精品解析：安徽合肥市第八中学2025-2026学年第二学期高三数学强化训练二

合肥市第八中学2025-2026学年第二学期数学强化训练二 命题人：朱菊琴 金启富 审题人：朱菊琴 金启富 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. S C. T D. R 2. 在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 设，，，若，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（ ） A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 8. 在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 是一组样本数据，去掉其中的最大数和最小数后，剩下10个数的中位数小于原样本的中位数 B. 若事件A，B相互独立，且，，则事件A，B不互斥 C. 若随机变量，，则 D. 若随机变量的方差，期望，则随机变量的期望 10. 若是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，都有，则下列说法正确的是（ ）. A. 2是的一个周期 B. 一定为正数 C. 若，则 D. 若在上单调递增，则 11. 在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 C. 当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为 D. 当时，的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数，满足，则的最小值为_____. 13. 已知：，直线：，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为，，当四边形的面积取最小值时，直线AB的方程为 ____． 14. 已知正数，，满足，则，，的大小关系为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，． （1）若，求c的值； （2）求面积的最小值． 16. 如图，在四棱锥中，四边形 是矩形，是正三角形，且平面平面 ，，为棱 的中点，四棱锥的体积为． （1）若 为棱的中点，求证：平面； （2）在棱上是否存在点 ，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 17. 已知函数． （1）若1是的极值点，求的值． （2）若，试问是否存在零点？若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由． （3）若有两个零点，求满足题意的的最小整数值．（，） 18. 某同学在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练.规则如下：该同学从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑.设他第天晨跑的概率为. （1）求，的值； （2）求数列的通项公式； （3）若，都是离散型随机变量，则，记该同学前天晨跑的天数为，求. 19. 抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． （1）求C，的方程； （2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥市第八中学2025-2026学年第二学期数学强化训练二 命题人：朱菊琴 金启富 审题人：朱菊琴 金启富 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. S C. T D. R 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数性质求值域得出集合，最后根据并集的定义计算即可. 【详解】因为集合，又集合， 所以. 故选：C 2. 在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性得到，从而计算出，求出模长. 【详解】对应的点为，其中关于的对称点为， 故， 故. 故选：C 3. 设，，，若，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意求出,再代入公式即可. 【详解】因为，， 所以, 又因为 所以解得. 所以 所以. 故选：B. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 ， ，，，解得， ，. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过已知分析得到函数的单调性，等价于或再结合函数的图象解不等式得解. 【详解】 因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称． 由在上单调递减，得在上单调递增，且， 所以当或时，，当时，． 函数的图象如图所示， 等价于或 即或 解得或， 故选：B． 【点睛】结论点睛：由函数的奇偶性延伸到其图象的对称性问题的常见结论：（1）若函数为奇函数（或偶函数），则函数的图象关于点中心对称（或关于直线对称）；（2）若函数为奇函数（或偶函数），则函数的图象关于点中心对称（或关于直线对称）． 6. 一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用棱柱的体积可得面积之比，进而得长度比例关系，结合勾股定理，联立方程可求解半径，由表面积公式求解，或者利用余弦定理求解长度，进而根据正弦定理求解外接圆半径，即可利用勾股定理求解球半径得解. 【详解】方法一： ， 如图，， 而， ，，即， 由于到距离，则到距离， 设正方形外接圆圆心，则 设矩形外接圆圆心，则， 设外接球半径，设（当时，O在线段上） ，，故外接球表面积为， 故选；A. 方法二：由当底面水平放置时，水面高为可知容器内的空气占容器体积的，于是侧放时，图中的空气区域的“小三棱柱”的体积为容器的，因此“小三棱柱”的底面“小三角形”的面积为大三角形的，则边长之比为，即“小三角形”边长为1.然后如图： 设圆的半径为，由余弦定理可得， 故，故， 所以外接球的半径为，所以球的表面积为. 故选：A. 7. 已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（ ） A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 【答案】B 【解析】 【分析】利用取倒数法并构造新数列求其通项公式，再由等比数列求和公式结合数列的单调性解不等式即可. 