湖南省长沙市2026届高三考前保温数学试卷（一）

**基本信息** 聚焦高考核心考点，通过分层设计的选择、填空及综合解答题，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模，适配高三考前综合能力模拟检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量、函数单调性等|第3题网格向量考查几何直观，第8题折叠问题结合空间角考查空间观念| |多选题|3/18|统计、函数零点、立体几何|第9题结合数据特征与概率考查数据意识，第11题正三棱柱动态问题考查逻辑推理| |填空题|3/15|函数最值、数列递推、立体几何体积|第14题正方体动点体积范围考查数学抽象与空间想象| |解答题|5/77|立体几何、数列、概率统计、导数、圆锥曲线|第17题文艺比赛评分情境考查数据处理与模型意识，第19题椭圆综合问题考查运算能力与逻辑推理，贴合高考命题趋势|

湖南省长沙市2026届高三考前保温数学试卷（一） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B C B D A ACD BCD 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】集合，集合，则. 2．B 【详解】，； 的虚部为. 3．D 【分析】建立适当平面直角坐标系后可用坐标表示各个向量，再利用向量坐标运算及模长公式计算即可得. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系，可得， 所以，则. 4．B 【详解】. 5．C 【分析】等比数列的性质可得，即，再结合题干条件，利用等比数列求和公式，得到关于的一元二次方程，解出公比即得的值. 【详解】由题意，设正项等比数列的公比为，其中， 由等比数列的性质可知，由题干可得，即， 若，则，不合题意，故， 所以， 解得或（舍去），故. 故选：C. 6．B 【分析】根据条件得到圆的标准方程，再由圆的半径的平方大于0得到；再根据点在圆的外部得到，即可求解得到的取值范围. 【详解】由，得， 则，解得：①， 又∵点在圆的外部， ∴，即，解得或②， 由①②得， 故选：B． 7．D 【分析】先求原函数的定义域，分别判断与的单调性，利用复合函数的“同增异减”原则即得原函数的递减区间. 【详解】由可得或， 所以的定义域为， 设，则， 因为图象的对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域内单调递减， 所以的单调递减区间是． 故选：D. 8．A 【分析】建立空间直角坐标系，将几何问题转化为关于二面角的函数问题，再求解三角函数的最值即可. 【详解】取的中点记为，连接，，.，，则二面角的平面角为. 记二面角的大小为，则. 如图所示，以为原点，为轴，为轴， 过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. ，. ，，. 直线和所成角为， ，. 当，即，有最小值，最小值为. 9．ACD 【分析】根据，向后推一位即可；利用方差的性质计算即可；根据互斥求出，再利用对立事件来求解；利用古典概型求解即可． 【详解】A选项，数据从小到大排列为，由， 故第5个数作为第70百分位数，即13，A正确； B选项，样本数据的方差为2， 则数据的方差为，所以B选项错； C选项，因为A和B互斥，则， 可得，所以，C正确； D选项，样本数据落在区间有有4个， 所以样本数据落在区间内的频率为，故选D； 故选：ACD． 10．BCD 【分析】构造函数 应用导函数得出函数单调性得出值域判断A，B，根据成等差数列，结合指数运算律及对数运算律判断C，D. 【详解】对A、B:令 则 ， 设 ，则 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，时，时，， 且 ，故 ，且 ，故 A错误、B正确； 对C、D：由题意可得 ，所以 ， 由于成等差数列，则 ，故 ， 则 ，所以 ，故成等比数列，故C正确； 则 ，化简有 ，则 ， 解得 或 ， 又 ，则 ，故 ， 则 ，又 故舍去， 故 ，又 ， 所以 ，故D正确. 故选：BCD. 11．ABD 【分析】对于A选项，当点为中点时，利用向量证明即可；对于B选项，当点位于点（或棱上）时，体积最大，为；对于C选项，当点位于点时，此时线面角为，大于；对于D选项，先判断出点的轨迹为四段圆弧，然后求出长度即可. 【详解】对于A选项，当点为中点时， 所以，故A正确； 对于C选项，当点位于点时，为直线与平面所成角，故C错误； 对于B选项，当点位于点（或棱上）时，点到平面的距离最远， 此时四面体的体积最大，以点为例，此时 ，故B正确； 对于D选项，若，如图， 在棱上取点，使，在棱上取点使， 在棱上取中点，则，， 则点的轨迹由圆弧，，，构成，且其所在圆的半径依次为， ，，，圆心角依次为，，，， 圆弧，，，的长分别为，，，，故点的轨迹的长为. 12．0 【分析】求导，得到函数单调性，结合，求出函数的最大值. 【详解】，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中， 故在上的最大值为0. 故答案为：0 13．121 【分析】根据递推关系可得，所以，计算得解. 【详解】由题意可得，作差得， 故 故答案为：121. 14． 【分析】利用正方体的空间垂直关系去证明平面内的点都满足，再去证明动点M在以为圆心，以为半径的圆上，从而利用点M在圆上的性质去解决最值问题. 【详解】如图所示，设， 在正方体中，平面，因为平面， 所以，又，平面， 所以平面， 因为是线段的中点，，则， 所以点在平面内，即，    又因为，所以点在以点为球心，1为半径的球面上， 而，则平面， 所以到平面的距离为，由正方体的边长为1，则， 因为平面，所以，则， 所以在平面内，且以H为圆心，为半径的半圆弧上， 则到平面的距离的最小值为，最大值为1， 而正方形的面积为1， 所以四棱锥体积的最小值为， 最大值为， 则四棱锥体积的取值范围为. 15．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定得平面，从而有，再利用面面垂直的判定即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，根据线面角定义得，再求出相关法向量即可得到，面面角余弦值. 【详解】（1）设为的中点，连接， 因为为的中点，所以， 又，所以， 所以与必相交． 因为，所以， 又，且，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面`． （2）设，分别为的中点，因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以，又， 所以，以为坐标原点，$OA，OG，OP$所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系． 由（1）知平面，所以即为直线与平面所成的角， 所以，设，则， 所以． 因为平面，所以平面的法向量为． 设平面的法向量为， 又， 所以，取， 所以平面与平面夹角的余弦值为 . 16．(1) (2) 【分析】（1）法一：利用等差数列前项和公式、通项公式，联立方程组求解首项和公差，即可得数列的通项公式； 法二：利用等差数列性质，求出中间项的值，再计算公差，即可得数列. 结合和，即可得数列的通项公式. （2）根据（1）中数列，的通项公式，得到数列的通项公式，再结合裂项相消求和，即可得解. 【详解】（1）法一：因为数列是等差数列，设公差为， 因为，所以， 即，解得， 所以， 数列的通项公式为． 法二：因为，所以，解得， 所以公差， 所以， 数列的通项公式为． 由，当时，，得， 当时，，所以， 所以，即， 又，所以． 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以. （2）由（1）知，，， 所以， 所以 ． 故数列的前n项和. 【点睛】在求数列的通项公式时，要分和讨论，由递推关系写通项后，还须验证首项. 17．(1)；估计概率为 (2) (3) 【分析】（1）因为频率分布直方图中所有矩形面积和为1，所以可据此列方程求解的值；因为评分不小于9的概率对应区间的频率，所以计算该区间的频率即可估计概率； （2）先确定5名专家中评分不小于9分的人数，因为是从5名专家中选3人时评分不小于9分的人数，所以服从超几何分布，据此计算取不同值的概率得到分布列，再用超几何分布的期望公式计算；因为是从场外观众中选3人时评分不小于9分的人数，且用频率估计概率，所以服从二项分布，用二项分布的期望公式计算 （3）分别明确和的计算方式，结合专家人数和观众人数的差异，分析两者的大小关系. 【详解】（1）由频率分布直方图的性质，所有组频率和为1，组距为1，因此： 解得； 观众评分不小于9的频率为，用频率估计概率，得评分不小于9的概率为. （2）5名专家中，评分不小于9分的共有4人，小于9分的共1人。 从5名专家中选3人，（评分不小于9分的人数）的可能取值为： 因此的分布列为： 2 3 期望计算： ； 对于：观众评分不小于9的概率为，， 因此： （3） （专家评分平均数； 观众评分平均数 . 方案一：（N 为观众人数，N 很大），近似为 =8.8； 方案二：） 【点睛】本题以比赛评分为背景，综合考查频率分布直方图的性质、超几何分布与二项分布的分布列及期望计算，并用加权平均思想比较两种评分方案的结果大小. 18．(1)所以在和上单调递减； (2) 【分析】（1）利用二次求导判断的单调性得出，即即可； （2）把问题转化为在上恒成立，分和两种情况讨论，时符合题意，时导出矛盾即可求解. 【详解】（1）的定义域为， ， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，则有，所以在和上单调递减； （2）当时， 等价于， 即，令， 则， ①若，则，在上单调递减，所以，满足题意； ②若，令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以， 令，， 是减函数，又，所以，与条件矛盾，舍去. 综上所述，的取值范围是． 19．(1) (2)（ⅰ）存在,使得；（ii） 【分析】（1）由椭圆顶点坐标,结合直线斜率得 比例关系,再由线段长联立方程,求出 ,即得椭圆方程. （2）（ⅰ）设直线联立椭圆,由韦达定理得纵横坐标关系,求出 纵坐标,代入向量比例化简消参,可得 为定值3.（ⅱ）由 设出 纵坐标,写出直线 方程并联立椭圆,得到 点横坐标表达式；用底乘高表示 面积,构造函数求导分析单调性,找到面积最大值对应的参数,代入算出此时的值. 【详解】（1）已知，直线的斜率. 由斜率公式得，即. 由两点间距离公式得. 因为，联立解得，. 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）由题可知过点的直线斜率不为，（否则点与点重合） 设, 由，消去得 , 即， , 直线,令可得 直线,令,可得， 因为共线， 所以 , 所以存在,使得. （ii）设,则,所以, 直线,由消去得 由可得, , 令, , 令,解得, 当时，,当时，, 故在上单调递增,在上单调递减, 所以当时,取最大值, 所以此时. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026届高三考前保温数学试卷（一） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则的虚部为（ ） A． B． C．1 D．2 3．如图，已知网格纸中每个小正方形的边长为1，向量的位置如图所示，则（    ） A．3 B． C．5 D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知为正项等比数列的前项和，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．已知点在圆C：的外部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的是（   ） A．一组数据的第70百分位数为13 B．若样本数据的方差为2，那么数据的方差为6 C．已知随机事件A和B互斥，且，，则 D．某一组样本数据为，则样本数据落在区间内的频率为 10．设是函数的三个零点，则（    ） A． B． C．若成等差数列，则成等比数列 D．若成等差数列，则 11．如图，在正三棱柱中，，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（    ） A．存在点，使得 B．若，，，不共面，则四面体的体积的最大值为 C．直线与平面所成的最大角为 D．若，则点的轨迹的长为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数在上的最大值为________. 13．若数列满足，则___________． 14．已知棱长为1的正方体内有一个动点M，满足，且，则四棱锥体积的取值范围为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(13分)如图，在四棱锥中，底面为矩形，为的中点，，. (1)证明：平面平面； (2)若，直线与平面所成角的正切值等于2，求平面与平面夹角的余弦值. 16．(15分)已知等差数列的前项和为，且，，数列的前n项和为，满足． (1)求数列，的通项公式； (2)已知数列满足：，求数列的前n项和． 17．(15分)某校举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如图： 专家 A B C D E 评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7 (1)求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率； (2)从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；求X的分布列及与的值； (3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分.请直接写出与的大小关系. 18．(17分)已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 19．(17分)已知，分别为椭圆的左，右顶点，为的上顶点，，直线的斜率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线与椭圆交于两点，（在第一象限），直线，分别交轴于，两点： （ⅰ）是否存在常数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ii）当面积取最大值时，求的值． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $