，故D正确. 11．AC 【分析】当时，可得曲线的方程，分析可判断A的正误；将与曲线联立，分析可判断B的正误；当点在第一象限时，可得点的方程，根据椭圆的定义，分析求解，可判断C的正误；分别求出曲线在各个象限内的方程，联立求解，结合双曲线的渐近线的性质，分析可判断D的正误. 【详解】选项A：当时，方程为，即，无实数根，故A正确； 选项B：若点在直线上，则， 与曲线W联立得，整理得，无实数根，故B错误； 选项C：当时，方程为，整理得， 则，所以， 则点A为左焦点，设右焦点为F， 由椭圆的定义可得，则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号，故C正确； 选项D：当时，方程为， 与联立，得， 由判别式，解得， 当时，，解得，不符合题意，（舍去） 当时，，解得，，符合题意； 所以当直线与曲线在第一象限有两个交点时，； 当时，方程为，渐近线方程为，（舍去） 当时，方程为，渐近线方程为，（舍去）， 综上，若要直线与曲线有两个交点，的取值范围为，故D错误. 12． 【详解】， ， 设，则， ． 13．或 【详解】由题意的子集恰有2个，所以是一元集， 若，则，而，满足题意， 若，则，，此时，不合题意； 若，则，，只含一个元素，则， 综上，的取值范围是或． 14． 【详解】由，求导可得 令，可得：或， 当时，即，恒成立，在定义域上单调递减，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极小值，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极大值，符合题意； 综上实数的取值范围为， 15．【详解】（1）由已知得，，， ，， ， 故， 所以与的线性相关性很强. （2）因为，，，， ， 所以， 所以关于的线性回归方程为， 当时，， 所以5月份该生物繁殖量的残差为. 16． 【详解】（1） 因为的最大值为3，所以， ，解得， 的单调递减区间为 （2）， 可得或即或， 所以或， 解得或， 所以解集为或. 17．【分析】（1）先应用线面平行判定定理再结合性质定理证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，根据，得，设球的球心，根据得球心，半径为，验证即可； （ii）设，平面的法向量为，利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）在正方形中，， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以； （2）以点为原点，为轴， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， （i）因为点在直线上， 设，因为，则，即， 设点所在球的球心， 则， 即， 解得，即球心，半径为， 又，所以点在球的球面上； （ii）设，且， 设平面的法向量为，则， 可取，记直线与平面所成的角为， 则，解得或， 所以的长为或. 18．【分析】（1）先分析点的位置，然后根据抛物线的定义分析得出的最小值，从而求出的值即可； （2）设直线的方程，联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用中点公式求出直线斜率即可得出直线的方程； （3）由题意分析在直线上是存在定点，结合已知条件求出，然后利用点到直线的距离公式以及分析法验证，使得成立. 【详解】（1）当时，，因为，所以 所以点在抛物线开口内， 等于点到准线的距离， 所以，当且仅当垂直于准线时取等号， 所以，所以的方程. （2）由题意如图所示： 设直线， 联立消去整理得：， 由 设，则， 又点是的中点，所以，所以直线的方程为：. （3）由题意如图所示： 当为时，点是的中点，又， 从而，从而若满足条件的点存在， 设点，由点在直线上，所以有，①， 由题意知为直线与直线的距离， 即， 也即，② 联立①②解得：，即点. 下证点满足题意： 设直线，直线， 由，即证点到直线的距离相等， 因为点到直线的距离为： ，所以，即证， 由 成立， 特别地，当时，仍然成立，从而题设结论成立， 所以在直线上是存在定点，使得. 19．【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由分析需满足条件，得到，再说明时不满足条件； （3）结合（2）得对恒成立，令（），则，再累加求和即可证明. 【详解】（1）当时，，所以，，， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立，即在恒成立， 所以 ，设， 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以，所以，得； 当时，，所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（2）知，当时，对任意恒成立， 所以对恒成立，当且仅当时等号成立， 令（），则，即， 所以，，，…，，， 累加得： 所以，证毕. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试（新1卷） 数学模拟卷（五） ★祝大家学习生活愉快★ 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案答案不能答在试卷上， 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1．高三某班10名同学数学期末成绩（满分150）依次为：100，105，110，115，120，125，130，135，140，145，这组数据的上四分位数为（   ） A．130 B．132 C．135 D．137 2．若复数满足，则复数的共轭复数（    ） A． B． C． D． 3．甲、乙两名游客从运城的7个AAAA级旅游景区（含运城盐湖和鹳雀楼）中各选3个景区去旅游，则甲选了运城盐湖且乙未选鹳雀楼的选法共有（   ） A．200种 B．225种 C．300种 D．400种 4．设函数，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．设函数在区间上恰好有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．某公司生产某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（   ）（参考数据：） A．0.015 B．0.016 C．0.02 D．0.021 7．设函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知为坐标原点，为椭圆的右顶点．若椭圆上存在两点，，使得以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，至少有两个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 9．已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A． B．当时，最大 C．当时， D．数列的最小项为 10．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的周长为3 C．若，则的面积为 D．若，则边上的高为 11．已知点在曲线上，，则（    ） A．点不可能在第三象限 B．点可能在直线上 C．当点在第一象限时，的最小值为 D．当直线与曲线有两个交点时，的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知非零向量满足，则___________． 13．设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 14．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答题卷上写出必要的解题步骤 15．（13分）随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如下表： 月份 1 2 3 4 5 繁殖量/千个 1.5 2 3.5 8 15 (1)据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强，否则认为与线性相关性较弱） (2)利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并计算5月份该生物繁殖量的残差. 参考数据：，，. 参考公式：对于一组数据，其相关系数，其经验回归直线中，，. 16．（15分）若函数的最大值为3. (1)求的值及函数的单调递减区间； (2)求不等式的解集. 17．（15分）如图，已知四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为直线.    (1)证明：； (2)，点在直线上. （i）若，且点均在球的球面上，证明：点在球的球面上； （ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 18．（17分）已知抛物线的焦点为，点，动点在抛物线上，的最小值为，过点的直线交于两点. (1)求的方程； (2)若点是的中点，求直线的方程； (3)在直线上是否存在定点，使得.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（17分）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； (3)证明：对任意正整数，都有. 学科网（北京）股份有限公司 $