【详解】由，可得， 易知，两侧同时除，可得，整理得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则， 故， 故， 易知单调递增，，所以. 故选：B 8. 在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先得的轨迹方程，进一步作二面角的平面角为，结合轨迹的参数方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等条件. 【详解】因为，所以，点的轨迹方程为（椭球）， 又因为，所以点的轨迹方程为，（双曲线的一支） 过点作，而面， 所以面， 设为中点，则二面角为， 所以不妨设， 所以， 所以，令， 所以， 等号成立当且仅当， 所以当且仅当时，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是用定义法作出二面角的平面角，结合轨迹方程设参即可顺利得解. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 是一组样本数据，去掉其中的最大数和最小数后，剩下10个数的中位数小于原样本的中位数 B. 若事件A，B相互独立，且，，则事件A，B不互斥 C. 若随机变量，，则 D. 若随机变量的方差，期望，则随机变量的期望 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，利用中位数的定义判断出A错误；B选项，计算出，故，B正确；C选项，利用正态分布的对称性进行判断；D选项，利用得到，D正确. 【详解】A选项，从小到大排序，去掉其中的最大数和最小数后， 剩下10个数大小顺序不变，故剩下10个数的中位数和原来的中位数一样，A错误； B选项，事件A，B相互独立，且，， ， 所以，故事件A，B不互斥，B正确； C选项，随机变量，，设，， 则， ， 根据原则，可知，C正确； D选项，随机变量的方差，期望， 其中，故，， 故随机变量的期望，D正确. 故选：BCD 10. 若是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，都有，则下列说法正确的是（ ）. A. 2是的一个周期 B. 一定为正数 C. 若，则 D. 若在上单调递增，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与对称性，推得函数的周期性，再利用周期性，赋值代入求值判断即可. 【详解】对于A，因是定义在上的偶函数，则，又的图象关于直线对称， 则，故有，即2是的一个周期，故A正确； 对于B，因对任意，都有，若取，则得， 若取函数，显然满足题设条件，则有，故B错误； 对于C，因为对任意，，都有， 所以对任意，取，得； 若，即，故，故C正确； 对于D，假设，因及，， 可得，，则， 这与在上单调递增矛盾，即假设不成立，故D正确. 11. 在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 C. 当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为 D. 当时，的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中，由向量法结合向量垂直判断A；由几何关系得出与平面所成线面角，得，求出点P的轨迹长判断B；由得点P在上，利用几何关系可得的面积最值在端点及中点位置判断C；将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理求解判断D. 【详解】对于A，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 则，，设平面的一个法向量为， 所以，令，则，即平面的法向量为， 若平面，则，即， 由，则，即P为中点时，有平面，且，A错误； 对于B，因为平面，连接，则即为与平面所成角， 若与平面所成角为，则，所以， 即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B正确； 对于C，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为， 设的中点为H，由图形的变化可得当点P在DH和运动时，所得截面对称相同， 于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为，C错误； 对于D，如图，将平面与平面沿展成平面图形， 线段即为的最小值，利用余弦定理得， 所以，D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数，满足，则的最小值为_____. 【答案】3 【解析】 【分析】设，将待求式化为关于的函数式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】设，因，则， 且， 因，当且仅当时取等， 即时，也即时，取得最小值4，此时的最小值为3. 13. 已知：，直线：，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为，，当四边形的面积取最小值时，直线AB的方程为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】易知四边形MACB的面积为，然后由最小，可得直线的方程，与的方程联立，得到点坐标及的值，进而得到以为直径的圆的方程，与的方程作差可得直线的方程. 【详解】：的标准方程为， 则圆心，半径． 因为四边形的面积， 要使四边形面积最小，则需最小，此时与直线垂直， 直线的方程为，即， 联立，解得．则, 则以为直径的圆的方程为， 与的方程作差可得直线的方程为． 故答案为：. 14. 已知正数，，满足，则，，的大小关系为________. 【答案】 【解析】 【分析】将看成常数，然后根据题意表示出，再作差比较出大小即可 【详解】解：由，得，则，得， 所以，所以， 令，则， 所以函数在上单调递增，所以， 所以，即 所以， 所以，综上， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，． （1）若，求c的值； （2）求面积的最小值． 【答案】（1） （2）72 【解析】 【分析】（1）由结合，求得，进而求得，结合，得解； （2）由正弦定理结合条件式可得，进而得，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 由， 则，又， 所以， 化简整理得，解得或， 又为钝角，故为锐角，所以，则， 由，解得， . 【小问2详解】 因为， 又，则，所以， 所以的面积 ， 又为锐角，所以，， ， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的面积的最小值为72. 16. 如图，在四棱锥中，四边形 是矩形，是正三角形，且平面平面 ，，为棱 的中点，四棱锥的体积为． （1）若 为棱的中点，求证：平面； （2）在棱上是否存在点 ，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明:取中点，连接， 分别为的中点， ， 底面四边形 是矩形，为棱 的中点， ，． ，， 故四边形是平行四边形， ． 又平面，平面， 平面． （2）存在点 ，位于靠近点的三等分点处满足题意.证明如下： 假设在棱上存在点 满足题意， 在等边中，为 的中点，所以， 又平面平面 ，平面平面，平面， 平面 ，则是四棱锥的高． 设，则，， ，所以. 以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 故，，． 设， ． 设平面PMB的一个法向量为， 则 取． 易知平面的一个法向量为，， ， 故存在点 ，位于靠近点的三等分点处满足题意. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，得到，然后利用线面平行的判定定理得到平面；（2）假设在棱上存在点 满足题意，建立空间直角坐标系，设，根据平面与平面的夹角的余弦值为，则两平面法向量所成角的余弦值的绝对值等于，求出，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知函数． （1）若1是的极值点，求的值． （2）若，试问是否存在零点？若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由． （3）若有两个零点，求满足题意的的最小整数值．（，） 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 （3）4 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由给定的极值点求出并验证得解. （2）由（1）的信息，利用导数探讨当时函数的最小值情况即可得解. （3）由（2）的结论可得，利用导数求出函数的最小值，由最小值小于0确定最小值点大于2，进而构造函数求出的范围得解. 【小问1详解】 函数，求导得， 由1是的极值点，得，解得， 此时，显然在上单调递增， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，因此在时取得极值， 所以. 【小问2详解】 ①当时，由（1）可知，此时不存在零点； ②当时，函数在上单调递增， 又，，且在上的图象是不间断的， 则存在唯一的，使得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，由，得， 则， 令，则，设，求导得， 令，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，函数在上单调递减， 于是，即当时，，因此， 则，即函数无零点， 所以函数不存在零点． 【小问3详解】 由（2）知，当时，无零点，又，依题意，， 当时，在上单调递增且图象是不间断的， 又，，则存在唯一的，使得， 当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增，， 由，得，则， 由有两个零点，得，令， 求导得，当时，恒成立， 函数在上单调递减，且图象是不间断的，，， 则，设，求导得， 函数在上单调递增，于是， 当时，，，，， 又函数在上单调递减，在上单调递增且图象连续不间断， 因此在与上分别存在一个零点，即恰有两个零点， 所以正整数的最小值为4. 【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决． 18. 某同学在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练.规则如下：该同学从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑.设他第天晨跑的概率为. （1）求，的值； （2）求数列的通项公式； （3）若，都是离散型随机变量，则，记该同学前天晨跑的天数为，求. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用第 1 天必晨跑的初始条件，按 “第i天跑或不跑” 两种互斥情况的全概率公式，分步计算、； （2）先通过全概率建立与的线性递推关系，再用构造等比数列法求出通项公式； （3）利用期望的线性性质，将总天数的期望拆为每天晨跑概率的和，再对通项公式用等比数列求和即可. 【小问1详解】 由题意，第1天一定晨跑，故， 第1天晨跑，第2天晨跑的概率为​，因此​， 第3天晨跑分两种情况： 若第2天晨跑，则第3天晨跑概率为； 若第2天不晨跑，由规则"不能连续两天不跑"，第3天一定晨跑，概率为1. 因此. 【小问2详解】 对，按第天是否晨跑分类，同理得递推关系， 设，对比递推式得， 因此是首项为​，公比为的等比数列， 所以整理得通项公式：  【小问3详解】 设为第天晨跑的指示变量（晨跑为1，否则为0），则， 由期望的线性性质， . 19. 抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． （1）求C，的方程； （2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）抛物线，方程为； （2）[方法一]：设 若斜率不存在，则方程为或， 若方程为，根据对称性不妨设， 则过与圆相切的另一条直线方程为， 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意； 若方程为，根据对称性不妨设 则过与圆相切的直线为， 又， ，此时直线关于轴对称， 所以直线与圆相切； 若直线斜率均存在， 则， 所以直线方程为， 整理得， 同理直线的方程为， 直线的方程为， 与圆相切， 整理得， 与圆相切，同理 所以为方程的两根， ， 到直线的距离为： ， 所以直线与圆相切； 综上若直线与圆相切，则直线与圆相切. [方法二]【最优解】：设． 当时，同解法1． 当时，直线的方程为，即． 由直线与相切得，化简得， 同理，由直线与相切得． 因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为． 所以直线与相切． 综上所述，若直线与相切，则直线与相切． 【解析】 【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论； （2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论. 【详解】（1）依题意设抛物线， ， 所以抛物线的方程为， 与相切，所以半径为， 所以的方程为； （2）略 【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $